圆锥曲线轨迹及方程求法大全

1、圆锥曲线轨迹及方程求法大全轨迹方程的若干求法求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.、直接法直接根据等量关系式建立方程.例1已知点A(-20),B(&0),动点P(X，y)满足PAPB=九2，则点尸的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.物线解析：由题知PA=(-2-x->'),PB=(3-x,-y),由丽丽=上,得(一27)(37)+)3=/，即y2=x+69点轨迹为抛物线.故选D.二、定义法运用有关曲线的定义求轨迹方程.例2在AABC中,BC=24AC,AB上的两条中线长度之和为39,求AABC的重心的轨迹方程.解：以线段比所

2、在直线为轴，线段"的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图1，贝!J有|W|+|CM|=-x39=26AM点的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,-120例7J12%其中C=124=13=-3=5，所求ABC的重心的轨迹方程为总+(=Ky*o).Io923注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.三、转代法此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3已知八4笈。的顶点8(-30),C(1,O)9顶点A在抛物线上运动，求AABC的重心G的轨迹方程.解：设G(x,y)9A(%/)9由重心公式，得-37+.v()A-93V旦)-3又丁A(知)在抛物线y=Y上，)。=X；将，代入,得3y

3、3+2)0,即所求曲线方程是y=3/+4x+*w0).四、参数法如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量(参数)，把X,y联系起来.例4已知线段AAf=2ci9直线,垂直平分于O9在,上取两点P，P,使有向线段。户“满足。户OP=4,求直线AP与”的交点”的轨迹方程.解：如图2,以线段期所在直A0Arx图2线为X轴，以线段6的中垂线为)轴建立直角坐标系.设点P(0,t)(tO)9则由题意,得0,-t由点斜式得直线”"P的方程分别为两式相乘,消去,4x2+a2y2=4/()，。0)这就是所求点M的轨迹方程.评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二

4、是消参，消参的途径灵活多变.五、待定系数法当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5已知力,B,4三点不在一条直线上，且A(-20)93(20)9AD=2yAE=(AB+AD)（1）求七点轨迹方程;（2）过a作直线交以为焦点的椭圆于M,两点，线段的的中点到）轴的距离为之,且直线与E点的轨迹相切，求椭圆方程.解：（1）设E（x，y）9AE=AB+AD）知上为初中点,易知D(2x-2,2y).又回=2,U!|(2x-2+2)2+(2y)2=4即E点轨迹方程为/+），2=1（开0）；（2）设M（x，y）N（x2,y2）9中点（%光）由题意设椭圆方程为之直线的方程ercr-4为y=&（x

5、+2）.直线MN与E点的轨迹相切，.昌解得k士¥.JK+13将y=±g(a-+2)J代入椭圆方程并整理，得4(a2-3)x2+4a2x+6a2-3a4=0,_内+g_,°-5-2?又由题意知.=3,即一D*解得/2(-3)5故所求的椭圆方程为歼灭难点训练一、选择题1.已知椭圆的焦点是为、尸2,尸是椭圆上的一个动点，如果延长HP到。，使得1尸。=1尸方21,）B椭圆D.抛物线那么动点Q的轨迹是（A.圆C.双曲线的一支2.设Ai、42是椭圆+1=1的长轴两个端点,Pi、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1)B.C+E=i94C22D.lj94与A2P2交点的

6、轨迹方程为(AE+E=i94C.£-£=i94二、填空题3 .AAbC中，A为动点，B、。为定点，B(-90),C(,0),且满足条件sinCsinB=；sinA,则动点A的轨迹方程为.4 .高为5m和3m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10m,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为4(-5,0)、B(5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是三、解答题5 .已知4、B、C是直线I上的三点，且IABI=IBCI=6,QOf切直线/于点A,又过氏C作。O'异于/的两切线，设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程.6 .双曲线的实轴为AiA2,点P是双alr曲线上的一

7、个动点，引A10JLA1P,AiQVAzP,4。与420的交点为。，求。点的轨迹方程.7 .已知双曲线二一二=1(相>0,>0)的顶点为nr4、42,与y轴平行的直线,交双曲线于点P、。求直线AiP与AiQ交点M的轨迹方程;(2)当mn时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.点,8.已知椭£+4=1(0>)>0),点P为其上一crFl、尸2为椭圆的焦点，N为的外角平分线为1,点后关于/的对称点为。，交/于点艮当P点在椭圆上运动时，求尺形成的轨迹方程;(2)设点R形成的曲线为C,直线I：y=k(x+J2a)与曲线C相交于4、b两点，当ZkAOb的面积取得

8、最大值时，求人的值.4(-0)。参考答案歼灭难点训练一、L解析：PFi+PF2=2a,PQ=PF2,，I产bil+IP2l=IPJ%l+IP0l=",即0动点Q到定点Fi的距离等于定长射,故动点Q的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点尸(xj)41(-3,0)42(3,0)m(X0j0)r2(X0,Jo)VAi.Pi.尸共线，纥，2、尸2、尸共线，"曳=上x-x0x-3解得虫)=2,%=起,代入得4=1,即AX9494答案：C二、3.解析:由sinCsinB=；sinA,得b=*，二应为双曲线一支，且实轴长为多故方程为16x216v21Za、,一守二叱/答案:16x216y2

9、a4.解析：设P(xj),依题意有7(x+5)2+y2&-5)2+)，化简得尸点轨迹方程为4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4/-85x+100=0三、5.解：设过3、C异于/的两切线分别切。O'于。、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：BA=BD9PD=PE,IC4HCEI,IPBI+IPCI=IBDI+IPZ)I+IPCI=IBAI+IPEI+IPCI=IBAI+ICEI=L4BI+IC4I=6+12=18>6=IBCI,故由椭圆定义知，点尸的轨迹是以。为两焦点的椭圆，以/所在的直线为X轴，以be的中点为原点，建立坐标系，可求得动点尸的轨迹方程为=l

10、(yWO)8172V76.解：设P(xojo)(x#土VAi(a,0)/i2(a,0).由条件x()="x(x0h±a)*>ir一>o=yy九二_X+"/+”知上=x-ax0-a而点P(xoJo)在双曲线上，2Xo2-a2y(=a2b2.即bx2)a2()2=a2b2化简得。点的轨迹方程为:a2x2b2y2=a4(x#±).7.解：(1)设P点的坐标为(xiji),则。点坐标为(Xi,VI),又有A1(一加,0)42(根,0),则A1P的方程为：y=(X+m)'X|+mAiQ的方程为：J=_2j_(x-MX得:又因点P在双曲线上,故因

11、-右晒/工(X”)."rtrm代入并整理得£+E=l.此即为M的轨迹方nr-程.(2)当，nWn时，M的轨迹方程是椭圆.(i)当m>n时，焦点坐标为(土而彳,0),准线方程为x=±q,离心率e=®HZ；加2一2m(ii)当m<n时，焦点坐标为(0,土K7),准线方程为尸±，离心率e=a三V，厂一厂8.解：（I）：点尸2关于/的对称点为0,连接P。，/.ZF1PR=ZQPR9F1R=QR9pq=pf2又因为I为NF1PF2外角的平分线，故点为、尸、。在同直线上，设存在R(xojo)0X1/1)历(一c,O)g(c,O).得xi=2x。c)i=2yocFiQ=F2PMPQ=FiP+PF2