专题7：立体几何

1、专题7：立体几何 一、选择题1 （2013年高考重庆卷（文8）某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）ABCD【答案】D 【解析】本题考查三视图以及空间几何体的表面积公式。由三视图可知该几何体是个四棱柱。棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4，腰长为5。所以梯形的面积为，梯形的周长为。所以四棱柱的表面积为，选D.2 （2013年高考课标卷（文9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A)(B) (C) (D)【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体的直观图，

2、以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A. 3 （2013年高考课标卷（文11）某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为 （）ABCD【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体的下部分是平放的半个圆柱，圆柱的底面半径为2,圆柱的高为4。上部分是个长方体，长方体的棱长分别为2,2,4.所以半圆柱的体积为，正方体的体积为，所以该几何体的体积为，选A.4 （2013年高考大纲卷（文11）已知正四棱锥的正弦值等于（）ABCD【答案】A 【解析】如图，因为BD平面ACC1A1，所以平面ACC1A1平面BDC1，在RtCC1O中，过C作CHC1O于H，连结DH，则CDH即为所求，

3、令，显然，所以，故选A.5 （2013年高考四川卷（文2）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（）A棱柱B棱台C圆柱D圆台【答案】D 【解析】由三视图可知，该几何体为圆台.6 （2013年高考浙江卷（文5）已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（）A108cm3B100 cm3C92cm3D84cm3【答案】B 【解析】此图的直观图是一个底面边长为6和3，高为6的长方体截去一个角，对应三棱锥的的三条侧棱上分别为3,4,4.如图。所以该几何体的体积为，选B.7 （2013年高考北京卷（文8）如图,在正方体中,为对角线的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有 （）A

4、3个B4个C5个D6个【答案】B 【解析】设正方体边长为3，则，故共有4个不同的取值。8 （2013年高考广东卷（文）某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是（）ABCD【答案】B 【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.9 （2013年高考湖南（文7）已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于_（）AB1CD【答案】D 【解析】本题考查三视图的计算。因为侧视图是一个面积为的矩形，所以侧视图的底长为，即侧视图看到的是正方形的对角线，所以正视图和侧面图面积相同，即为，选D.10（2013年高考浙江

5、卷（文4）设m.n是两条不同的直线,.是两个不同的平面,（）A若m,n,则mnB若m,m,则 C若mn,m,则nD若m,则m【答案】C 【解析】平行的传递性只有在线性和面面之间成立，其他的线面混合的不成立，所以A,B错误。两条平行线中的一条直线垂直于某个平面，则另一条也垂直该平面，所以C正确，选C.11（2013年高考辽宁卷（文10）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,则球的半径为（）ABCD 【答案】C 【解析】由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M。计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径R=,选C.12（2013年高考广东卷（文）设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（

6、）A若,则B若,则 C若,则D若,则【答案】B 【解析】平行的传递性只有在线性和面面之间成立，其他的线面混合的不成立，所以A错误.垂直于同一条直线的两个平面平行，所以B正确。C中，所以错误。D中，也有可能。所以选B.13（2013年高考山东卷（文4）一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）ABCD8,8【答案】B 【解析】由三视图可知四棱锥的底面边长是2，高为2，侧面上的斜高是，所以，故选B.14（2013年高考江西卷（文8）一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为（）A200+9B200+18C140+9D140+18 【答案】A 【

7、解析】本题考查三视图以及空间几何体的体积。由三视图可在，该几何体下半部分为长方体，边长分别为810,4,5，所以体积为。上半部分为平放的半圆柱，上底半径为3，高是2，所以半圆柱的体积为，所以该几何体的体积为，选A.二、填空题15（2013年高考课标卷（文15）已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的表面积为_。【答案】【解析】设正四棱锥的高为，则，解得高。则底面正方形的对角线长为，所以,所以球的表面积为.16（2013年高考湖北卷（文16）我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一

8、尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是_寸. (注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸)【答案】3 【解析】本题考查圆台的体积公式。做出圆台的轴截面如图,由题意知，（单位寸，下同），,即是中点，所以为梯形的中位线，所以，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为。喷口的面积为，所以，即平地降雨量是3寸。 17（2013年高考课标卷（文15）已知是球的直径上一点,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为_.【答案】【解析】因为截球所得截面的面积为，所以截面小圆的半径.设球半径为，则，所以.在直角三角形中，即，解得，所以球的表面积为。18（2013年高考卷（文1

9、0）某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为_.1俯视图侧（左）视图正（主）视图 2 1 1 2 【答案】3【解析】由题意，该四棱锥底面为边长等于3的正方形，体高为1，.19（2013年高考陕西卷（文12）某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为_. 【答案】 【解析】 综合三视图可知，立体图是一个半径r=1的半个球体。其表面积 = 。 20（2013年高考大纲卷（文16）已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,则球的表面积等于_.【答案】 【解析】如图，公共弦MN=R,中点为E，连OE、KE，则，所以，在RtOME中，即，所以.所以球的表面积为.21（2013年上海高考数学试题

10、（文科10）已知圆柱的母线长为,底面半径为,是上地面圆心,、是下底面圆周上两个不同的点,是母线,如图.若直线与所成角的大小为,则_.【答案】 【解析】 22（2013年高考天津卷（文10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 _.【答案】 【解析】设正方体的棱长为，则正方体的体对角线为直径，即，即球半径。若球的体积为，即，解得。23（2013年高考辽宁卷（文13）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_.【答案】 【解析】直观图是圆柱中去除正四棱柱。.24（2013年高考江西卷（文15）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且AB/CD,则直

11、线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_. 【答案】4【解析】本题考查空间立体几何中的线面位置关系的判断在正四面体题中，取CD的中点H,则,又AB/CD，所以平面平行于正方体的左右两个侧面，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数由图象可知4。25（2013年高考安徽（文）如图,正方体的棱长为1,为的中点,为线段上的动点,过点的平面截该正方体所得的截面记为,则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号).当时,为四边形;当时,为等腰梯形;当时,与的交点满足;当时,为六边形;当时,的面积为.【答案】【解析】（1），S等腰梯形，正确，图如下：（2），S是菱形，面积为，正确，图

12、如下：（3），画图如下：，正确（4），如图是五边形，不正确；（5），如下图，是四边形，故正确【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。三、解答题26（2013年高考辽宁卷（文）如图,(I)求证:(II)设【答案】(I) 由AB式圆O的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC,又PAAC=A,PA平面PAC，AC平面PAC,所以BC平面PAC.（II） 连OG并延长交AC与M，链接QM，QO.由G为AOC的重心，得M为AC中点，由G为PA中点，得QM/PC.又O为AB中点，得OM/BC.因为QMMO=M,QM平面QMO.所以QG/平面PBC. 27（201

13、3年高考浙江卷（文）如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,ABC=120°,G为线段PC上的点.()证明:BD面PAC ; ()若G是PC的中点,求DG与APC所成的角的正切值;()若G满足PC面BGD,求 的值.【答案】解:证明:()由已知得三角形是等腰三角形,且底角等于30°,且,所以;、,又因为; ()设,由(1)知,连接,所以与面所成的角是,由已知及(1)知:, ,所以与面所成的角的正切值是; ()由已知得到:,因为,在中,设 28（2013年高考陕西卷（文）如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方

14、形, O为底面中心, A1O平面ABCD, . () 证明: A1BD / 平面CD1B1; () 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积. 【答案】解: () 设. . .(证毕) () . 在正方形AB CD中,AO = 1 . . 所以,. 29（2013年高考福建卷（文）如图,在四棱锥中,.(1)当正视图方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);(2)若为的中点,求证:;(3)求三棱锥的体积.【答案】解法一:()在梯形中,过点作,垂足为, 由已知得,四边形为矩形, 在中,由,依勾股定理得: ,从而 又由平面得, 从而在中,由,得 正视图如右图所示: ()

15、取中点,连结, 在中,是中点, ,又, , 四边形为平行四边形, 又平面,平面 平面 () 又,所以 解法二: ()同解法一 ()取的中点,连结, 在梯形中,且 四边形为平行四边形 ,又平面,平面 平面,又在中, 平面,平面 平面.又, 平面平面,又平面 平面 ()同解法一 30（2013年高考广东卷（文）如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.(1) 证明:/平面;(2) 证明:平面;(3) 当时,求三棱锥的体积. 【答案】(1)在等边三角形中, ,在折叠后的三棱锥中 也成立, ,平面, 平面,平面; (2)在等边三角形中

16、,是的中点,所以,. 在三棱锥中, ; (3)由(1)可知,结合(2)可得. 31（2013年高考湖南（文）如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90°,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动.(I)证明:ADC1E;(II)当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积.【答案】解: () . . (证毕) (). . 32（2013年高考北京卷（文）如图,在四棱锥中,平面底面,和分别是和的中点,求证:(1)底面;(2)平面;(3)平面平面【答案】(I)因为平面PAD平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD

17、 所以PA垂直底面ABCD. (II)因为ABCD,CD=2AB,E为CD的中点 所以ABDE,且AB=DE 所以ABED为平行四边形, 所以BEAD,又因为BE平面PAD,AD平面PAD 所以BE平面PAD. (III)因为ABAD,而且ABED为平行四边形 所以BECD,ADCD,由(I)知PA底面ABCD, 所以PACD,所以CD平面PAD 所以CDPD,因为E和F分别是CD和PC的中点 所以PDEF,所以CDEF,所以CD平面BEF,所以平面BEF平面PCD. 33（2013年高考课标卷（文）如图,三棱柱中,.()证明:;()若,求三棱柱的体积.【答案】【答案】(I)取AB的中点O,连

18、接、,因为CA=CB,所以,由于AB=A A1,BA A1=600,故为等边三角形,所以OAAB. 因为OCOA=O,所以AB平面OAC.又ACC平面OAC,故ABAC. (II)由题设知 34（2013年高考山东卷（文）如图,四棱锥中,分别为的中点()求证:;()求证:【答案】 35（2013年高考四川卷（文）如图,在三棱柱中,侧棱底面,分别是线段的中点,是线段上异于端点的点.()在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;()设()中的直线交于点,求三棱锥的体积.(锥体体积公式:,其中为底面面积,为高)【答案】解:()如图,在平面ABC内,过点作直线,因为在平面外,BC

19、在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,平面. 由已知,是BC中点,所以BCAD,则直线, 又因为底面,所以, 又因为AD,在平面内,且AD与相交, 所以直线平面 ()过D作于E,因为平面,所以, 又因为AC,在平面内,且AC与相交,所以平面, 由,BAC,有,DAC, 所以在ACD中, 又,所以 因此三棱锥的体积为 36（2013年高考湖北卷（文）如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为,且. 过,的中点,且与直线平行的平面截多面体所得的截面

20、为该多面体的一个中截面,其面积记为.()证明:中截面是梯形;()在ABC中,记,BC边上的高为,面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体积)时,可用近似公式来估算. 已知,试判断与V的大小关系,并加以证明. 第20题图【答案】()依题意平面,平面,平面, 所以A1A2B1B2C1C2. 又,且 . 因此四边形、均是梯形. 由平面,平面,且平面平面, 可得AA2ME,即A1A2DE. 同理可证A1A2FG,所以DEFG. 又、分别为、的中点, 则、分别为、 的中点, 即、分别为梯形、的中位线. 因此 , 而,故,所以中截面是梯形. (). 证明如下: 由平面,平面,可得. 而E

21、MA1A2,所以,同理可得. 由是的中位线,可得即为梯形的高, 因此, 即. 又,所以. 于是. 由,得,故. 37（2013年高考课标卷（文）如图，直三棱柱中，分别是，的中点，。（）证明：平面；（）设，求三棱锥的体积。【答案】 38（2013年高考大纲卷（文）如图,四棱锥都是边长为的等边三角形.(I)证明: (II)求点 【答案】()证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形. 过P作PO平面ABCD,垂足为O. 连结OA,OB,OD,OE. 由和都是等边三角形知PA=PB=PD, 所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点, 故,从而. 因为O是BD的中点,E是BC的中点, 所以OE/CD.因此,. ()解:取PD的中点F,连结OF,则OF/