卡方分布及其它分布

1、卡方分布一、卡方分布的定义：若 n 个相互独立的随机变量 1， 2， n ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这 n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和 i 2 构 成 一 新 的 随 机 变 量 ， 其 分 布 规 律 称 为 2(n) 分 布 （ chi-squaredistribution），其中参数n称为自由度。二、 卡方分布的性质 ：:（1） ( 可加性 )设 Yi 2ni , i , i1, k,且相互独立，则这里 nni,i .（ 2）E(2)n,Var(2) 2n4 .n,n ,证明（1）根据定义易得。（ 2）设 Y n2, , 则依定义，Y可表示为其中

2、X i N (0,1), i1, n1,X n N (,1), 且相互独立，于是因为代入（ 1），第一条结论可得证。直接计算可得于是代入（ 2）便证明了第二条结论。三、卡方分布的概率密度函数：其中Dx 为n 维x 空间内由不等式x12xn2z所定的区域。即， Dz 为n 维x 空间内以坐标原点为球心、z 为半径的球面所围成的区域（边界不在内）可以利用极坐标来计算这积分。令与这变换相应的函数行列式为：其中括号和都表示1,n 1 的函数。因此。当z0 时，C 是常数。为了定出 C, 在上述等式的两端令r, 得到从而，在 分 母 内 的积 分 中 令 1 r 21， 即 ， 用 r2 2 作代换，那

3、么，这个积分等于2n -1n11nnn dnn2 22212 d2 2212 21102022n因此，C2n 1n2 22从而，当 z0 时，即，2的密度函数为称这个密度函数所定的分布为自由度为n 的2 分布，记作（ n）2 。它的图像如下：图（一）2 分布密度函数图四、卡方分布的累积分布函数为：Fk xk 2, x2 ，k2其中 (k,z) 为不完全 Gamma函数。其图像如下：图（二）2 分布的分布函数图五、 卡方分布的特征函数及其推导：特征函数：(t)（）=f(x)dx=dx=六、 论证过程中的心得体会：首先通过对卡方的研究和证明，提高了我们对数学的兴趣。其次，通过这次的推导和搜索资料进

4、行分析，大大提高了我们的独立思考的能力，我们当中很多同学之前都很害怕类似的证明题，这一次的合力解决难题使我们信心倍增。当然同时，这个合作锻炼了我们团队合作的能力，分工合作解决问题，有的人负责收集资料，有点人负责推导公式，有的人负责输入文章，整理公式，等等。这让大家明白了团结的力量。做出合理的时间安排， 做任何事情，合理的时间安排非常重要，多元课程设计也是一样，事先要做好一个规 划，课程设计一共分 5 个板块（定义，性质，特征函数，密度函数，分布函数，心得体会）。你每 天要做完哪几个板块事先要确定好，这样做才会使自己游刃有余，保证在 2 周时间内内完成论文，以避免由于时间上的不妥，以致于最后无法

5、完成论文。另外，写论文的过程中也使我们对论文的格式有了一个了解，更规范更具体，为以后的学业报告做了一次很好的准备。论文属于科学性的文章，它有严格的书写格式规范，因此一篇好的论文一定 要有正确的格式，论文格式错误就不能得到好成绩，因此我们写论文时要端正态度，注意书写格式。多元课程的设计更加是丰富了我们的业余生活， 让大家聚在一起讨论题目， 其乐融融。这样的课程设计也能使我们找到志同道合的朋友，发现生活中的点滴数学趣事，从实际出发思考题目，同时我们对计算机的知识也有了一定的加深， matlab 的使用等等。t 分布的有关知识t 分布的概述及其历史在概率论和统计学中，学生t - 分布（ Studen

6、tst -distribution）应用在当对呈正态分布的母群体的均值进行估计。它是对两个样本均值差异进行显着性测试的学生t 测定的基础。t 检定改进了Z 检定，不论样本数量大或小皆可应用。在样本数量大（超过120 等）时，可以应用Z 检定，但Z 检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t 检定。在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t 检定。当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t - 分布。学生 t - 分布可简称为t 分布。其推导由威廉戈塞于1908 年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。因为不能以他本人的

7、名义发表，所以论文使用了学生（ Student ）这一笔名。之后t检验以及相关理论经由罗纳德费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布由于在实际工作中，往往 是未知的，常用s 作为 的估计值，为了与u 变换区别，称为 t 变换 t = xu ，统计量 t 值的分布称为 t 分布。sxt 分布的分布函数及证明用 T (x; n) 表示 tn 分布的分布函数，则证明 根据分布函数的定义有当 x 0时，上式为由于t ( y; n)dy1 ，故立即可得A11/ 2 ，为了计算A2 ，我们做变换ty2 /( ny 2 ) 则dy (n y2 )2 /(2ny) dt13t 2(1t) 22dt ，

8、因此故 T (x; n) A1 A211 IX 2 /( n x2 )( 1 , 1 n)2222而当 x0 时，我们有然后利用刚刚的讨论可知综上所述便得我们所要的结论。t 分布的密度函数及证明设, z 为相互独立随机变量，服从正态 N (0,1), z 服从自由度为 n 的 2 分布，则t=z的密度函数为n称 f t ( x) 是自由度为 n 的 t 分布（或 Student 分布）的密度函数，证：首先，易知 与 zn 相互独立，事实上，故得证 与 zn是相互独立的 . （其实，由商的密度函数为证明过程用到公式t 分布的 w特征函为：t 分布有如下特征：1、 t 分布是对称分布，且其均值为0

9、2 分布是一簇曲线， 其形态变化与 （确切地说与自由度）大小有关。自由度越小，tnt 分布曲线越低平；自由度 越大， t 分布曲线越接近标准正态分布（ u 分布）曲线，如图1。3、 t 分布是一个分布族，对于不同的样本容量都对应不同的分布，且其均值都为0。4、与标准正态分布相比，t 分布的中心部分较低，2 个尾部较高。5、变量 t 的取值范围在到之间图 1 自由度为1、 5、 的 t 分布t 分布有如下性质：性质 1令 g( x)(1x2) (n 1) / 2n则 g ( x)n 1 (1x 2 ) ( n 3 ) / 2xnng (x)n1(1x2)(n5)/2 (1x2n3 x2 ) 故

10、g( x) 0 的解为 xn /(n 2) ，即分nnnn布密度在 xn /(n2) 处有拐点。性质 211x2lim t( x; n)e 22n性质 3设 X t n，若 rn ，则 E( X r ) 存在；若 rn ，则 E(X r ) 不存在。此点由微积分中判别积分收敛的法则很容易看出。若 rn ，且 r 为奇数，由于函数 xr(1x2/ n)(n1) / 2 是 x 的奇函数，因此，r 0 ；若 rn 且 r 为 偶 数 ， 可 以 算 得rrnr / 21 3 5 (r 1)特 别(n2)(n 4) (n r )E(X)0,Va( Xr )n, n 3,4,r1 0, r2n6, n

11、5,6,n24性质 4 t n 分布由于只有 n1阶矩存在，故没有矩母函数存在。性质 5如 X1和 X 2 独立同分布于2n ，则随机变量 Y1( X 2 X 1 ) / X 1 X 2 t n 。2t 分布的分位数t 分布的分位数记作 t n . 如图所示，当 Xt n 时， P X t n=. 给出概率和自由度 n , 可从 t 分布的分为表中查出 tn . 与标准正态分布相类似 ,根据 t 分布密度曲线的对称性 , 也有 t nt1 n , 论述同 uu1 . 如果在 t 分布的分为表中没有负的分位, 则先查出 t1n , 然后得到 t nt 1 n .例如 ,t 0.95 4 2.13

12、2, t 0.9754 2.776,t 0.995 44.604,t 0.005 44.604, t 0 .025 42.776,t 0.02542.132另外 , 当 n30 时,在比较简略的表中查不到t n , 可用 u 作为 t n 的近似值 .t 分布的分位数t 分布表n0.250.20.150.10.050.0250.010.0050.00250.0010.000511.0001.3761.9633.0786.31412.70631.82163.657127.32318.31636.6220.8161.0611.3861.8862.9204.3036.9659.92514.08923

13、.32631.59830.7650.9781.2501.6382.3533.1824.5415.8417.45310.21312.92440.7410.9411.1901.5332.1322.7763.7474.6045.5987.1738.6150.7270.9201.1561.4762.0152.5713.3654.0324.7735.8936.86960.7180.9061.1341.4401.9432.4473.1433.7074.3175.2085.95970.7110.8961.1191.4151.8952.3652.9983.4994.0294.7855.40880.7060.8

14、891.1081.3971.8602.3062.8963.3553.8334.5015.04190.7030.8831.1001.3831.8332.2622.8213.2503.6904.2974.781100.700.8791.0931.3721.8122.2282.7643.1693.5814.1444.587110.6970.8761.0881.3631.7962.2012.7183.1063.4974.0254.437120.6950.8731.0831.3561.7822.1792.6813.0553.4283.9304.318130.6940.8701.0791.3501.771

15、2.1602.6503.0123.3723.8524.221140.6920.8681.0761.3451.7612.1452.6242.9773.3263.7874.14150.6910.8661.0741.3411.7532.1312.6022.9473.2863.7334.073160.6900.8651.0711.3371.7462.1202.5832.9213.2523.6864.015170.6890.8631.0691.3331.7402.1102.5672.8983.2223.6463.965180.6880.8621.0671.3301.7342.1012.5522.8783

16、.1973.6103.922190.6880.8611.0661.3281.7292.0932.5392.8613.1743.5793.883200.6870.8601.0641.3251.7252.0862.5282.8453.1533.5523.85210.6860.8591.0631.3231.7212.0802.5182.8313.1353.5273.819220.6860.8581.0611.3211.7172.0742.5082.8193.1193.5053.792230.6850.8581.0601.3191.7142.0692.5002.8073.1043.4853.76724

17、0.6850.8571.0591.3181.7112.0642.4922.7973.0913.4673.745250.6840.8561.0581.3161.7082.0602.4852.7873.0783.4503.725260.6840.8561.0581.3151.7062.0562.4792.7793.0673.4353.707270.6840.8551.0571.3141.7032.0522.4732.7713.0573.4213.69280.6830.8551.0561.3131.7012.0482.4672.7633.0473.4083.674290.6830.8541.0551

18、.3111.6992.0452.4622.7563.0383.3963.659300.6830.8541.0551.3101.6972.0422.4572.7503.0303.3853.646400.6810.8511.0501.3031.6842.0212.4232.7042.9713.3073.551600.6790.8481.0451.2961.6712.0002.3902.6602.9153.2323.461200.6770.8451.0411.2891.6581.982.3582.6172.8603.1603.3730.6740.8421.0361.2821.6451.962.326

19、2.5762.8073.093.291广义非中心 t 分布定义：1设xx1其中x( 2): n 1且 （,0,）。（*）x( 2) ECn 1 ( , I n 1, ),0t称为广义非中心 t 分布，记为t Gt n (, ) 或 t Gt n (, f ) 。定理 1：设 t Gt n ( , f ) ，则 t的密度是（ *1）1n1 (n 1)2 )y n dy ,2(n) 2(n t 2 ) 2f ( y221 y10(n)21n 2 X 11 的分布( x( 2) x( 2) ) 2t ，其中1t /( nt 2 ) 2 。证：设 x ECn 1 (, I n 1 , f ) ，其中(

20、 ,0,0)且 h() 是 Borel函数使得 E(h(t )。1mm1 m 11 mx2i )dx1 , , dx m( )21 m)1 I 1 ( f 1 m) 对 于利 用f (y 2f ( y)dy( ) 2(11022(m)21n122X 2 , X n1 ，则我们有 E (h(t)h( n 2 x1 / r ) f ( x1)2r2 ) rn1drdx 1( 1 n)0221 n12（ *2）10h(t) f (tr / n 2) 2r 2 )r n drdt( 1 n)n 22因此， t 的密度是1 n122f (t2n)r2n12t rn22)rndr ，1( 1 n)0n 2

21、21令 y(t 2n) / n) 2 r ，我们立得（ * ）。当0 时，（ *1 ）成为我们熟悉的密度 t 。1 n推论 1：设 t Gt n ( , f ), E h(t )，则（ *3 ）E(h(t)2 2M ( ) n f ( 2 )d , 其中（ *4 ）10()21M ( )x(h( n 20cos ) /(sin ) sin n 1 d。证：做变换x1推论 2：设 E tkcos , rsin ，则由（ *2 ）结论得证。1 k( 1 ( n k )k! k 21n 2k 2 j2( k 2 j )，则（ *5 ） E(t k )222 jj! (k 2 j )! cn k 2

22、j 11n)j 0(21l )(其中 x 表示 x 的整数部分， 且 c 由 cl 1 l2定义。特别（注意 cn 11）r l 1f (r 2 )dr2 20E(t)（*6 ）E(t 2 )var(t )1( 1 (n(n ) 21)2n1(1 n)cn2n2 2 21n2ncn1n221n2cn1n2 ( (1 ( n 1) /( ( 1 n)cn 1 ) 222由（ *3 ），（ *4 ）和 Legendre 倍量公式 (2a)22 a 11 ) ，结论得证。1(a) (a22分布一、定义如果随机变量的密度函数为则称随机变量服从第一自由度为，第二自由度为的 分布，记为。二、性质1、设随机

23、变量 与 相互独立， 且 ， ，则随机变量证明： 因为随机变量 与 分别 分布，所以其密度函数分别为。，由商的密度函数公式，故得令，得，其中所以，随机变量。2、设随机变量，则， D。解：令，得令，得同理可得，D3、设随机变量证明： 因为随机变量，则。，所以其密度函数为。则的密度函数为所以，。4、若随机变量，则。证明： 因为随机变量，所以其密度函数为的密度函数为所以，。三、非中心分布设，且 与 相互独立，令，则称 服从自由度为，非中心参数为的非中心分布，记为。随机变量的密度函数为证明：的联合分布为作变换则的联合分布为的边沿分布为将 改为，即为所证。二次型的分布一 Wishart分布设 x1 ,

24、xn 相互独立同标准正态N(0,1)分布，令X(x , x )，则1nY XXnxi2 2 (n)i 1其密度函数为：n1y , y2n /2y n /21 exp0,22而在 x1, xn 相互独立同正态 N (0,2) 分布时， Y 2 2n ，其密度函数为：1yn/2nn n /2122yexp22 , y0,下面将上述结果推广至多元正态分布的情况。二 Wishart 分布的定义假设 Y 1 ,Y 2 ,., Y m 相互独立，0 ， Y Y 1 , Y 2 ,., Y mmY a Y a ，则称随机阵 U 服从自由其中：p m ， UYY 1度为 m ，非中心参数为 Mu 1 , u2

25、 ,., u mp m=E Y的非中心wishart分布，记为u Wp m,; M ，特别地，当 M0,0,.,0时，则称之为中心wishart分布，记为：u Wp m,，其概率密度为：1nppn p 1f W ,2 2np 1200, 其它N P 11 t1W,W 0W 2 expn22其中 Waijpp 为对称阵，是随机矩阵 U 的观测值矩阵。三 Wishart 分布的特征函数定理：如果 S Wp m,，（0 已蕴含在 W 分布的定义中），则 sTI P2i Tm2 ，其中 Ttijpp 为实变元对称阵。证明： 因为 S Wp m,，所以 S 可表示为 fm,其中Y1,Y 2 ,., Y

26、mYY独立同1分布与 N p 0,0。有随机矩阵特征函数的定义可知s TEeitT S,且T T,因此有：m TmTmmTYtr T StrTStrSTtrYYtrY YtrYTYY从 而111mTYiYmTYs TEe1E eiY LEeiY TY m ，其中 Y NP0, 由对角定理，对1于对称阵 T 及正定阵1 ，必存在奇异阵 B 使得 :B 1BI P ,即 1B1a10B1Y, 反之B1，BB , B TBa , 做 变 换 X0a nY B X，则 :X N p 0, B 1 ( B 1 ) 1由于BB，所以 X NP 0, 。记 XX1,X2, , XP,则有 X1, X PN1

27、 0,1 , 故有 XK2 X12, K1, P .p11iY TYiX B TBXik X k2p2I p 2iE ei 11 2i k2从而 E eE ek 1而 I p 2iB1B12iTB =12iTI P2iTB 2iBTBm因此有 s TI P2iT 2 。反之，若是对称阵 S 的特征函数s TI P2iTm2 ，则 S WP m, 。四 Wishart 分布的性质性质 1：设总体 XNPu, 则样本离差阵 S服从自由度为 n-1的 wishart分布，即 :n_SX iX XiXWPn 1,i 1n_1II,由H2证明： SX iX XiXXHX ,且HIH 和 rk ( H )

28、n1 ，i 1n由定理： X 为 N p0,的 np 阶数据阵， rkAr ， A 为 n n 对称阵，且 A2A ，则X AX WPr ,，则 XHX n1,。性质 2：（可加性）设W1 WP n2 P2,且 W1 ,W2相互独立，则1 , W, W n2 Pn 12。W1W Wn ,证：（用特征函数）由 W1WPn1,W2WPn2 ,，可知其特征函数分别为m1m21 TI p2iT2 , 2TI p2iT2 ，又由 W1, W2 相互独立，可推之 W1 W2的特征函mm21数为T1T2 TI p2i T2 ，由定理 1 之逆可知，1 2P1 2成WW Wnn ,立。性质 3：设WWPn,，

29、对 任意 m p 阶常数矩 阵 C, 有 CWC Wmn, C C , 特别 的有，aW WP n, a（ a0 ，为常数）。证明 ： 由 W WP n,N,其中X1, ,XN，可知WX X相互独立，且1X N p u , , 0,1, ,N,Mu 1 , u N ，故 CWCNC 1， ,CXN 也相互独立，CXCX,而CX N PCu ,C，且 CX1则 CWC Wm n,C C 。同理得：WP,，为常数）。aWn a（ a 0关于 p阶 wishart 分布密度函数有以下说明：（ 1）、 W 是 p阶对称阵 ,(3)式是 W 的 p( p 1) / 2 个变量，11, 1p , 22 , 2 p ,pp的密度函数，而积分区域是使得 W 0 的这些变量所构成的区域。（ 2）、为了使得 p阶 wishart分布有密度函数，除了0 ，为什么还要求 n p ?这是因为 p阶矩阵 W以概率 1 为正定矩阵的充要条件是 np 。证：由于 WXX ，X 是 np 阶矩阵，所以 np 时， p 阶矩阵 W不可能是正定矩阵。 此外，np在 np 时， WX Xxi xixi xi, 所以欲证W 以概率 1 为正定矩阵的充要条件是i1i 1np ，仅需要证明在 np 时， p(W 0)1。在 np 时，由于 W XX ，所以W不是正定矩阵X0 。令