二次函数和几何图形的综合题

1、.wd说明：1. 试题左侧二维码为该题目对应解析；2. 请同学们在独立解答无法完成题目后再扫描二维码查看解析，杜绝抄袭；3. 查看解析还是无法掌握题目的，可按下方“向教师求助按钮；4. 组卷教师可在试卷下载页面查看学生扫描二维码查看解析情况统计，了解班级整体学习情况，确定讲解重点；5. 公测期间二维码查看解析免扣优点，对试卷的使用方面的意见和建议，欢送通过“意见反应告之。2021 年03月03日光芒职业的初中数学组卷一解答题共30小题12021 崇明县一模如图，抛物线y=x2+bx+c经过直线y=+1与坐标轴的两个交点A、B，点C为抛物线上的一点，且ABC=901求抛物线的解析式；2求点C坐标

2、；3直线y=x+1上是否存在点P，使得BCP与OAB相似？假设存在，请直接写出P点的坐标；假设不存在，请说明理由22021 三亚三模如图，直线y=x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过点B、C和点A1，01求B、C两点坐标；2求该二次函数的关系式；3假设抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，那么在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；4点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标3202

3、1 金山区一模如图，直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y=ax2+bx+2a0经过点A和点B1，01求抛物线的解析式；2在线段AD上取一点F点F不与点A重合过点F作x轴的垂线交抛物线于点G、交x轴于点H当FG=GH时，求点H的坐标；3设抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，点M在线段AB上，当AEM与BCM相似时，求点M的坐标42021 普陀区一模如图，在平面直角坐标系xOy中，点Am，0和点B0，2mm0，点C在x轴上不与点A重合1当BOC与AOB相似时，请直接写出点C的坐标用m表示2当BOC与AOB全等时，二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B、

4、C三点，求m的值，并求点C的坐标3P是2的二次函数图象上的一点，APC=90，求点P的坐标及ACP的度数52021 宝山区一模1数学小组的单思稿同学认为形如的抛物线y=ax2+bx+c，系数a、b、c一旦确定，抛物线的形状、大小、位置就不会变化，所以称数a、b、c为抛物线y=ax2+bx+c的特征数，记作a，b，c；请求出与y轴交于点C0，3的抛物线y=x22x+k在单同学眼中的特征数；2同数学小组的尤恪星同学喜欢将抛物线设成y=ax+m2+k的顶点式，因此坚持称a、m、k为抛物线的特征数，记作a，m，k；请求出上述抛物线在尤同学眼中的特征数；3同一个问题在上述两位同学眼中的特征数各不一样，为

5、了让两人的研究保持一致，同组的董和谐将上述抛物线表述成：特征数为u，v，w的抛物线沿平行于某轴方向平移某单位后的图象，即此时的特征数u，v，w无论按单思稿同学还是按尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，请你根据数学推理将董和谐的表述完整地写出来；4在直角坐标系xOy中，上述1中的抛物线与x轴交于A、B两点A在B的左边，请直接写出ABC的重心坐标62021 松江区一模在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点1，3和点1，5；1求这个二次函数的解析式；2将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；3在第2小题的条件下，

6、如果点P的坐标为2，3，CM平分PCO，求m的值72021 山西模拟如图1，Pm，n是抛物线y=x21上任意一点，l是过点0，2且与x轴平行的直线，过点P作直线PHl，垂足为H【特例探究】1填空，当m=0时，OP=_，PH=_；当m=4时，OP=_，PH=_【猜测验证】2对任意m，n，猜测OP与PH大小关系，并证明你的猜测【拓展应用】3如图2，如果图1中的抛物线y=x21变成y=x24x+3，直线l变成y=mm1抛物线y=x24x+3的顶点为M，交x轴于A、B两点，且B点坐标为3，0，N是对称轴上的一点，直线y=mm1与对称轴于点C，假设对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到

7、点N的距离用含m的代数式表示MC、MN及GN的长，并写出相应的解答过程；求m的值及点N的坐标82021 徐汇区一模：如图，抛物线C1：y=ax2+4ax+c的图象开口向上，与x轴交于点A、BA在B的左边，与y轴交于点C，顶点为P，AB=2，且OA=OC1求抛物线C1的对称轴和函数解析式；2把抛物线C1的图象先向右平移3个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C2，记顶点为M，并与y轴交于点F0，1，求抛物线C2的函数解析式；3在2的根底上，点G是y轴上一点，当APF与FMG相似时，求点G的坐标92021辽阳如图，在RtABC中，C=90，顶点A、C的坐标分别为1，2，3，2，点B在x轴上，抛物线y

8、=x2+bx+c经过A、C两点1求该抛物线所对应的函数关系式；2点P是抛物线上的一点，当SPAB=SABC时，求点P的坐标；3假设点N由点B出发，以每秒个单位的速度沿边BC、CA向点A移动，秒后，点M也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停顿移动，点N的移动时间为t秒，当MNAB时，请直接写出t的值，不必写出解答过程102021梧州如图，抛物线y=ax2+bx+2与直线l交于点A、B两点，且A点为抛物线与y轴的交点，B2，4，抛物线的对称轴是直线x=2，过点A作ACAB，交抛物线于点C、x轴于点D1求此抛物线的解析式；2求点D的坐标；3抛物线上

9、是否存在点K，使得以AC为边的平行四边形ACKL的面积等于ABC的面积？假设存在，请直接写出点K的横坐标；假设不存在，请说明理由提示：抛物线y=ax2+bx+ca0的对称轴为x=，顶点坐标为，112021青海如下图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M2，4，与x轴交于A、B两点，且A6，0，与x轴交于点C1求抛物线的函数解析式；2求ABC的面积；3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使APC的面积最大？假设能，请求出点P的坐标；假设不能，请说明理由122021河池如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+ca0与x轴交于A1，0，B3，0，与y轴交于C0，3，顶点为D1，

10、4，对称轴为DE1抛物线的解析式是_；2如图2，点P是AD上一个动点，P是P关于DE的对称点，连接PE，过P作PEPE交x轴于F设S四边形EPPP=y，EF=x，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；3在1中的抛物线上是否存在点Q，使BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？假设存在，求出Q的坐标；假设不存在请说明理由132021葫芦岛如图，22网格每个小正方形的边长为1中，有A，O，B，C，D，E，F，H，G九个格点抛物线l的解析式为y=x2+bx+c1假设l经过点O0，0和B1，0，那么b=_，c=_；它还经过的另一格点的坐标为_2假设l经过点H1，1和G0，1，求它的解析式及顶点坐标；通过

11、计算说明点D1，2是否在l上3假设l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样的抛物线的条数142021日照二模：如图，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为1，01求二次函数的解析式；2求四边形BDEC的面积S；3在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在点P使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形？假设存在，求出点P运动的时间t的值，假设不存在，请说明理由4假设动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2

12、个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与ABD相似，假设存在，求a的值，假设不存在，说明理由152021福田区模拟如下图，对称轴是x=1的抛物线与x轴交于A、B1，0两点，与y轴交于点C0，3，作直线AC，点P是线段AB上不与点A、B重合的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点D，交抛物线于点E，连结CE、OD1求抛物线的函数表达式；2当P在A、O之间时，求线段DE长度s的最大值；3连接AE、BC，作BC的垂直平分线MN分别交抛物线的对称轴x轴于F、N，连接BF、OF，假设EAC=OFB，求点P的坐标162021西城区一模抛物线y=

13、x2kx3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为1+k，01求抛物线对应的函数表达式；2将1中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M落在线段BC上，记该抛物线为G，求抛物线G所对应的函数表达式；3将线段BC平移得到线段BCB的对应点为B，C的对应点为C，使其经过2中所得抛物线G的顶点M，且与抛物线G另有一个交点N，求点B到直线OC的距离h的取值范围172021成都三模如图，抛物线的顶点为A2，1，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B1求抛物线的解析式；2在y轴上有一点M使MAB的周长最小，求出此时MAB的周长；3在2的条件下，在抛物线上是否存在点N不与点O、A重合，使NAO比MAO

14、小？假设存在请求出点N横坐标xN的取值范围；假设不存在，请说明理由182021宜春模拟如图，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x 与x 轴相交于点B、O连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l1求抛物线的解析式，并求出顶点A 的坐标；求直线l的函数解析式2假设点P是l上一动点设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当9S18时，t的取值范围；3在2的条件下，当t取最小值时，抛物线上是否存在点Q，使OPQ为直角三角形且OP为直角边？假设存在，直接写出点Q的坐标；假设不存在，说明理由192021河东区一模在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+cb，c为

15、常数的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为0，1，C的坐标为4，3，直角顶点B在第四象限1如图，假设该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；2平移1中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q，取BC的中点N，连接NP，BQ，试探究是否存在最大值？假设存在，求出该最大值；假设不存在，请说明理由202021铁岭如图，抛物线y=ax2+bx+4的对称轴是直线x=，与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，并且点A的坐标为1，01求抛物线的解析式； 2过点C作CDx轴交抛物线于点D，连接AD交y轴于点E，连接AC，设AEC的面积为S1，DEC的面积为S2，求S1：S2的值

16、3点F坐标为6，0，连接DF，在2的条件下，点P从点E出发，以每秒3个单位长的速度沿ECDF匀速运动；点Q从点F出发，以每秒2个单位长的速度沿FA匀速运动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停顿运动假设点P、Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？请直接写出所有符合条件的t值212021海曙区一模如图，A为第一象限内一点A切y轴于点D，交x轴于点B，C，点E为BC的中点1求证：四边形OEAD是矩形；2假设A5，4，求过点D，B，C的抛物线解析式；3点F与2中的点D，B，C三点构成平行四边形，把2中的抛物线向上或向下平移多少个单位长度后所得抛物线经过

17、点F？请直接写出点F的坐标及相应平移方向与平移距离；4在2的条件下，点P为线段AD上的一动点，在BP右侧作PQPB，且PQ=PB，求当DQ+BQ最小时P点坐标22二次函数C1：y=x2+2ax+2xa+1，且a变化时，二次函数C1的图象顶点M总在抛物线C2上；1用含有a的式子表示顶点M的坐标，并求出抛物线C2的函数解析式；2假设抛物线C2的图象与x轴交于点A、BA在B点左侧，与y轴交于点C设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F且满足AC=2EF，是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是梯形？假设存在，求出点E的坐标；假设不存在，请说明理由；3假设P是抛

18、物线C2对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线l交抛物线于M、N两点，当y轴平分MN时，求出直线l的函数解析式23如图，抛物线y=x2+bx3与x轴交于A、B两点点A在点B左侧，直线l与抛物线交于A、C亮点，其中C的横坐标为21求A、C两点的坐标及直线AC的函数解析式；2P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求ACE面积的最大值；3点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；假设不存在，请说明理由24如图，抛物线y=x21的顶点坐标为M，与x轴交

19、于A、B两点1判断MAB的形状，并说明理由；2过原点的任意直线不与y轴重合交抛物线于C、D两点，连接MC、MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由25如图，二次函数y=x2+c的图象经过点D，与x轴交于A，B两点1求c的值；2如图，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；3设点P，Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜测：是否存在这样的点P，Q，使AQPABP？如果存在，请举例验证你的猜测；如果不存在，请说明理由图供选用26如图，抛物线过点A1，0，B4，0，C，1求抛物线对应的函数关

20、系式及对称轴；2点C是点C关于抛物线对称轴的对称点，证明直线y=x+1必经过点C；3问：以AB为直径的圆能否过点C？并说明理由27如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于B2，0、C8，0两点，与y轴的正半轴相交于点A，过点A、B、C三点的P与y轴相切于点A，M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交抛物线于点N，交P于点D1填空：点A的坐标是_，P半径的长是_；2假设SBNC：SAOB=15：2，求N点的坐标；3假设AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MBMD的值28如图，在直角坐标系中，M的圆心在y轴的正半轴上，AB与M相切于A，BC与M相切于点D，圆M与x轴相切于点O，B点坐标为4

21、，121求点C的坐标；2求经过A、B、C三点的函数的解析式，并写出对称轴；3求圆M在抛物线的对称轴上切得的弦EF的长29如图，二次函数y=x+22的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B1求点A、B的坐标；2求SAOB；3求对称轴方程；4在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？30抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A1，0、B3，0两点，与y轴交于点C0，31求抛物线的解析式；2判断ABC是否为直角三角形，并给出理由；3在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABCD的面积最大？假设存在，请求出点D的坐标，并求出此时四边形ABCD的面积；假设不存在，请说明理由

22、一解答题共30小题12021 崇明县一模如图，抛物线y=x2+bx+c经过直线y=+1与坐标轴的两个交点A、B，点C为抛物线上的一点，且ABC=901求抛物线的解析式；2求点C坐标；3直线y=x+1上是否存在点P，使得BCP与OAB相似？假设存在，请直接写出P点的坐标；假设不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：1根据直线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；2作CDx轴于D，根据题意求得OAB=CBD，然后求得AOBBDC，根据相似三角形对应边成比例求得CD=2BD，从而设BD=m，那么C2+m，2m，代入抛物线的解析式即可求得；3分两种情况分

23、别讨论即可求得解答：解：1把x=0代入y=x+1得，y=1，A0，1，把y=0代入y=x+1得，x=2，B2，0，把A0，1，B2，0代入y=x2+bx+c得，解得，抛物线的解析式y=x2x+1，2如图，作CDx轴于D，ABC=90，ABO+CBD=90，OAB=CBD，AOB=BDC，AOBBDC，=2，CD=2BD，设BD=m，C2+m，2m，代入y=x2x+1得，2m=m+22m+2+1，解得，m=2或m=0舍去，C4，4；3OA=1，OB=2，AB=，B2，0，C4，4，BC=2，当AOBPBC时，那么=，解得，PB=，作PEx轴于E，那么AOBPEB，=，即=，PE=1，P的纵坐标为

24、1，代入y=x+1得，x=0或x=4，P0，1或4，1；当AOBCBP时，那么=，即=，解得，PB=4，作PEx轴于E，那么AOBPEB，=，即=，PE=4，P的纵坐标为4，代入y=x+1得，x=6或x=10，P6，4或10，4；综上，P的坐标为0，1或4，1或6，4或10，4点评：此题是二次函数和一次函数的综合题，考察了待定系数法、三角形相似的判定和性质，数形结合运用是解题的关键22021 三亚三模如图，直线y=x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过点B、C和点A1，01求B、C两点坐标；2求该二次函数的关系式；3假设抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，那么在抛物线的对称轴上

25、是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；4点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：1分别令解析式y=x+2中x=0和y=0，求出点B、点C的坐标；2设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式，求出a、b、c的值，进而求得解析式；3由2的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半

26、径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；4设出E点的坐标为a，a+2，就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=SBCD+SCEF+SBEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论解答：解：1令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，即点B4，0，C0，2；2设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式得，解得：，即该二次函数的关系式为y=x2+x+2；3y=x2+x+2，y=x2+，抛物线的对称轴是x=OD=C0，2，OC=2在RtOCD中，由勾股定理，得CD=CDP是以CD为腰的等腰三角

27、形，CP1=DP2=DP3=CD如图1所示，作CHx对称轴于H，HP1=HD=2，DP1=4P1，4，P2，P3，；4当y=0时，0=x2+x+2x1=1，x2=4，B4，0直线BC的解析式为：y=x+2如图2，过点C作CMEF于M，设Ea，a+2，Fa，a2+a+2，EF=a2+a+2a+2=a2+2a0x4S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=BDOC+EFCM+EFBN，=+aa2+2a+4aa2+2a，=a2+4a+0x4=a22+a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，E2，1点评：此题考察了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰

28、三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键32021 金山区一模如图，直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y=ax2+bx+2a0经过点A和点B1，01求抛物线的解析式；2在线段AD上取一点F点F不与点A重合过点F作x轴的垂线交抛物线于点G、交x轴于点H当FG=GH时，求点H的坐标；3设抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，点M在线段AB上，当AEM与BCM相似时，求点M的坐标考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：1根据函数值，可得相应自变量的值，根据待定系数法，可得函数解析式；2根据自变量的值，可得相应函数值，根据FG=GH，

29、可得关于a的方程，解方程，可得答案；3根据相似三角形的性质，可得关于b的方程，解方程，可得答案解答：解：1当y=0时，2x+6=0解得x=3，即A3，0，由抛物线y=ax2+bx+2a0经过点A3，0和点B1，0，得，解得故抛物线为y=x2x+2；2设H点的坐标为a，0，Fa，2a+6，Ga，a2a+2由FG=GH，得2a+6=2a2a+2化简，得2a2+7a+3=0解得a=，a=3不符合题意要舍去，点H的坐标，0；3设M点坐标为b，0，AM=b+3，BM=1b，抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，得E1，4，C0，2由勾股定理，得AE=2，BC=当AEMBCM时，=，即

30、=化简，得3b=1，解得b=，即M，0；当AEMBMC时，=，即=，化简，得b2+2b+7=0实数b不存在；综上所述：M，0点评：此题考察了二次函数综合题，1利用了待定系数法求函数解析式，2利用了线段中点的性质，3利用了相似三角形的性质42021 普陀区一模如图，在平面直角坐标系xOy中，点Am，0和点B0，2mm0，点C在x轴上不与点A重合1当BOC与AOB相似时，请直接写出点C的坐标用m表示2当BOC与AOB全等时，二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，求m的值，并求点C的坐标3P是2的二次函数图象上的一点，APC=90，求点P的坐标及ACP的度数考点：二次函数综合题菁优网版

31、权所有分析：1分类讨论：BOCBOA，BOCAOB，根据相似三角形的性质，可得答案；2根据全等三角形的性质，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；3根据相似三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值可得p点坐标，分类讨论：当点P的坐标为，1时，根据正弦函数据，可得COP的度数，根据等腰三角形得到性质，可得答案； 当点P的坐标为，1时，根据正弦函数据，可得AOP的度数，根据三角形外角的性质，可得答案解答：解：1点C的坐标为m，0或4m，0或4m，0；2当BOC与AOB全等时，点C的坐标为m，0，二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，解得二次函数解析式为y=x2+

32、4，点C的坐标为2，0；3作PHAC于H，设点P的坐标为a，a2+4，AHP=PHC=90，APH=PCH=90CPH，APHPCH，=，即PH2=AHCH，a2+42=a+22a解得a=，或a=，即P，1或，1，如图：当点P1的坐标为，1时，OP1=2=OC，sinP1OE=COP=30，ACP=75当点P的坐标为，1时，sinP2OF=，P2OF=30由三角形外角的性质，得P2OF=2ACP，即ACP=15点评：此题考察了二次函数综合题，1利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键；2利用全等三角形的性质，解三元一次方程组；3利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等腰三角形

33、的性质，三角形外角的性质52021 宝山区一模1数学小组的单思稿同学认为形如的抛物线y=ax2+bx+c，系数a、b、c一旦确定，抛物线的形状、大小、位置就不会变化，所以称数a、b、c为抛物线y=ax2+bx+c的特征数，记作a，b，c；请求出与y轴交于点C0，3的抛物线y=x22x+k在单同学眼中的特征数；2同数学小组的尤恪星同学喜欢将抛物线设成y=ax+m2+k的顶点式，因此坚持称a、m、k为抛物线的特征数，记作a，m，k；请求出上述抛物线在尤同学眼中的特征数；3同一个问题在上述两位同学眼中的特征数各不一样，为了让两人的研究保持一致，同组的董和谐将上述抛物线表述成：特征数为u，v，w的抛物

34、线沿平行于某轴方向平移某单位后的图象，即此时的特征数u，v，w无论按单思稿同学还是按尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，请你根据数学推理将董和谐的表述完整地写出来；4在直角坐标系xOy中，上述1中的抛物线与x轴交于A、B两点A在B的左边，请直接写出ABC的重心坐标考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：综合题分析：1把C坐标代入抛物线解析式求出k的值，确定出抛物线解析式，即可得出抛物线在单同学眼中的特征数；2把抛物线解析式化为顶点形式，确定出抛物线在尤同学眼中的特征数即可；3把抛物线解析式化为顶点形式，要使单思稿同学和尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，必须满足，得到b=0，即可得出董和谐的表

35、述；4找出AB的中点，求出AB边中线方程，同理求出AC边中线方程，联立求出重心坐标即可解答：解：1把C0，3代入抛物线解析式得：k=3，抛物线解析式为y=x22x3，那么该抛物线在单同学眼中的特征数为1，2，3；2y=x22x3=x124，上述抛物线在尤同学眼中的特征数为1，1，4；3y=ax2+bx+c=ax+2+c，要使单思稿同学和尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，必须满足，即b=0，y=x124可以看做y=x24沿平行于x轴方向向右平移1个单位而成，董和谐的表述为：特征数1，0，4的抛物线沿平行于x轴方向向右平移1个单位的图象；4对于抛物线解析式y=x22x3，令y=0，得到x22x3

36、=0，即x3x+1=0，解得：x=3或x=1，即A1，0，B3，0，C0，3，线段AB中点坐标为1，0，AB边的中线方程为y=x1=3x1=3x3；AC边中点坐标为，AC边的中线方程为y=x3=x3=x，联立得：，解得：，那么ABC的重心坐标为，1点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，线段中点坐标公式，直线的点斜式方程，以及新定义，弄清题中的新定义是解此题的关键62021 松江区一模在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点1，3和点1，5；1求这个二次函数的解析式；2将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式

37、表示平移后函数图象顶点M的坐标；3在第2小题的条件下，如果点P的坐标为2，3，CM平分PCO，求m的值考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：1根据待定系数法，可得函数解析式；2根据顶点坐标公式，可得顶点坐标，根据图象的平移，可得M点的坐标；3根据角平分线的性质，可得全等三角形，根据全等三角形的性质，可得方程组，根据解方程组，可得答案解答：解：1由二次函数y=ax2+bx的图象经过点1，3和点1，5，得，解得二次函数的解析式y=x24x；2y=x24x的顶点M坐标2，4，这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，顶点M坐标向上平移m，即M2，m4；3由待定系数法，得CP的解析式为

38、y=x+m，如图：作MGPC于G，设Ga，a+m由角平分线上的点到角两边的距离相等，DM=MG在RtDCM和RtGCM中，RtDCMRtGCMHLCG=DC=4，MG=DM=2，化简，得8m=36，解得m=点评：此题考察了二次函数综合题，1利用了待定系数法求函数解析式，2利用了二次函数顶点坐标公式，图象的平移方法；3利用了角平分线的性质，全等三角形的性质72021 山西模拟如图1，Pm，n是抛物线y=x21上任意一点，l是过点0，2且与x轴平行的直线，过点P作直线PHl，垂足为H【特例探究】1填空，当m=0时，OP=1，PH=1；当m=4时，OP=5，PH=5【猜测验证】2对任意m，n，猜测O

39、P与PH大小关系，并证明你的猜测【拓展应用】3如图2，如果图1中的抛物线y=x21变成y=x24x+3，直线l变成y=mm1抛物线y=x24x+3的顶点为M，交x轴于A、B两点，且B点坐标为3，0，N是对称轴上的一点，直线y=mm1与对称轴于点C，假设对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离用含m的代数式表示MC、MN及GN的长，并写出相应的解答过程；求m的值及点N的坐标考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：1根据勾股定理，可得OP的长，根据点到直线的距离，可得可得PH的长；2根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据勾股定理，可得PO的长，根据点到直线的距离

40、，可得PH的长；3根据该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，可得CM=MN，根据线段的和差，可得GN的长；对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，可得方程，根据解方程，可得m的值，再根据线段的和差，可得GN的长解答：解：1当m=0时，P0，1，OP=1，PH=12=1；当m=4时，y=3，P4，3，OP=5，PH=32=3+2=5，故答案为：1，1，5，5；2猜测：OP=PH，证明：PH交x轴与点Q，P在y=x21上，设Pm，m21，PQ=|x21|，OQ=|m|，OPQ是直角三角形，OP=m2+1，PH=yp2=m212=m2+1OP=PH3CM=MN=m1

41、，GN=2+m，理由如下：对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，M2，1，即CM=MN=m1GN=CGCMMN=m2m1=2+m点B的坐标是3，0，BG=1，GN=2+m由勾股定理，得BN=，对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，得即1+2+m2=m2解得m=由GN=2+m=2=，即N0，m=，N点的坐标是0，点评：此题考察了二次函数综合题，利用了勾股定理，点到直线的距离，线段中点的性质，线段的和差，利用的知识点较多，题目稍有难度82021 徐汇区一模：如图，抛物线C1：y=ax2+4ax+c的图象开口向上，与x轴交于点A、BA在B的

42、左边，与y轴交于点C，顶点为P，AB=2，且OA=OC1求抛物线C1的对称轴和函数解析式；2把抛物线C1的图象先向右平移3个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C2，记顶点为M，并与y轴交于点F0，1，求抛物线C2的函数解析式；3在2的根底上，点G是y轴上一点，当APF与FMG相似时，求点G的坐标考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：1根据配方法，可得抛物线的对称轴，根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得A、B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；2根据配方法，可得顶点式函数解析式，根据函数图象右移减，向下平移y减，可得y=x+2321+m，根据自变量的值，可得相应的函数值；3分类讨论：当

43、APFMFG，当APFGFM，根据相似三角形的性质，可得FG的长，再根据点点F的坐标，可得答案解答：解：1将抛物线C1：y=ax2+4ax+c配方，得y=ax+224a+c，抛物线的对称轴是x=2，又AB=2，点A、点B关于x=2对称，得解得点A3，0，点B1，0由OA=OC，得点C0，3，将A、C点的坐标代入C1得，解得抛物线函数解析式y=x2+4x+3；2又1抛物线C1：y=x2+4x+3配方，得y=x+221，抛物线C1的图象先向右平移3个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C2，得y=x+2321+mC2与y轴交于点F0，1，得11+m=1即m=1C2与的解析式为y=x122，3如图：由

44、勾股定理，得AP=，MF=由两点间的距离，得PF=2当APFMFG时，=，即=解得FG=2，点G1的坐标为0，1；当APFGFM，=，即=，FG=1，点G2的坐标0，0点评：此题考察二次函数综合题，1函数值相等的两点关于对称轴对称，待定系数法求函数解析式；2先化成顶点式，再进展平移：向右平移x减，向下平移y减；3利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键92021辽阳如图，在RtABC中，C=90，顶点A、C的坐标分别为1，2，3，2，点B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点1求该抛物线所对应的函数关系式；2点P是抛物线上的一点，当SPAB=SABC时，求点P的坐标；3假设点N由点

45、B出发，以每秒个单位的速度沿边BC、CA向点A移动，秒后，点M也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停顿移动，点N的移动时间为t秒，当MNAB时，请直接写出t的值，不必写出解答过程考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：1根据抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，把1，2，3，2代入y=x2+bx+c计算即可；2先求出 yAB=x+，再求出SABC=5，分两种情况讨论：当P在AB上方时，根据SPAB=SPAQ+SPBQ=2PQ得出2x2+2x+5x+=5；当P在AB下方时，根据SPAB=SPQBSPQA=2PQ得出2x+x2+2x+5=5，再

46、分别求解即可；3当点N在BC上时，设MN与AB交于点D，假设MNAB，根据BMNCBA，得出=，再根据BN=5t，BM=t，得出=，当点N在CA上时，设MN与AB交于点D，过点N作NEx轴于点E，那么CN=EB，根据ACBNEM，得出=，求出EM=1，再求出EB=t，再根据CN=t2，得出t2=t，再分别求出t即可解答：解：1抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，把1，2，3，2代入得：，解得：，该抛物线所对应的函数关系式为：y=x2+2x+5；2由A1，2B3，0可得：yAB=x+，SABC=ACBC=42=4，SABC=4=5，如图1，当P在AB上方时，SPAB=SPAQ+SPBQ=PQ

47、AE+PQCE=PQAC=PQ4=2PQ=2x2+2x+5x+=5，解得：x1=，x2=，那么P1，P2，如图2，当P在AB下方时，SPAB=SPQBSPQA=PQBGPQGF=PQAC=PQ4=2PQ=2x+x2+2x+5=5，解得：x1=，x2=4，那么P3，P44，3，综上所述：P1，P2，P3，P44，3；3如图3，当点N在BC上时，设MN与AB交于点D，假设MNAB，BDN=BCA，B=B，BND=BAC，MBC=ACB=90，BMNCBA，=，BN=5t，BM=t，=，t=秒，如图4，当点N在CA上时，设MN与AB交于点D，过点N作NEx轴于点E，那么CN=EB，假设MNAB，那么

48、A=MNE，ACB=MEN，ACBNEM，=，=，EM=1，EB=MBEM=t1=t，CN=t2，t2=t，t=点评：此题考察了二次函数的综合，用到的知识点是待定系数法求函数的解析式、相似三角形的性质、三角形的面积、矩形的性质，关键是根据题意画出图形，注意分类讨论思想的运用，不要漏解102021梧州如图，抛物线y=ax2+bx+2与直线l交于点A、B两点，且A点为抛物线与y轴的交点，B2，4，抛物线的对称轴是直线x=2，过点A作ACAB，交抛物线于点C、x轴于点D1求此抛物线的解析式；2求点D的坐标；3抛物线上是否存在点K，使得以AC为边的平行四边形ACKL的面积等于ABC的面积？假设存在，请直接写出点K的横坐标；假设不存在，请说明理由提示：抛物线y=ax2+bx+ca0的对称轴为x=，顶点坐标为，考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：1根据对称轴为直线x=2和B是抛物线上点即可求得a、b的值，即可解题；2易求得点A坐标，作BEx轴于E，易证ABEDAO，可得，即可求得OD的值，即可解题；3易求得AB长度，再根据SABC=ABAC=S平行四边形ACKL，可得点K到直线AC距离为AB，易求得直线AC解析式，将直线AC向左向右平移AB个单位，求得直线与抛物线交点即可解题解答：解：1对称轴为x=2，抛物线经过点B，解得：a=，b=2，抛物线的解析式是