圆锥曲线的相关结论192条

1、结论1：过圆x2+y2=2a2上任意点P作圆x2+y2=a2的两条切线，则两条切线垂直.22结论2：过圆x2+y2=a2+b2上任意点P作椭圆与+-yy=1(a>b>0)的两条切线，ab则两条切线垂直.22结论3：过圆x2+y2=a2-b2(a>b>0)上任意点P作双曲线与一与=1的两条切ab线，则两条切线垂直.结论4：过圆x2+y2=a2上任意不同两点A,B作圆的切线，如果切线垂直且相交于P,则动点P的轨迹为圆：x2+y2=2a2.22结论5：过椭圆x9+y9=1(a>b>0)上任意不同两点A,B作椭圆的切线，如果切a2b2线垂直且相交于P,则动点P的轨迹

2、为圆x2+y2=a2+b2.22结论6：过双曲线x9-=1(a>b>0)上任意不同两点A,B作双曲线的切线，如a2b2果切线垂直且相交于P,则动点P的轨迹为圆x2+y2=a2-b2.22结论7：点M(x0,y0)在椭圆x2+y2=1(aAbA0)上，过点M作椭圆的切线方ab程为零+券=1.a2b222结论8：点M(x0,y0)在椭圆与+4=1(aAbA0)外，过点M作椭圆的两条切ab线，切点分别为A,B,则切点弦AB的直线方程为笠+券=1.ab22结论8：(补充)点M(x0,y0)在椭圆*2+4=1(abA0)内，过点M作椭圆ab的弦AB(不过椭圆中心)，分别过A、B作椭圆的切线，

3、则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：等+警=1.a2b222结论9：点M(%,y0)在双曲线x2上=1(aA0,b>0)上，过点M作双曲线的ab切线方程为萼誓=1.ab22结论10:点M(%,y0)在双曲线、_4=1(a>0,b>0)外，过点M作双曲线ab的两条切线，切点分别为A,B,则切点弦AB的直线方程为等"y02y=1.ab22xy结论10：(补充)点M(x0,y0)在双曲线f彳=1(a>0,ba0)内，过点M作ab双曲线的弦AB(不过双曲线中心)，分别过A、B作双曲线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：X0j-y02y=1.ab结论11:点M(

4、凡，y0)在抛物线y21?2ab结论14：点M(x0,y0)在双曲线'=1上,过点M作双曲线的切线abx°-mx-m_y0-ny-n_,2ab=2px(p>0)上，过点M作抛物线的切线方程为y0y=p(x+%).2结论12：点M(X0,y0)在抛物线y=2px(p>0)外，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,则切点弦AB的直线方程为y0y=p(x+A).结论12：(补充)点M(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)内，过点M作抛物线的弦AB,分别过A、B作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：y°y=p(x+x0).结论13

5、：点M(x0,y0)在椭圆xmaf+(yn)=1上，过点M作椭圆的切线方程b2方程为=1(x°-m)(x-m)(y0-n)(y-n)结论15：点M(x0,y0)在抛物线(y-nf=2p(x-m卢，过点M作抛物线的切线方程为Won'(yn)=p(x+x02m).22结论16：点M(x0,y0)在椭圆(xm)1外,过点M作椭圆的两条切线,ab切点分别为A,B,则切点弦AB的直线方程为(x0")9”)+(y°-吁-n)=1aab222结论17：点M(x0,y0)在双曲线(x_,)-y2n)=1外，过点M作双曲线的两条ab切线，切点分别为A,B,则切点弦AB的直线

6、方程为x°-mx-my0-ny-nb22结论18：点M(x0,y0)在抛物线(y-n)=2p(x-m,卜，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,则切点弦AB的直线方程为(y。n'(yn)=p(x+x02m).22结论16：(补充)点M(%,y0)在椭圆M作椭圆的P的轨迹方程为(x-T)+(y-2n)=1内，过点ab弦AB(不过椭圆中心)，分别过A、B作椭圆的切线，则两条切线的交点直线(x0-m)(x-m)(y0-n)(y-n)=1ab结论17：(补充)点My0)在双曲线今2a(ynj=1内,过点M作双曲b2P的轨线的弦AB(不过双曲线中心)，分别过A、B作双曲线的切线，

7、则两条切线的交点迹方程为直线：(xo-吗田仇-兴一".ab结论18：(补充)点M(刈，y0)在抛物线(y-nf=2p(x-m)内，过点M作抛物线的弦AB,分别过A、B作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：0-nly-n)=p(x+%-2m).结论19：过椭圆准线上一点M作椭圆的两条切线，切点分别为A,B,则切点弦AB的直线必过相应的焦点F,且MF垂直切点弦AB.结论20：过双曲线准线上一点M作双曲线的两条切线，切点分别为A,B,则切点弦AB的直线必过相应的焦点F,且MF垂直切点弦AB.结论21：过抛物线准线上一点M作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,则切点弦AB的直线

8、必过焦点F,且MF垂直切点弦AB结论22:AB为椭圆的焦点弦，则过A,B结论23:AB为双曲线的焦点弦，则过A,结论24:AB为抛物线的焦点弦，则过A,结论25:点M是椭圆准线与长轴的交点，过点则切点弦AB就是通径.结论26:点M是双曲线准线与实轴的交点，B,则切点弦AB就是通径.结论27:M为抛物线的准线与其对称轴的交点，A,B,则切点弦AB就是其通径.的切线的交点M必在相应的准线上.B的切线的交点M必在相应的准线上.B的切线的交点M必在准线上.M作椭圆的两条切线，切点分别为A,B,过点M作双曲线的两条切线，切点分别为A,过点M作抛物线的两条切线，切点分别为结论28：过抛物线y双曲线(单支)

9、的两条切线，切点分别为A,B,则切点弦AB所在的直线必过点P(a,0).m结论31：过抛物线y2=2px(p>0)外任意一点M作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,弦AB的中点为N,则直线MN必与其对称轴平行.2222结论32：若椭圆斗+4=1(a>b>0)与双曲线44=1(m>0,n>0)共2222abmn焦点，则在它们交点处的切线相互垂直.结论33：过椭圆外一定点P作其一条割线，交点为A,B,则满足AP,BQ=AQ;BP的动点Q的轨迹就是过P作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论34：过双曲线外一定点P作其一条割线，交点为A,B,则满足|AP:BQ=

10、AQBP=2px(p>0)的对称轴上任意一点M(-m,0)(m>0)作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,则切点弦AB所在的直线必过点N(m,0).22结论29：过椭圆xy=1(a>b>0)的对称轴上任意一点M(m,n)作椭圆的两条切ab线，切点分别为A,B.2(1)当n=0,ma时，则切点弦AB所在的直线必过点p(,0)；mb2(2)当m=0,n>b时，则切点弦AB所在的直线必过点Q(0,b).n22结论30：过双曲线xy4=1(a>0,b>0)的实轴上任意一点M(m,0)(m<a)作ab的动点Q的轨迹就是过P作双曲线两条切线形成的切点弦所在的

11、直线方程上.结论35：过抛物线外一定点P作其一条割线，交点为A,B,则满足APBQ=|AQBP的动点Q的轨迹就是过P作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论36：过双曲线外一点P作其一条割线，交点为A,B,过A,B分别作双曲线的切线相交于点Q,则动点Q的轨迹就是过P作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论37：过椭圆外一点P作其一条割线，交点为A,B,过A,B分别作椭圆的切线相交于点Q,则动点Q的轨迹就是过P作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论38:过抛物线外一点P作其一条割线，交点为A,B,过A,B分别作抛物线的切线相交于点Q,则动点Q的轨迹就是过P作抛物线两

12、条切线形成的切点弦所在的直线方程上.22结论39：从椭圆、+，=1（a>b>0）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨a2b2迹为圆：x2+y2=a2.22结论40：从上丁=1（a>0,b>0）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的a2b2轨迹为圆：x2+y2=a2.22L+j结论41:F是椭圆a2/（a>b>O）的一个焦点，M是椭圆上任意一点，则焦半径幽,0+o.L-Ll结论42:F是双曲线，段（口的右焦点，"是双曲线上任意一点.（1）当点M在双曲线右支上，则焦半径网；（2）当点材在双曲线左支上，则焦半径1财利2亡+4.结论43：F是抛物线/

13、二2px（P>0）的焦点，M是抛物线上任意一点，则焦半径口厚钎。/=22.结论44:椭圆上任一点M处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即椭圆的光学性质.结论45:双曲线上任一点M处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即双曲线的光学性质.结论46:抛物线上任一点M处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角，亦即抛物线的光学性质.结论47：椭圆的准线上任一点例处的切点弦过其相应的焦点F,且MFS结论48：双曲线的准线上任一点M处的切点弦?。过其相应的焦点F,且班，F。.

14、结论49:抛物线的准线上任一点M处的切点弦?。过其焦点F,且加上?.结论50：椭圆上任一点F处的切线交准线于材，F与相应的焦点用的连线交椭圆于0,则晚必与该椭圆相切，且设上P。.结论51：双曲线上任一点F处的切线交准线于M,F与相应的焦点F的连线交双曲线于Q,则晚必与该双曲线相切，且必.结论52：抛物线上任一点尸处的切线交准线于M,F与焦点F的连线交抛物线于Q,则必与该抛物线相切，且MF.结论53：焦点在I轴上的椭圆（或焦点在y轴）上三点f,。m的焦半径成等差数列的充要条件为尸，0,M的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论54:焦点在1轴上的双曲线（或焦点在了轴）上三点P,Q,M的焦半径成等差数列

15、的充要条件为尸，Q,的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论55:焦点在I轴上的抛物线（或焦点在J轴）上三点P,Q,M的焦半径成等差数列的充要条件为F,0,"的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论56:椭圆上一个焦点%关于椭圆上任一点尸处的切线的对称点为。，则直线必过该椭圆的另一个焦点耳.结论57:双曲线上一个焦点员关于双曲线上任一点F处的切线的对称点为Q,则直线PQ必过该双曲线的另一个焦点耳.结论58:椭圆上任一点P（非顶点），过P的切线和法线分别与短轴相交于0,S,则有，0,S及两个焦点共于一圆上.结论59:双曲线上任一点P（非顶点），过P的切线和法线分别与短轴相交于°,S,则有

16、尸，Q,S及两个焦点共于一圆上.结论60:椭圆上任一点F（非顶点）处的切线与过长轴两个顶点A,/的切线相交于M,M则必得到以M劭'为直径的圆经过该椭圆的两个焦点.结论61：双曲线上任一点F（非顶点）处的切线与过实轴两个顶点W1的切线相交于M,M则必得到以MV,为直径的圆经过该双曲线的两个焦点.结论62:以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆.结论63:以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆.结论64:以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切.结论65:焦点在轴上的椭圆（或焦点在J轴上）上任一点M（非短轴顶点）与短轴的两个顶点B,3,的连线分别交工轴（或

17、J轴）于P,Q,则3口”（或处以"）.结论66:焦点在X轴上的双曲线（或焦点在轴上）上任一点M（非顶点）与实轴的两个顶点B,B'的连线分别交J轴（或工轴）于F,0,则二一"（或工"0二一“）.结论67:2为焦点在X轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则"6网与边F片（或咫）相切的旁切圆与I轴相切于右顶点幺（或左顶点/）.结论68:F为焦点在X轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则二:：的内切圆与工轴相切于右顶点A（或左顶点W.结论69:AB是过椭圆的焦点F的一条弦（非通径），弦的中垂线交22£_结论70:1B是过双曲线/一庐二（q>

18、Qb>Q）的焦点严的一条弦（非通径，且为单支弦），弦AB的中垂线交工轴于M,则戚I=屋jl结论71：48是过抛物线y=2px（p>0）的焦点产的一条弦（非通径），弦AB的中垂线交工轴于M,则=2-结论72:幺3为抛物线的焦点弦，分别过A,3作抛物线的切线，则两条切线的交点F在其准线上.结论73：幺3为椭圆的焦点弦，分别过A,£作椭圆的切线，则两条切线的交点F在其相应的准线上.结论74：力3为双曲线的焦点弦，分别过A,3作双曲线的切线，则两条切线的交点F在其相应的准线上.结论75：工3为过抛物线焦点F的焦点弦，以AB为直径的圆必与其准线相切.结论76：儿8为过椭圆焦点F的焦

19、点弦，以儿8为直径的圆必与其相应的准线相离（当然与另一条准线更相离）.结论77:幺B为过双曲线焦点严的焦点弦，以W3为直径的圆必与其相应的准线相交，截、1得的圆弧度数为定值，且为日.结论78:以圆锥曲线的焦点弦幺B为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必为抛物线.结论79:以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆.结论80:以圆锥曲线的焦点弦幺B为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必、1/arip仙w_为双曲线，此时截得的圆弧度数为定值，且为日.结论8i：AB为过抛物线/二2px（r>0）焦点胃的焦点弦，幺（%R）,B（占，为）,则网=1

20、1+%+P.土+匕=1结论82：且8为过椭圆b;（仪>6>0）焦点F的焦点弦，U）,b（%加则网=2"我+M土-匕=1结论83:且8为过双曲线7庐一（。>。1>。）焦点产的焦点弦，工（1,K）,B（%,力）.若此为单支弦，则阳=赤+讣加；若朋为双支弦，则网地+讣24结论84：F为抛物线的焦点，A,B是抛物线上不同的两点，直线AB交其准线】于M,则FM平分4码的外角.结论85：F为椭圆的一个焦点，乂，B是椭圆上不同的两点，直线AB交其相应的准线/于M,则平分乙型的外角.结论86:产为双曲线的一个焦点，工，3是双曲线上不同的两点（同一支上），直线43交其相应的准线

21、，于M,则平分Lm的外角.结论87：F为双曲线的一个焦点，工，B是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线AB交其相应的准线，'于M,则FM平分4孙.22土+匕=1结论88：儿5是椭圆/>0）过焦点产的弦，点F是椭圆上异于AB的点，直线用、PB分别交相应于焦点严的准线于M、N,则点M与点N的纵i*坐标之积为定值，且为d.-1结论89：AB是双曲线/N（4>Q,b>Q）过焦点F的弦，点P是双曲线上异于乩B的点，直线出、PB分别交相应于焦点F的准线于M、N,则点M与点N的纵坐标之积为定值，且为£2.结论90：岫是抛物线V=2/（P。）过焦点F的弦，点?是抛物线上

22、异于43的点，直线MPB分别交准线/于M、N,则点M与点N的纵坐标之积为定值，1/,1F为椭圆任一点（非长结论91：A,B为椭圆/（4b0）的长轴顶点,轴顶点），若直线AP,BP分别交直线（苏一J）加y过；定值，且有：L+结论92:乂，2为椭圆必M（仪0）的长轴顶点，即斓）,网也。）,a工=.小潴口7为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线AP,BP分别交直线然于M,M,则EM-而为定值，且有EM-=N=症.22土+匕=1结论93:工，3为椭圆/b2（仪60）的长轴顶点，织-砌,网科°）,?K-（Q潴a）,F为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线AP,BP分别交直线制于M,M,则EMFM为定值

23、，且有SNFM=痉.22结论94：工，3为椭圆a2/（。60）的长轴顶点，E确,网科。）,a（0m（2）,P为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线AP,BP分别交直线用于M,V,则产M-五"为定值，且有FM-FN=加.22乙+乙=1结论95：工，3为椭圆/（ab0）的长轴顶点，现-甩Q）FM,X-（Q然ci）,P为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线AP,BP分别交直线螭于M,M,则皿-EM为定值，且有EM-ER=苏.22土+匕=1结论96：工，3为椭圆苏b2（abQ）的长轴顶点，现-料Q）,尸附,0）,<m<a）,P为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线AP,BP分别交直线一切于&

24、quot;，（M5g'+砌-的M,则BM-FN为定值，且有BM-FN=症.22三+2二1结论97：工，3为椭圆a2M（。>3>0）的长轴顶点，以-科0），酗0）,（Q<m<a）,P为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线AP,BP分别交直线帆于M,婷一口幽一从）M,则乂M-fN为定值，且有AM-FN=凉.乙+乙=1结论98:乂，2为椭圆/（&>60）的长轴顶点，跃-砌,网阳。）,于上，出&）,F为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线AP,BP分别交直线_附庐）M,则乂M-网为定值，且有AM-BN=症.22土-匕=1结论99：A,3为双曲线/（口>

25、;0J>。）的顶点，£（-砌网“）,（洸3&）,尸为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP,分别交直线附于M,V,则为为定值，且有凉.22_y_=y结论100:A,£为双曲线/一厂（a>0,b>Q）的顶点，跃-砌,网弘Q）,X-'（m>a）,尸为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP,£产分别交直线烟于d-制以层+sa+/）M,则创公尸况为定值，且有EM-FN=苏.22土-匕=1结论101：A,B为双曲线/庐-（A>Q.i>0）的顶点，现一砌,以砌,（fK>a）,P为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线

26、AP,BP分别交直线一加于_g?一并?）（?+台？+切M,/，则网'产M为定值，且有ENFM=苏.22土-二=1结论102：A,3为双曲线/b'_（a>O,b>Q）的顶点，跃-硝，网风Q）,J=（m>a）,尸为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP,BP分别交直线沿于（J_加）（+肥_施口）M,则FM-项为定值，且有=M-FN=苏.结论103:乂,8为双曲线/一庐“（a>Q/>Q）的顶点，以一硝,F佣,（沈、&）,P为双曲线上任一点（非实轴顶点）a,若直线AP,BP分别交直线也于M,M,则EM-m为定值，且有EM-EN=m2.22土-匕=

27、1结论104：A,3为双曲线小小（a>O,b>Q）的顶点，£（-硝,F伽，（洸3&）,尸为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP,分别交直线附于材，/，则RI心为定值，且有BM-FN=苏.22_y_=y结论105:A,£为双曲线/一厂（a>O,b>。）的顶点，以-弭。）,F伽期,X-'（m>a）,尸为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP,£产分别交直线烟于+8°-以那）M,N,则乂M-刚为定值，且有RM-fH=苏.22土-j结论106：A,£为双曲线/庐-（A>Q.i>0）的顶点，

28、现一砌,以砌,（2（沈3&）,P为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP,BP分别交直线一加于M-幽以4'+射）M,N,则乂出网为定值，且有AM-BN=洲”.2axy-1结论107：工，B为椭圆层/（a>if>0）的长轴顶点，P为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线4P,3P分别交直线支懈于M,N,则以为定值，且有结论108：乂，B为椭圆层N（g>6>0）的长轴顶点，P为椭圆任一点（非长a轴顶点），若直线AP,BP分别交直线融于旭，N,则尢如上加为定值，且有_比司调取3-1=a2土+J结论110：1，£为椭圆/（a>b>0）的长轴顶点

29、，?为椭圆任一点（非长工_/轴顶点），若直线AP,BP分别交直线加于MM,则上加'的为定值，且有.22土+j结论109:工，3为椭圆苏/（仪>6）。）的长轴顶点，?为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线AP,BP分别交直线于M,N,则%A新为定值，且有M卜37）*四儿蒯=4-潴a-m=.;I-'三+匕=1结论iii：工，£为椭圆一二（abQ）的长轴顶点，斯硕,Ffrn,O）,a（Q<淞<u）,P为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线AP,BP分别交直线一切于"，M,则底/恻为定值，且有卜族旗=>+冽J2L=1结论112：工，3为椭圆（白>

30、;6>0）的长轴顶点，趴硝，网弘Q）,（）<m<a）,P为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线AP,BP分别交直线帆于M,/N,则上族次为定值，且有底/次=/+幽L?a三+2=1结论ii3：A,B为椭圆/>（a>6>0）的任一直径（中心弦），?为椭圆上任_£一点（不与工，B点重合），则上题如为定值，且有上4=，=1.22工+一结论ii4：A,£为椭圆/b2（a>6>。）的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），M为弦幺g的中点，若上期与心均存在，则上版k般为定值，且有上皿上心=&1,232+J结论ii5：1B为椭圆1块（a&g

31、t;b>0）的任一弦（不与对称轴平行），若平行于AB的弦的中点的轨迹为直线P。,则有唳.22XJ-1结论ii6：过椭圆层f（ab。）上任意一点F（不是其顶点）作椭圆的切线PA,则有=>=/一1.土+J结论117：椭圆，b2及定点产（X。），（一a阴）,过月的弦的a端点为乂，B,过点乂，B分别作直线m的垂线，垂足分别为口，C,直线与I轴相交于E,则直线RC与助恒过即1的中点，且有。+上滤二口.土+2二1结论118：椭圆/M（abQ）及定点二±c）,过尸任作一条弦RB,以为椭圆上任一点，连接AE,BE,且分别与准线上F?/=1.L+匕=1结论119：椭圆/h*及定点F（陶0）

32、,（-a9加a，阳m。），过产任作一条弦AB,月为椭圆上任一点，连接AE,BE,且分别与直线Q,则有结论120：A,B为双曲线a_1（aO,b。）的顶点，P为双曲线上任一点（非X=实轴顶点），若直线AP,BP分别交直线附（的a）于/，N,则为定值，且有二；三-1=J结论121:幺，B为双曲线以1（aQ,b。）的顶点，p为双曲线上任一点（非X-实轴顶点），若直线4P,BP分别交直线懈（洸）&）于值，且有"上加=/-1.M,N,则心为定23土上=1结论122:H,3为双曲线，川（0>04>。）的顶点，P为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP,BP分别交直线烟（沈&

33、amp;）于M,则%/师为定值，且有二1L上=1结论123:月，3为双曲线户一二二（a>0fh>0）的顶点，尸为双曲线上任一点（非M,M,贝u上触上师为定a实轴顶点），若直线AP,BP分别交直线活（洸&）于值，且有(e2-l)=一"122土-j结论124：A,3为双曲线"/（a>0,b>0）的顶点，£（-科。）,F（碘,P为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP,BP分别交直线一烟于M,N,则卜S*项为定值,且有上网#或=>+掰*.2a土-匕=1结论125:A,£为双曲线/丁（仆QQQ）的顶点，匹硝,网风Q）,&#

34、163;JTP为双曲线上任一点（非长轴顶点），若直线AP,BP分别交直线然于M,则尢威w为定值，且有尢族阳=/+/.七-匕=1结论126:AB为双曲线7庐一（口>0J>0）的任一直径，P为双曲线上任一点（不与A,£点重合），则立和上腔为定值，且有上掰=（?=/-1.二_乙=1结论127:13为双曲线7V（口>02。）的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），M为弦1B的中点，若上枷与尢岫均存在，则上欧上或为定值,且有心饭以£=.土-j结论128:AB为双曲线小y一（fl>0,5>0）的任一弦（不与对称轴平行），若平行于AB的弦的中点的轨迹为直线PQ

35、,则有"1=（?=/_.二_乙=结论129:过双曲线（a>Qb>Q）上任意一点?（不是其顶点）作双曲线的切线P4,则有*=a=-.工上=1结论130:双曲线,V1（fl>0Jh>0）及定点尸例0）,（潴或用<-4）,过产aaX_R_的弦的端点为幺，3,过幺，£分别作直线m的垂线，垂足分别为D,C,直线m与I轴相交于E,则直线区与亚恒过即1的中点，且有。+上就二口.土-结论131：双曲线.（”0,b>。）及定点F（弭。）,（加二±r）,过产任作一_a2条弦AB,E为双曲线上任一点，连接AE,BE,且分别与准线烟相交于P,Q,则有&

36、#39;f?=fq=-1.土-'二1结论132:双曲线/庐一（00QQ）及定点网科°）,（期）&或明（-4）,过产a2任作一条弦AB,以为双曲线上任一点，连接型BE,且分别与直线m相交于P,Q,则有。北国才一小结论133：抛物线丁=2"（户>0）及定点网弭0），（期>0）,过正的弦的端点为幺，3,过W,B分别作直线工二一期的垂线，垂足分别为D,C,直线又二加与I轴相交于S,则直线AC与即恒过屈的中点，且有。+上的=Q.2附二结论134：抛物线丁=2px（p>Q）及定点F（弭0）,（2）,过尸任作一条弦儿3,B为抛物线上任一点，连接AE,RS

37、,分别与准线工二-期相交F,Q,则/'%=-1.结论135：抛物线尸=2px（p>0）及定点F（陶0），（加。），过F任作一条弦AS,_P_B为抛物线上任一点，连幺月,RS,分别与直线I二一期相交F,0,则与1与0=2加.P结论136：过抛物线y=2px（P>Q）的焦点F（2,0）的弦（焦点弦）与抛物线相交于工，B,过B作直线肥与I轴平行，且交准线于0,则直线乂C必过原点（即其准线与工轴交点月与焦点产的线段的中点）.22ap_.结论137：13为椭圆成加（a>b>0）的焦点F的弦，其相应的准线与I轴交点为月，过工，B作X轴的平行线与其相应的准线分别相交于M,N,

38、则直线AN,BM均过线段初7的中点._二=1结论138:乂8为双曲线/一庐二（fl>0fh>0）的焦点F的弦，其相应的准线与】轴交点为E,过幺，B作工轴的平行线与其相应的准线分别相交于M,N,则直线AM,BM均过线段EF的中点.结论139:过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点.。+5=1（口处>0,”与结论140:AB为垂直于椭圆疗b长轴上的动弦，其准线与'轴相交于Q,则直线AF与BQ（或直线BF与AQ）的交点M必在该椭圆上.结论141:AB为垂直于双曲线&b实轴的动弦

39、，其准线与】轴相交于廿,则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该双曲线上.结论142:AB为垂直于抛物线丁二次（或，=Q*0）对称轴的动弦，其准线与X轴相交于Q,则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该抛物线上.结论143:AB为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）（或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线）的动弦，其准线与】轴相交于0,则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该圆锥曲线上.结论144:圆锥曲线的焦点弦AM（不为通径，若双曲线则为单支弦），则在x轴上有且只有一点q使UQF=.结论145:过F任作圆锥曲线的一条弦AB（若是双曲线则为单支弦），分别过A、B作准线i的垂线

40、（。是其相应准线与工轴的交点），垂足为44,则直线由耳与直线4-都经过QF的中点K,即从工4及*K、A三点共线.结论146:若AM、BM是圆锥曲线过点F且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦（或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线），如图5,则四线幽，叫叫蚂共点于k.1J-1结论147：工，B分别为椭圆/b2的右顶点和左顶点，P为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线AP,BP分别交直线m于M,N,则以线段MN为直a2二小径的圆必过二个定点，且椭圆外定点为Q（m,0）及椭圆内定点为Ra2-掰口（m,0）.结论148:工，B分别为双曲线,庐-（4>01>。）的右顶点和左顶点，?为双a二曲线上任一点（非

41、实轴顶点），若直线AP,RP分别交直线m（期a）于M%,a2+右J谒-/则以线段为直径的圆必过二个定点，且双曲线内定点为0（冽，0）及a2-a2双曲线外定点为阳，0）.二+二二1结论149:过直线工二加（阴M0）上但在椭圆屋f（仪>b>0）外一点"向椭,0）圆引两条切线，切点分别为A,B,则直线AB必过定点N，且有%”一行前.?a£_=1结论150:过直线二洸（例，0）上但在双曲线/一庐二（q>Qb>Q）外（即双曲线中心所在区域）一点M向双曲线引两条切线，切点分别为A,B,则直线AB必过定点仃（一,0）_2,2K"附，且有以（冽一我）.结论

42、151：过直线工二网（阴M）上但在抛物线y2=2px（夕°）外（即抛物线准线所在区域）一点M向抛物线引两条切线，切点分别为A,B,则直线AB必过定点N50）,且有人味结论152:设点M是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点M向圆锥曲线引两条切线，切点分别为幺，B,则直线AB必过准线对应的焦点产，且F财，幺B._±+21=1结论153：过直线加+数=1上但在椭圆小射（abQ）外一点M向椭圆弓两条切线，切点分别为工，B,则直线AB必过定点N（松f延）_-=1结论154:过直线网X+为7=1上但在双曲线/（口>04>0）外（即双曲线中心所在区域）一点M向

43、双曲线引两条切线，切点分别为A,B,则直线AB必过定点N画，田）,结论155:过直线加工+期=1（冽工0）上但在抛物线产二2px（夕Q）外（即抛物线准线所在区域）一点M向抛物线引两条切线，切点分别为幺，B,则直线必过定点N结论156：乩3是椭圆滔/（。>6>0）的左右顶点，点F是直线工力（卜卜鼻"0）上的一个动点（?不在椭圆上），直线口及尸£分别与椭圆相交于财，M,则直Q1Q线MN必与X轴相交于定点U/22结论157:乂，8是在双曲线/F_（口>0/>0）的顶点，点P是直线工二£”|"仪，”0）上的一个动点（产不在双曲线上），直线

44、PA及FR分别与双曲线相交于M,N,e-.o则直线MN必与x轴相交于定点I*）.结论158：A,£是抛物线/二2px（p>0）上异于顶点0的两个动点，若直线AS过定点（29,0）,则CM，,且工，B的横坐标之积及纵坐标之积均为定值.结论159：工，B是抛物线y2=2px（A0）上异于顶点0的两个动点，若OAlOB,则直线AB必过定点N4,0）,且工，B的横坐标之积及纵坐标之积均为定值.结论160：工，£是抛物线y=2px（p>0）上异于顶点0的两个动点，若OAlOB,过。作。M儿8,则动点M的轨迹方程为x+y-2存=。（xn0）.结论161：工，B是抛物线&qu

45、ot;二2Px（>>0）上异于顶点0的两个动点，若OA±OB,则:一二二二.结论162：过抛物线/=2px（2>。）上任一点M（工。，M作两条弦MA,MB,则的充要条件是直线AB过定点N（访+2?.况结论163：过抛物线r=2p（20）上任一点M（工。，为）作两条弦MA,MB,丽-多-则/Ais=Ji（1h。）的充要条件是直线曲过定点M（04,一加）.结论164：过椭圆小b2上任一点）作两条弦MA,MB,/庐-1则如，MB的充要条件是直线AB过定点N（疗+产”,bW）,特别地，（i）当M为左、右顶点时，即M=土口,力=0时，AHiMS的充要条件是士以1-直线48过定

46、点M（a2+b2,0）.当"为上、下顶点时，即工。=0,=土8时，MAlMB的充要条件是直线AB一广）过定点4（0,/+"）.2=结论165：过双曲线层接（a>0,b>0）上任一点M（%，外）作两条弦MA,X.yMS,则超，23的充要条件是直线AB过定点N（，-加。，块-d°）.特别地，当M为左、右顶点时，即工。=±4，0=0时，超，MB的充要条件是直线±口，+户）45过定点N（/一庐，0）.结论166:过二次曲线：加+的+饵出=£（幺,BCD，月为常数,力+打0）上任一点M（%,加）作两条弦阳，MB,MAlMB,则直线A

47、B恒过定点（2扁+C2轨+小%1%-值得注意的是：在结论166中（1）令幺=ZM,5=1,C-2p,%二了。二°就是结论159；令幺=J=。，3=1,C=力就是Z论162;（3）令幺=/,B=b",C二。二。就得到结论164;令R二/B=-a2。二。二。就得到结论165.结论则167:工，3是椭圆abQ）上不同的两个动点，若OAlOB,10A工J-1结论168:工，£是椭圆/b'（4>6>0）上不同的两个动点，若,1OB,（_L工）,a+b（工X）也夕+"）则有|+网皿=才。口。产=.X城-1结论169：幺，3是双曲线川旷（/）>

48、;a>0）上不同的两个动点（在同一支上）OAiOB,则有闲+无望.结论170：在抛物线=2px（夕>0）的对称轴上存在一个定点MM，使得过该点1J-+的任意弦AB恒有阿结论171:在椭圆%+*（&>60）的长轴上存在定点M过该点的任意弦儿8恒有土上=1结论172:在双曲线/（abQ）的实轴上存在定点得过该点的任意弦A3恒有恻作一条直线与椭圆相交于M,N,Jj2a结论173：过椭圆/（ab>Q）的焦点P与J轴相交于P,若PM=XMF,PN=,则'+4为定值，且“加,与J轴相交于P,若PM二AMF,而二3NF,则Z+4为定值，且"b”.结论175：过抛物线y二2px（P>0）的焦点F作一条直线与抛物线相交于M,N,与J轴相交于尹，若PM=iMF,PN=哪,则4+4为定值，且1+二-1.结论174:过双曲线a>0,b>0）的焦点F作一条直线与双曲线