周炳琨激光原理第二章习题解答(完整版)

1、周炳琨激光原理第二章习题解答(完整版)1.试利用往返矩阵证明对称共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次,而且两次往返即自行闭合。证明：设从镜M1TM2TM1,初始坐标为0%,往返一次后坐标变为=T00，往返两次后坐标变为=T*T而对称共焦腔,贝UA=1-生=-1R2B=2L1,、R2j=01/I.R1力=0D=-".R1l1-2L=-1所以，T=-1故,-10r。0-1即，两次往返后自行闭合。2 .试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。L,g2=1-R2解：共轴球面腔的稳定性条件为0Vgig2<1,其中g1=1-R1(a对平凹腔：R2=°

2、6;,则g2=1,0<1-<1,即0<L<R1R1(b)对双凹腔:0<g1*g2<1,0<1-R1人1R2J<1R1LR2AL或R<LR2<L且R+R2AL(c)对凹凸腔:R1=R1,R2=-R2,0<1LRiRi>L且RTR2I<L3 .激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m,其折射率为1.52,求腔长L在什么范围内是稳定腔。解：由图可见有工作物质时光的单程传播有效腔长减小为无工作物质时的(1、Le=Lc-L1-1?'nJ事LLeYLe由0<1+1-

3、i<1得1mcLe<2m11人2厂e贝U1.17m：Lc:二2.17mc4 .图2.1所示三镜环形腔，已知l,试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形强为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的f=(RcosH)/2,对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，f=R/(2cos9),6为光轴与球面镜法线的夹角。解:透镜序列图为R=：R22rr31也221R=该三镜环形腔的往返矩阵为:0YlL、ABl01人01人-f<01CDA=D=13Lf由稳定腔的条件:1.-1<1A+D)<1

4、,得:L,L-一<f<一或faL。32若为子午光线，由f=1Rcos30二则牛<<2L或:>空23、33.3RI31若为弧矢光线，由f=则-<R<-一或R>a/3R2cos30.325.有一方形孔径共焦腔氨窟激光器,L=30cm,d=2a=0.12cm,人=6328nm，镜的反射率为门=1，2=096'其他损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择TEM00，小孔边长应为多大？试根据图2.5.5作一大略的估计、氨就增益由公式0eg1=1+3*10“：计算。解：菲涅耳数n=2a_(0.06c

5、m)L30cm*632.8nm1.9增益为egl=13*10'0302=1.075TEM0。模衍射损耗为4.7*10，TEM。模衍射损耗为10上，总损耗为0.043,增益大于损耗；TEM02模衍射损耗为5*10上，总损耗为0.043，增益大于损耗；衍射损耗与腔镜损耗和其它损耗相比均可忽略，三横模损耗均可表示为0=0.234e-0*eg01=1.05>1因此不能作单模运转为实现TEM00单横模运转所加小孔光阑边长为:20s=2L兀230*632.85.0*10m6,试求出方形镜共焦腔面上teM30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗?3斛：H3(X)=8X12X=0Xi=0，X23

6、=±，由q/x=0土"得节线位置：2L'2因此节线是等间距分布的。7.求圆形镜共焦腔tem20和TEM02模在镜面上光斑的节线位置。解:tem02模的节线位置由缔合拉盖尔多项式:由12（。）=；（24：+；2）=0得=12=2±ay2,又,-_cr2则I72一2-2r=-,1二10s0s1，2TEM20模的节线位置为=0或$所24=0,即：=0,二2，二,328.今有一球面腔，R1=15m，R2=_m，L=80cm。试证明该腔为稳定腔；求出解：g1=1-=0.47Ri它的等价共焦腔的参数。g2=1-=1.8,g1*g2=0.846R2即：0<g1，g

7、2<1,所以该腔为稳定腔。由公式(2.8.4)Zi=LR-L=-1.31mL-RiL-R2-LR1-LZ2=-0.15mL-RiL-R22LR1-LR2-LR1R2-L2f=12122=0.25mI.L-R1L-R22f=0.5m9.某二氧化碳激光器采用平凹腔，L=50cm,R=2m,2a=1cm,九=10.6/m。试计算12,83r8s2、00、e0、600、000各为夕人。解：g1-LR1=1'92=1-R2-2I：R12（R2-L）”|l（R-L）（r+R2-L）一2L（R2-L）14JI（R1二）431.7*10%4二r-n1匕匹r2（rl）/兀（R2-L）（R1+R2-

8、L）.一1但（LR0，（Rf1二R2-L3/42.0*10m*3:二4.0*10”rad0=8.1*10-10口。=2Nef1Nef214g1g2（1-g1g2）a2二二.2一s12a22=20522.0500s210.试证明，在所有相同而R不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗最低。这里L表示腔长，r=R1=R2为对称球面腔反射镜的曲率半径，a为镜的横向线度。证明：在共焦腔中，除了衍射引起的光束发散作用以外，还有腔镜对光束的会聚作用。这两种因素一起决定腔的损耗的大小。对共焦腔而言，傍轴光线的几何偏折损耗为零。只要N不太小，共焦腔模就将集中在镜面中心附近，在边缘处振幅很小，衍射损耗极低。11

9、.今有一平面镜和一R=1m的凹面镜，问：应如何构成一平凹稳定腔以获得最小的基模远场角；画出光束发散角与腔长L的关系曲线。，2、141.解“2、口!g1'g2-2g1g2>22i±9=1）lg1g2（1-g1g2）l一g2啕*j4当L=R2=0.5m时，日o最小.212.推导出平凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表达式,作出：（1）当R=100cm时，切s1s2随R而变化的曲线。n随L而变化的曲线；（2）当L=100cm时，n,"s2'si7解:-R2(R2-L)Ti4|l(rL)(Ri+R2-L)一L(R2-L)/4，(Rtr)区R2(%-L)/口:L(R

10、2-L)(Ri+R2-L)_(%”4(R2-LR2=R=100cm(2)L=100cm13.某二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的Rh)R=2m,腔长L=1m。试给出它所产生的高I斯光束的腰斑半径s的大小和位置、该高斯光束的f及1A的大小。000解：工2L(R1-L)(R2-L)(R1R2-L)f=2(L-R)(L-R)=L(R2-L)=1*(2-1)=1m2即：f=1ma=2：f3.7*101.8*107m14 .某高斯光束腰斑大小为0o=1.14mm,人=10.6Nm。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径切及波前曲率半径Rf2,R(z)=z+一z二一2其中，f=-00.3

11、85mz=30cm：co(30cm)上1.45mm,R(30cm)&0.79mz=10m：co(10m)定29.6mm,R(10m)定10.0mR(1000m)：1000mz=1000m：8(1000m)之2.96m,15 .若已知某高斯光束之00=0.3mm,人=632.8nm。求束腰处的q参数值，与束腰相距30cm处的q参数值，以及在与束腰相距无限远处的q值。11/：.解：=-i-,R(0)二q0R(0)二2_2束腰处：q0=i0-=if:i44.66cm九q(z)=q0z(2.10.8)z=30cm:q(30cm)：(3044.66i)cmz=二：q(二)=：16.某高斯光束00

12、=1.2mm,人=10.6Nm。今用F=2cm的错透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑大小和位置，并分析所得的结果。解:.(l-F)F(l-F)2f2(2.10.17).2_F2'q)(F-l)2f2(2.10.18)l=10m:l2.00410二m,0=2.4010"mr25l=1m:l2.03410m,0=2.2510mrl=10cm:l：2.01710，m,0=5.53103mF25l=0:l1.99610m,0=5.6210m可见，透镜对束腰斑起会聚作用，位置基本不变在透镜焦点位置。17.CO2激光器输出光九=10.6Nm,co。=3m

13、m,用一F=2cm的凸透镜聚焦,求欲得到60=20Mm及2.5Mm时透镜应放在什么位置。_2解：f=三：.2.67m22.2F-.0，:0-22(F-l)2f2(2.10.18)222F'0(F-l)=2-一f.021.885m2l1.39m22十2:568.9ml：23.87m18.如图2.2光学系统，入射光九=10.6m,求切0及l3。_2解：f=',.2.67mli_2(l1-F"(l1-F1)2f20.02m(F1i)2f2_-5：2.2510ml2=l2T1=13cmj-1.5010Mml3"2F'0.08许'02F22,(l2-F

14、2)2f-521.4110m19 .某高斯光束8。=1.2mm,九=10.6Nm。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜R=1m,口径为20cm；副镜为一错透镜，Fi=2.5cm,口径为1.5cm；高斯束腰与透镜相距l=1m,如图2.3所示。求该望远系统对高斯束的准直倍率。(2.11.19)解：M=M1o二0R-f=00.427m,F2=0.5m2M=50.9520 .激光器的谐振腔由两个相同的凹面镜组成，它出射波长为九的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦参数f的实验原理及步1Pf=a*L(2R-L)2,束骤。腰半径:解：由两个相同的凹面镜组成的谐

15、振腔所对应共焦腔的焦距为:-L%。当L=R时，束腰半径最大。所以，对称共焦腔有最大的束腰半径。实验步骤：1,对某一腔长，测得束腰光斑的位置，此位置单位面积内具有该腔内光束的最大光功率。2,改变腔长，同1测量束腰光斑处小孔后的光功率。在束腰光斑光功率最小时，用卷尺测得两腔镜间距L。1则有，L=R,f='L。221 .已知一二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜构成，R1=1m,R=2m,L=0.5m。如何选择高斯光束腰斑切0的大小和位置才能使它成为该谐振腔中的自再现光束?1解：由式(2.12.3)及球面反射镜等价焦距F=R,有:2又11+l2=L,取九=10.6Nm。得：11=0.375m,l2

16、=0.125m,60=1.28*10二m22 .(1)用焦距为F的薄透镜对波长为人、束腰半径为00的高斯光束进行变换，并使变换后的高斯光束的束腰半径co；<切0（此称为高斯光束的聚焦），在Ff和F<f_2l?（2）在聚焦过程（f=）两种情况下，如何选择薄透镜到该高斯光束束腰的距离中，如果薄透镜到高斯光束束腰的距离，,心,0当F<f时，总满足<'101,并在l=F时，最小。(2)l不变:F222：二1二F(F-l)2f2l2f2<2l23.试由自再现变换的定义式（2.12.2）用q参数法来推导出自再现变换条件式（2.12.3)。解:qc(lc=l)=q(0)

17、(2.12.2)2二,.2F21)qc二iZ-2-22(F-l)2()2-2''022F-'02202(F-l)()(2.10.18)一200即切02二一0(F-l)2()口.F2一得:1=-22022(F-l)2()2,21，：；为22故F=1l1()22l(2.12.3)24.试证明在一般稳定腔（R,R2,L）中，其高斯模在腔镜面处的两个等相位面的曲率半径分别等于各该镜面的曲率半径。解：l不能改变，如何选择透镜的焦距F?LI1JR22L1-R24L22L一生R22IRiR1R2R2RiR1R2R2L.1由（2.12.10）,参考平面上的曲率半径为R=2B/(D-A)

18、4L.4L2R224L4LR2-R1R1R2R1RR2R125.试从式（2.14.12）导出式（2.14.13）、一.一、_2一一，并证明对双凸腔B-4C>0O解:R2(2.14.12a)R2l2-R2(l1L)=212(11L)=l2l2Ll1R1(2.14.12b)附/卜L)=21102L)(2)将（1）代入（2）得:R2(l1L)R1l1-R(21L)=2l1(R2-2(l1L)'R2(l1L)L)R2-2(l1L),2.2L(L-R2)l1_l12L-R-R2RL(L-Q)八-=0(2.4.13)2L-R1-R2l12B11c=0B=2L(L-R2),C2L-R1-R2_LR(L-R)2L-R1-R2R(l1L)(1)R2-2。1L)32_4腔空32匚_-(2L-R-R2)22L-R-R2对于双凸腔R=-R,R2=-R2B2_4L2(LR2)24LR(LR)0一(2LR1R2)22LR|R226.试计算R=1m,L=0.25m,a1=2.5cm,a?=1cm的虚共焦腔的：单程和上往返。若想保持ai不变并从凹面镜Mi端单端输出，应如何选择a2?反之，若想保持a2不变并从凸面镜M2端单端输出，应如何选择ai?在这两种单端输出的条件下，上单程和往返各为多大?题中为为镜Mi的横截面半径，Ri为其曲率半径，a2、R2的