圆锥曲线大题集锦

1、圆锥曲线大题集锦221.在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆二、1(ab0)的右焦点，已知ab点A(0,-2)与椭圆左顶点关于直线yx对称，且直线AF的斜率为柜.3(1)求椭圆的方程；(2)过点Q(1,0)的直线l交椭圆于MN两点，交直线x=4于点E,uuuuuuiruuuruuirMQQN,MEEN,证明：为定值.【解析】C)i2FCc.O)由题童得2率2分c0因为点4与神国左顶点关于直致3"对你"，左顶点为(一2.3),即。2,所以6=1从而腼阀的标准方程为9+3=1.4分（II）易如直线/的斜率存在,令宜线/的方程为j）、（八）E（T）.'+2=联立<4,

2、得（1+4/+8A*jt+4£4。，=48严+16>0.6分»=A（«r+l）-8-一般-44力1+4/'不二1+4/.由Q.7.，（-1xi）】）=4（4+1=8分工？十1（xi+1）（q+4）+（1I+4）（x：4-1）_24力+5（下十不）8（力十1）（力十4）-（力+1）（工十4）8/一8_4C幺、。8/一8-4C公+8+32FM工工韦口酒代人得分十幺一1+4百一TTIF-1+4公（了？十1）（h十4）（工？十1）（力+4）；：一为定值C.2已知定圆M:(xJ3)2y216,动圆N过点F(J3,0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E。(1)求轨

3、迹E的方程；(2)设点A,B,C在E上运动，A与B关于原点对称，且ACCB,当ABC的面积最小时，求直线AB的方程。解：（I因为点尸（，0在圆0+）2+）2=16内，所以mN内切于圆H，因为|NM|+|M|=4|FM|，所以点N的轨迹E为怖圆，且2a=4c=JJ，所以b=l，斫以轨迹E的方程为Uj/=1（q分）4（II）（i当AB为长轴（或短轴）时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时5幺BC=；x|OC|x|AE|=2.（5分）（ii）当直线AB的斜率存在且不为。时，设其斜率为k，直线AB的方程为产kx，二十2=联立方程4"卜=斯以|0A|2=x；+y；1彳曰2-4

4、2-4V叱4一1尸以一='=iu±n.（7»）1TX由|AC|=|CB|知，（：为等腰三角形，0为Ab的中点，OClAB斫以直线0C的方程为3，=一又，AC己2=1、由"解得工3=芈，qc|2=4Q卡）,（9分）iC正+4C右.4右十4T%,SAabc=2SAoac=|0A|X|0C|二业Rx卜（1*）=4（）=,1+4/r2J匕4-J（l+4jT）（+4）由于（1+4左2）（左2/4产（1-4/广怔-4）=5（1炉）,所以,（11分）当且仅当l+4Y=k2+4,即1:=±1时等号成立，此时AABC面积的最小值是,，因为2:，所以2ABC面世的最

5、小值为方，此时直线AB的方程为y=x或产r（12分）22万3.已知Fi,F2分别是椭圆C：t41(ab0)的两个焦点，P(1,*)是椭圆上一ab2点，且|PFi|,IF1F2,，2|PF2成等差数列.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知动直线l过点F2,且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q,uuuUULT7使得QAQB，恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.16【解析】因为虚|哨月行成等差数列，所以2|月6口6（尸耳I十I尸理|）.将|期叶|明卜23|居用|=2*代入化筒，得口=0a=及汇能由二十'y=L解得口=Wi=L占=1)a12b14-iP+(?所I

6、：邯国的行进方程为t-VT.工恒成立.16uuuuuu（2）假设在x轴上存在点Q（m,0）,使得QAQB当直线l的斜率不存在时，A（1,日），B（1,m,由于（1m,7一5八一,解得m一或m167§苜直却的斜率为。时f4点。，以一，则逐一见。以"一次:，解得加=土一一164由可得m=-.、57_、F面证明网二二时，QAQB-恒成立416当直线1的斜率为。时，结论成立!当直线1的斜率不为0时，设直线/的方程为工二口廿1一464储双以乃），由x二注十1及F=1>得0,+2)>,十2步一1二0j所以,也噂，用+尸工二一才上十2,我内-/十2-=茗=型1+1?均=掣上+

7、1，2t（不一：，为）两一（j'Q=（h2；）+MF广（"+D防丁工一+乃+A=(二41)j4E-八24-|-=+=-P+2162(r3-b2)1616院上所述，在妹Lt存在点旦士。）使得诵，诞=-1恒成立.4164.已知定点q1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.，1，、一(1)若线段AB中点的横坐标是一2,求直线AB的方程;uuiruuur(2)在x轴上是否存在点M使MAMB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.解：(1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x+1),将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,

8、消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k25=0.设A(xi,yi),B(X2,y2),36k4则X1X24(3k21)(3k26k23k21.5)0,由线段AB中点的横坐标是x1x2213一,斛仔k都满足23所以直线AB的方程为X,3y(2)假设在x轴上存在点uuuM(m,0),使MA,3y10uuur、MB为常数.(i)当直线AB与x轴不垂直时，由(1)知xi+X2=6k223k2-53k2+1'X1X2=3k2+1,uuiruuur2所以MAMB=(X1-m)(X2n)+y1y2=(X1-n)(X2n)+k(X1+1)(X2+1)=(k2+1)X1X2+(k2m(X1+X2

9、)+k2+m2.将代入，整理得uuurMAuuurMB=(6m-1)k253k112(2m&)(3k21)c142m-323k212216m14m=m+2m3-33uuuruuir注意到MAMB是与k无关的常数，从而有6mH4=0,此时muuurMAuuir4MB9(ii)当直线AB与x轴垂直时，此时点AB的坐标分别为(1,»(2国)'7uuur当m时，也有MA3uuur4MB.综上，在x轴上存在定点9uuurM(30)使MA3uuurMB为常2工b21(a>b>0)的一个顶点与抛物线C：x2=443y的焦点重合,F1,F2分1别是椭圆的左、右焦点，且离心

10、率e=2,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若OM杀2,求直线l的方程；2(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦，MNAB求证：慌N为定值c1(1)解由题意知，椭圆的一个顶点为(0,小),即b=43,6=a=-,-a=2,22椭圆的标准方程为7+y=l-43(2)解由题意可知，直线l与椭圆必相交.当直线斜率不存在时，经检验不合题意.当斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x1)(kw0),且Mxi,yi),N(x2,y2).221由43，得(3+4k2)x28k2x+4k212=0,yk(x1).2.28k4k12xi+x2=,x1x2=3+4k'3+4k'Om-On=x1x2+yy2=xx2+k2xx2(x1+x2)+14k2-1224k2-12=3+4k2+k(3+4k28k23+4k21)=-5k2-123+4k2=T，解得k=±&,故直线l的方程为y=V2(x1)或y=>/2(x1),即衣xy衣=0或gx+y-2=0.(3)证明设Mx1,y。，Nx2,y2),丹x3,y3),B(x4,y“，由(2)可得|MN=W