向量与三角形内心外心重心垂心知识的交汇

1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍(1)重心中线的交点：重心将中线长度分成2:1;(2)垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3)内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4)外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合(1)OA+OB+OC=0yO是AABC的重心.证法1:设O(x,y),A(xi,yi),B(x2,y2),C(X3,y3)-f(X1_X)+(X2_X)+(X3X)=0OA+OB+OC=0uJU(y1V)+(y2y)*(y3y)=0X1X2X3X二3y1-y2-y3

2、y二3=O是MBC的重心.证法2:如图OAOBOC=OA2OD=0.AO=2OD二A、O、D三点共线，且O分AD为2:1，O是MBC的重心(2)OAOB=OBOC=OCOAuO为MBC的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC,AD垂直BC,D、E是垂足.OAOB=OBOCMOB(OA-OC)=OBCA=0仁OB_AC同理OA_LBC,OC_LABUO为MBC的垂心(3)设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心aOA+bOB+cOC=0uO为&ABC的内心.证明:ABACAB、土分别为AB、AC方向上的单位向量,cbABAC+平分NBAC,bABAC一十一)，令

3、九二bbcbcABAC二AO=(十)a-b-ccb化简得(abc)OAbABcAC=0.aOAbOBcOC=0(4)OA=OB=OC二O为&ABC的夕卜心。典型例题：例1:O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+£(AB+AC),W0,收），则点P的轨迹一定通过AABC的（A.外心分析：如图所示.：ABC中占.B.内心C.重心D、E分别为边BC、ACABAC=2AD=OA2ADOP=OAAPD.垂心=2AD.AP/AD二点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选例2:（03全国理4）O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点PABAC

4、、,满足OP=OA十九(=+=),儿乏0,+1c),则点P的轨迹一定通过AABC的（B）ABACA.夕卜心B.内心C.重心D.垂心ABAC分析：:旨、旨三分别为ab、ac方向上的单位向量,ABACABABAC+尸f平分/BAC,AC二点P的轨迹一定通过AABC的内心，即选B.例3:O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA(ABAC）,九W0,收），则点P的轨迹一定通过MBC的ABcosBACcosCB.内心C.重心分析：如图所示AD垂直BC,BE垂直AC,D、ABAC+ABcosBABBC=)BCACcosCACBCAB|cosBAC|cosCABBCcosBA

5、CBCcosCAB|cosBACcosC=-BC+|bC|=0二点P的轨迹一定通过MBC的垂心，即选D.练习:1.已知AABC三个顶点A、B、C及平面内一点P,满足PA+PB+PC=0,若实数九满足：AB十AC=Zap,则入的值为（D.C.32.若MBC的外接圆的圆心为O,半径为1,OAOB+OC=0,则OAOB=()B.C.13.点O在.ABC内部且满足OA2OB2OCABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（)_3B.一25C.一4D.4.AABC的外接圆的圆心为O,若OH=OA+OB+OC,则H是AABC的（）5.O是平面上一定点,B.A、内心B、C.重心222C是平面上不共线白三个点，若OA+BC=OB.2CA=OC+AB，则O是&ABC的()C.重心A.夕卜心6. AaBC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m（OA+OB+OC）,则实数m=ABACABAC17. （06陕西）已知非零向量AB与AC满足（=+）-BC=0且21=,则ABC为（）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形.28,已知MBC三个顶点A