函数奇偶性(公开课)分享资料

1、12xy0 我们发现现实生活中的许多事物都具有对称性，有我们发现现实生活中的许多事物都具有对称性，有的关于直线对称，有的关于点呈中心对称，那么在我的关于直线对称，有的关于点呈中心对称，那么在我们数学领域里，我们会研究函数图象的某对称性！们数学领域里，我们会研究函数图象的某对称性！3成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水！ 励志笃行、追求卓越！临沂三中临沂三中 李法学李法学4教学目标教学目标1、理解奇函数、偶函数的概念；、理解奇函数、偶函数的概念；2、函数奇偶性的判断；、函数奇偶性的判断；3、奇、偶函数图象的性质、奇、偶函数图象的性质 【重点重点】函数

2、奇偶性的概念函数奇偶性的概念【难点难点】函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断5xyoxyo 2)(xxfxxf)(观察下列两个函数图象并思考以下问题：观察下列两个函数图象并思考以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）当自变量当自变量x x取一对相反数时取一对相反数时, ,相应的相应的 两个函数值如何两个函数值如何? ? x-3-2 -1 0 1 2 3 2)(xxf x -3-2 -1 0 1 2 3 xxf)(94101493210123 这两个这两个函数的图像函数的图像都关于都关于y轴轴对称对称6从函数值对应表可以看到从函数值对应表可以看到: 当

3、自变量当自变量x取一对相反数时取一对相反数时,相应的两个函数值相同相应的两个函数值相同对于对于f(x)=x2 ，f(-x)=(-x)2=x2 ，即，即f(-x)=f(x) 对于对于R内任意的一个内任意的一个x，都有，都有f(-x) =f(x)，这时，这时我们称函数我们称函数f(x)=x2 为为偶函数偶函数.7 如果对于函数如果对于函数f(x) )的定义域内的定义域内任意任意一个一个x, , 都有都有f(- -x)= )= f( (x),),那么函数那么函数f( (x) )就叫做偶函数就叫做偶函数. . 思考思考: :定义中定义中“任意一个任意一个x,x,都有都有f(-x)=f(x)f(-x)=

4、f(x)成立成立”说明了什么？说明了什么？ 说明说明f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)都有意义，都有意义，即即-x-x、x x必须同时属于定义域，必须同时属于定义域，因此偶函数的因此偶函数的定义域关于原点对称的定义域关于原点对称的。8xy12( )(,1f xxx xy1-12( )(,11,)fxxx xy12( )1f xxx（）。（2）下列说法是否正确，为什么？）下列说法是否正确，为什么？若若f (2) = f (2)，则函数，则函数 f (x)是偶函数是偶函数若若f (2) f (2)，则函数，则函数 f (x)不是偶函数不是偶函数9yxO)0(1)(xxxfx0-x0 x-3-

5、2 -1 0 1 2 3 ( )f xx x -3-2 -1 1 2 3 332xxf1)(21011121312131 两个函数两个函数的图像都关的图像都关于原点对称于原点对称.观察下列两个函数图象并思考以下问题：观察下列两个函数图象并思考以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）当自变量当自变量x x取一对相反数时取一对相反数时, ,相应的两个函数值如何相应的两个函数值如何? ?xyo123-112-13( )f xx10对于对于f(x)=x ，f(-x)= -x= -f(x) ，即，即f(-x)= -f(x). 对于对于R内内任意任意的一个的

6、一个x，都有，都有f(-x)= - f(x)，这时，这时我们称函数我们称函数f(x)=x为为奇函数奇函数.从函数值对应表可以看到从函数值对应表可以看到: 当自变量当自变量x取一对相反数时，相应的函取一对相反数时，相应的函数值数值f(x)也是一对相反数也是一对相反数.11 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域的定义域内的内的任意任意一个一个x，都有，都有f(-x)= - f(x),那么称那么称函数函数y=f(x)为为奇函数奇函数.12(1) 定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。 a ,b-b,-axo对于奇、偶函数定义的几点说明:(2) (2) 如

7、果一个函数如果一个函数f f( (x x) )是奇函数或偶函数，是奇函数或偶函数， 那么我们就说函数那么我们就说函数f f( (x x) )具有奇偶性具有奇偶性.(3)(3) 函数的奇偶性是函数的整体性质函数的奇偶性是函数的整体性质. .奇偶性是对函数的整个定义域而言的奇偶性是对函数的整个定义域而言的. .13判断正误判断正误(2)偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.反过来反过来,如果如果一个函数的图象关于一个函数的图象关于y轴对称轴对称,那么这个函数那么这个函数为偶函数为偶函数.奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于： 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性.简化函数图象的

8、画法简化函数图象的画法(1)奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称.反过来反过来, ,如果如果一个函数的图象关于原点对称一个函数的图象关于原点对称, ,那么这个函那么这个函数为奇函数数为奇函数. .14例例1、已知函数、已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴右边的图轴右边的图象如下图，画出在象如下图，画出在y轴左边的图象轴左边的图象.xy0解：画法略解：画法略相等相等15xy0相等相等变式练习：如果函数变式练习：如果函数y=f(x)是奇函数呢？它在是奇函数呢？它在y轴轴右边的图象如下图，请画出在右边的图象如下图，请画出在y轴左边的图象轴左边的图象.1617例例2.根据下

9、列函数图象根据下列函数图象,判断函数奇偶性判断函数奇偶性.112)(2xxfyxyxxxf)(yx-122 , 1,)(2xxxfyx-11 1 , 1,)(3xxxf图象法18例3.判断下列函数的奇偶性f(x)为奇函数为奇函数.解解:定义域为定义域为x|x0,1()()()1() fxxxxx1(1) ( ) f xxx解:f(x)的定义域为x|x0.f(x)为偶函数.定义法( ), f x21(2)()fxx221()()1( ) fxxf xx19用定义法判断函数奇偶性解题步骤用定义法判断函数奇偶性解题步骤:(1)(1)先确定函数定义域先确定函数定义域, ,并判断并判断 定义域是否关于原

10、点对称定义域是否关于原点对称; ;(2)(2)求求f(-x)f(-x)，找，找 f(-x)f(-x)与与f(x),-f(x)f(x),-f(x)的关系的关系; ;(3)(3)作出结论作出结论: :若若f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),则则f(x)f(x)是偶函数是偶函数; ;若若f(-x)= - f(x),f(-x)= - f(x),则则f(x)f(x)是奇函数是奇函数. .202.（1）判断函数）判断函数 的奇偶性的奇偶性.（2）如图是函数）如图是函数 图像的一部分，能图像的一部分，能否根据否根据f(x)的奇偶性画出它在的奇偶性画出它在y 轴左边的图像吗？轴左边的图像吗？ 3f(x

11、)=x +x3f(x) = x +xyx0小试牛刀：小试牛刀：(1) f(x)=x3- 2x； (2) f(x)=2x4+3x221(4) f(x)=x+1(3)f(x)=0 (x R)(1)(2)例例4、快速判断下列函数的奇偶性：、快速判断下列函数的奇偶性：4( )f xx5( )f xx22(4) f(x)=x+1解解:函数函数f(x)的定义域为定义域为R f(-x)=f(x)=0， 又又 f(-x)=-f(x)=0，f(x)为既奇又偶函数为既奇又偶函数(3)f(x)=0 (x R)根据奇偶性根据奇偶性, 函数可划分为四类函数可划分为四类:1.奇函数奇函数;2.偶函数偶函数;3.既奇又既奇

12、又 偶函数偶函数;4.非奇非非奇非 偶函数偶函数.解解:函数定义域为函数定义域为R f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1,f(-x)f(x),且且f(-x) f(x). f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数.231.奇偶性定义奇偶性定义:对于函数对于函数f(x),在它的定义域内，在它的定义域内， 若有若有f(-x)=-f(x), 则则f(x)叫做奇函数；叫做奇函数； 若有若有f(-x)=f(x), 则则f(x)叫做偶函数。叫做偶函数。2.定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提是函数具有奇偶性的前提3.图象性质图象性质:一个函数为奇函数一个函数为奇函数它的图象关

13、于原点对称它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数一个函数为偶函数它的图象关于它的图象关于y 轴对称轴对称4.判断奇偶性方法：判断奇偶性方法：图象法，定义法。图象法，定义法。 5.判断函数奇偶性的步骤判断函数奇偶性的步骤 考查函数定义域是否关于原点对称；考查函数定义域是否关于原点对称； 判断判断f(- -x)与与f(x)、-f(x)的关系的关系； 作出结论作出结论.24 一、填空：一、填空： 1 1、如果对于函数如果对于函数f f( (x x) )的定义域内任意一个的定义域内任意一个x x, ,都有都有 那么函数那么函数 f f( (x x) )就叫做偶函数就叫做偶函数. . 2、奇函数的图象关于奇函数的图象关于 对称。对称。 二、判