基本不等式及应用

1、基本不等式及应用考名腰求考情分析1 .了解基本不等式的证明过程.2 .会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3 .了解证明不等式的基本方法一一综合法.通过对近三年图考试题的统计和分析可以发现，本节主要考查利用基本不等式求函数的最值.若单纯考查基本不等式，一般难度不大，通常出现在选择题和填空题中，如2011年上海卷；若考查基本不等式的变形，即通过对代数式进行拆添项或配凑因式，构造出基本不等式的形式再进行求解，难度就会提升，如2011年浙江卷.对基本不等式的考查，若以解答题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决实际问题.知识梳理1.基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的

2、条件Ja+b川02a>0,b>0a=b2 .常用的几个重要不等式(1)a2+b2>2ab(a,bCR)a+b2(2)ab£(h)(a,bCR)a2+b2a+b2)2(a,bCR)4 4)"+a>2(a,b同号且不为零)ab上述四个不等式等号成立的条件都是a=b.5 .算术平均数与几何平均数ab设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为回，基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.6 .利用基本不等式求最值设x,y都是正数.(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时和x+y有最小值2环.12(2)如果和x+y

3、是定值S,那么当x=y时积xy有最大值4S.问题探究：当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理?提示：若最值取不到可考虑函数的单调性.1.已知两个正数A.2B.答案：Ba,b的等差中项为C.84,自主检测则a,b的等比中项的最大值为（）D.16解析：aba+bW2=4,故选B.2.（2011年上海高考）若2,bCA.a2+b2>2ab且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是（）baD-+->2abbCR,a2+b2>2ab,B.a+b>2婀112C.-+->=abab解析：ab>0,a与b同正或同负，B,C不正确.对任意a,.一.baba选工

4、KA不正确.a>0，b>°,一+2当且仅当b=a时取等号，'D正确.答案：D3 .若x+2y=4,则2x+4y的最小值是（）A.4B.8C.22D.42解析：,2x+4y>2-/22y=2-y?F=2,=8,当且仅当2x=22y,即x=2y=2时取等号，2x+4y的最小值为8.答案：B14 .当x>1时，求函数f（x）=x+;的取小值、，xI解析：x>1,x-1>0,x+占=（xT）+占+1>2寸x-1答案：31x1+1=3.5 .（2010年山东卷）已知x,y>0,且满足x+y=1,则xy的最大值为34解析:,.x>0,

5、xy<3.答案：36.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=.答案：20解析：每年购买次数为等400，总费用=-4+4x>26400=160,16002当且仅当丁=4x，即x=20时等3成立，故x=20.考点1利用基本不等式证明不等式1 .利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”.2 .证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成

6、立.同时也要注意应用基本不等式的变形形式.例1(1)已知a>0,b>0,a+b=1,求证：-+-1>4.ab(2)证明：a4+b4+c4+d4>4abcd.【分析】(1)利用a+b=1将要证不等式中的1代换，即可得证.(2)利用a2+b2>2ab两两结合即可求证.但需两次利用不等式，注意等号成立的条件.【证明】(1).a>0,b>0,a+b=1,11a+ba+bba一+-=1=2-I1-abababba>22-2yI-=4(当且仅当ab1 1-_+4.原不等式成乂.ab(2)a4+b4+c4+d4A2a2b2+2c2d2=2(a2b2+c2d2)

7、>22abcd=4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2=b2且c2=d2且ab=cd.课堂过手练习：已知a、b、c为正实数，且a+b+c=1,求证：(11)(11)(1-1)>8.abc证明：:a、b、c均为正实数，且a+b+c=1,1 11qT)(bT)(c-D1 a1b1cabcb+ca+ca+b2/bc-2/ac-21/ab=；陵一1-abcabc=8.，一，1当且仅当a=b=c=w时取等号.3考点2利用基本不等式求最值1 .创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值,必要时需出现积为定值或和为定值.(

8、2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.2 .基本不等式的几种变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式a+b2W(a>0,b>0).的逆运用等.如:2aba+b例2(1)设0<x<2,求函数y=542x-的最大值.一，、当且仅当二=a-2,即”4时取等号，当a<2时，a-2<0,44.一一一4.一.一一，口+a=a2+(a2)+2=口+(2a

9、)+2x>0,y>0,且x+y=1,(2)求口+a的取值范断一,34,_.(3)已知x>0,y>0,且x+y=1,求,+y的最小值.【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】(1),.,0<x<2,2-x>0,y=x42x-=yJ2,jx2x厂x+2lx厂w、22=2,当且仅当x=2x即x=1时取等号，当x=1时，函数y=542x的最大值是J2.(2)显然aw2,当a>2时，a-2>0,口+a=a2+(a2)+242a2-a+2=-2,，一，4当且仅当三=2-a,即”0时取等号,4-+a的取值范围是(8,-

10、2U6,+8).a23434x/、x+厂(x+y)(x+y)=7+%竺>7+2、/也4X=7+4J3,xy.xy,3y4xr当且仅当学=",即2x=y/3y时等号成立,34.1+y的取小值为7+4平课堂过手练习：25z=一+-的取小值;xy求下列各题的最值.(1)已知x>0,y>0,lgx+lgy=1,求(2)x>0,求f(x)12=l+3x的取小值;x(3)x<3,求f(x)4，一三+x的最大值.解：(1)由x>0,可得xy=10.y>0，lgx+igy=1,252y+5x2j10xy则-+、一一-1010=2.Zmin=2.当且仅当2y=

11、5x,即x=2,y=5时等号成立.(2)-.x>0,f(x)12=+3x>212.“-x-3x=12,等号成立的条件是12一=3x,即x=2,xf(x)的最小值是12.(3)-.<3,x-3<0,3-x>0,4,4-f(x)=x3+x=x3+(x3)+34一七十(3-x)+34w2、/3x3x+3=1,，4-，”，当且仅当-=3-x,即x=1时，等号成立.3x故f(x)的最大值为1.考点3利用基本不等式求最值的解题技巧1 .代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式;2 .拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值.2112,例3(2010年四川局考)设a>b>c

12、>0,则2a+/+aa_b10ac+25c的最小值是A.2B.4C.25D.5【分析】通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件.【解析】原式=(a210ac+25c2)+ab+a(ab)+a2aba(ab)abaa-b=(a-5c)2+abT；Fa(a-b)abaa-b'ab=1当且仅当Jaab=1,即a=&b=乎，c=平时，等号成立.(a=5c【答案】B方法归纳：拆、拼、凑的典范：本题求多个和式的最小值，故可选用基本不等式，为了使积为定值，故需对原式进行配1 .1凑，关键点在于使目标出现at)+,a(a-b)+-的形式.abaa-b课堂过手

13、练习：(2011年浙江)设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是解析：4x2+y2+xy=12x+y4x2+4xy+y23xy=1(2x+y)2 3c3z1=3xy=万,2xyw万(2x+y)2-1<3(2x+y)2(2x+y)2<885rr21102'10，即一个一W2x+ywq5当且仅当2x=y时取等号(2x+y)最大值=答案：510考点4基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的

14、最值；(4)还原实际问题，作出解答.例4围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.【分析】(1)首先明确总费用y=旧墙维修费+建新墙费，其次，列出式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论.【解】(1)如图，设矩形的另一边长为a

15、m.贝Uy=45x+180(x2)+180x2a=225x+360a360.y与x的函数关系360由已知xa=360，彳a=工一所以y=225x+3602x360(x>2).10440元.课堂过手练习：有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d=kv2l+gl(k为正常数)，假定车身长都为4m,当车速为60km/h时，车距为2.66个车身长.(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多?解：(1).当v=60km/h时，12.661-1彳

16、=0.0006,22.16.d=0.0024V2+2.(2)设每小时通过的车辆为Q,1000v即Q=1000V0.0024V2+610006=0.24,v0.0024v+0.0024v+-v>2a10.0024vv、100012500a64-=3.'.一6当且仅当0.0024v=v即v=50时,Q取最大值125003答：当v=50km/h时，大桥上每小时通过的车辆最多.易错点忽视等号成立的条件11,典例：已知两正数x,y满足x+y=1,则z=(x+p(y+Q的取小值为【错解】错解一：因为对a>0,恒有a+->2,a1.1.从而z=(x+x)(y+y)>4,所以z

17、的最小值是4.错解二:2+x2y22xyxy=（工+xy）2>2、r>xy2xyxy'=2（m-1）,所以z的最小值是2（啦一1）.【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的.,1,11yx1x+y22xy2【正确斛答】z=(x+x)(y+y)=xy+xy+x+y=xy+xy+xy=xy+xy2,.一.x+y21.2.11.令t=xy,则0<t=xyw(2)=不由f(t)=t+-在(0,/上单倜递减，故当1=彳时，2一.33一.1.一,.25f(t)=t+1有取小值了,

18、所以当x=y=2时z有取小值丁.误区警示：(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和3等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因.如函数y=1+2x+-(x<0)有最大值1x246而不是有最小值1+2的.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错.课堂纠错补练：心一兀一，一.4,一，一、.右OvxW-2-,贝Uf(x)=sinx+而K的取小值为.一八一兀一，一一一一，4,一、，、一、一，解析：令sinx=t,0<tw2时，tC(0,1,此时y=t+在(0,1单倜递减，t=1时ymln=5.答案：5归纳提升：1 .创设应用基本不等式的条件：