开水供应的数学模型

1、2012 年浙江理工大学数学建模竞赛封面题目：A B（在相应的题号上打钩）姓名年级 （注 1）专业联系方式吴丽娜本科二年级工业工孙颖政本科二年级机械注 1）：须注明本科生或研究生及年级浙江理工大学理学院数学建模实践基地二零一二年三月有关学院水房供水的数学模型摘要：通过了解该学院的实际情况，该学院在校学生人数较多，且仅有的一个供应开水的开水房面积较小，开水房外部的面积也较小，常常造成拥堵的现象，究竟是什么原因导致接开水成了老大难问题，校方又改如何改进设施使学生能够正常接水呢？根据观测得到的数据，我们可以使用统计检验分析数据的合理假设，可以用排队

2、论的方法定量的描述系统的状态，可以通过灵敏度的分析讨论了参数变动对系统状态的影响。最后比较了种排队方法，从而找到了拥挤的原因，找到了拥挤的程度，并提出解决方法。与实际情况大致相符。关键词：泊松分布，排队论，数学期望，MATLAB一、问题重述某学院有在校学生5000 人，由一个开水房供应开水。供水时间为早晨6:30 8:00，中午 11： 0012： 30，下午 17:00 18:30. 水房共有20 个水龙头供学生使用。可排队的空地面积为 10 平方米。 烧开水的锅炉容量比较小，送水管道较细，水流量受到一定的限制，且水管易被水垢堵塞， 使水流减少甚至状如细线，水房内常有排队现象，大家抱怨水房太

3、拥挤。这就给你提出了一个问题： 水房的设计是否合理？为什么拥挤？拥挤程度如何？怎样进行改进？请你建立一个数学模型回答这些问题。二、问题分析显然水房就是一个随机服务系统，可以应用排队论的方法对系统进行状态作定量的描述。但首要的是收集数据，提出合理的假设， 选择排队模型及估计参数；然后再对模型进一步讨论描述拥挤现象，分析拥挤原因，研究改进措施。为了得到一个较为合理的优化方案， 我们应该从实际情况出发， 为此我们将利用多种工具建立一个完整的数学模型， 尽量满足大众需求的同时又要考虑其可行性以及花费开销等问题，故而我们需要解决以下几个问题：1.原管道畅通时是否会出现拥挤现象。2.原管道堵塞时是否会出现

4、拥挤现象。3.根据模型求解及其分析给出改进后的系统设计最优方案。三、数据准备和建模假设经过在 11:40 12:30 这一时间段连续一周的观察， 得到了学生打水情况的数据 （见表 1），得到了 528 人次打水者到达水房的情况。 以及管道通畅及管道堵塞严重时的打水时间及频数的数据 （见表 2 和表 3），得到了在管道通畅下50 人次的打水时间的数据以及在管道堵塞严重时 55 人次的打水时间的数据。并且发现管道通畅时几乎无人排队等待，堵塞时水房十分拥挤，许多学生提着空壶离去。排队论的一般流程水龙头学生随机到达学生排队（打水的时间是随机的）学生离去图中所示的流程图所包含的部分为排队系统。 各个顾客

5、从顾客源出发， 随机地来到服务机按一定的排对规则等待服务，知道按一定的服务规则接受后服务后离开排队系统。凡要求服务的对象称为顾客，为顾客服务的人或物称为服务员，由顾客和服务员组成的服务系统。对一个系统来说，如果服务机构过小，以致不能满足要求的众多顾客的需要，那么就会产生拥挤现象而使服务质量降低。因此，顾客总希望服务机构越大越好，但是，如果服务机构过大，人力和物力方面的开支也就会相应增加，从而会造成浪费，因此研究排队模型的目的就是要在顾客需要和服务机构之间进行权衡决策，使其达到合理的平衡。基于以上排队论模型概念，我们先做以下数据准备：表 1.每 10 秒到达的人数及频数每10秒到01234567

6、8达的人数频数6613213111050221043数学期望为：0661321311104501528123528528528528226107432. 255288528528528表 2.管道通畅时打水的时间及频数打水时间30354045505560657075808595105125155245(秒 )频数12322139453542211同理计算可得275. 82130223521245212234. 150表 3管道堵塞时打水的时间及频数打水时间 (秒)3040455565707580859095100105110125130频 数2133234111412213打水时间135140

7、145155160175185190200205215240255265300(秒 )频 数222211211211111同理计算可得3 120. 93 63. 3基于上述观察数据，可以提出以下假设：（ 1）：假设所得数据具有代表性，即认为该数据可反映该学院学生水房打开水的实际情况。（ 2）：由于开水房的开房时间是有限的，可以认为来打水的学生数目是无限的，学生单个到来且相互独立， 并假设学生到水房的速度平稳， 不存在拥堵期或空闲期， 且水龙头是并联的。（ 3）：排队方式为单一的等待制，先到先服务。虽然水房里有20 个水龙头，每个水龙头都有各自的接水队列，但同时学生总是自发的转移到最短的队列上，

8、不可能出现水龙头排队而水龙头空闲的情况，就队列长度变化而言， 这种长度分布与只有一条队列的情况无区别。文章最后对两种排列方式的比较也证实了这个假设是较为合理的。（ 4）：学生流满足参数为的泊松分布，单位时间为10 秒。验证假设（输入流为泊松分布）我们分布拟合的卡方分布做检验，取x2 为统计量k22niN pixi 0N pi其中 k 为组数， N为样本数， n与 N pi 分别为第 i 组实测频数与拟合理论频数i定义拟合优度：P k, a P x2 k 1 2a表明如果假设成立，则偏差x2 取决于不小于a 的可能行，因此，P k, a 越大，表明实际数据与理论数据分布拟合的越好。又因 x2的分

9、布属于单峰分布，通常认为Pk, a0.3,0.7 左右是一种良好情况的分布。有表格1 中的数据可知N=528， k=8，1=2.2进而得出x2=6.119x2 6.119714.067P 8,6.1190.7x20.05故而假设合理四、模型建立与求解1.求得正在工作的水龙头个数的临界值m。估测水龙头输出管道直径D=6.5cm ，水龙头的直径d=1.3cm, 水流速度为v，则有：1d 2vm1D2v44求得： mD26. 5225 20，d 21. 32说明管道在畅通时，20 个水龙头处于正常工作状态。2. 假设以下参数表示水龙头的服务强度表示为偏离系数表示打水的时间L 表示水房内学生的期望值L

10、q 表示水房内排队学生数目的数学期望W 表示学生等待的时间的期望W 表示学生排队等待时间的期望qP0 表示水房内有水龙头空闲的概率运用排队论公式进行计算公式如下：s 1nsP0n!s ! 1n 0D0 11ss! 1t P112LPq1s! 102(偏离系数 )（水龙头的服务强度）sLLsqWqLqLW将原管道通畅时的有关数据输入公式运用 matlab 编程实现（见附录二） ，将=75.8，=2.2， 2 =34.1代入公式，得出以下值：P0 =0.860Lq =0.2497L=16.7017W =0.115qW=7.58由以上得出的数据可知，此时水房内有 17 人，而水龙头有 20 个，面积

11、有 10 平方米，几乎不会排队，不会产生拥挤现象。但是由于水垢的沉积，管道和水龙头堵塞渐渐严重，这时水房的运营情况怎样呢？将原管道堵塞时的数据输入公式运用 matlab 编程实现（见附录二） ，将=120.9,=2.2,363.3代入公式，得出以下值：P0 =1Lq =0.01L=26.24W =0.06qW=12.0910由以上数据像可知，10 平方米的面积内有26 人，而且每人打开水的等待时间至少有12秒，这样的情况下当然是很拥挤了。当/s 趋于 1 时，队长将趋于无穷。当然增加水龙头的个数必然会缓解这样的拥挤状况，但这势必增加了不必要的投入，也占用了更多的空间和加大水龙头的空闲概率（P0

12、 ），由于学生的到达情况是不容易控制的，这势必会通过经常维修以保证管道畅通或增加锅炉的容量及高度来提高服务速度，这样又导致了设备管理费的增加。为此下面我们在基于成本基本变的情况下，做出最优化的模型。五、系统的最优化排队系统的优化模型， 一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静态优化，记载服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优质，从而使系统最为经济。后者为动态优化，即对已有的派对系统寻求使其某一目标函数达到最优的运营机制。水房的最优设计实际上就是要确定最佳的临界服务台数m,并使系统的实际服务台为m个，因为若服务台少于m,则管道内水没有被充分利用，而多于m 对系统没有影响。但

13、如果从服务费方面考虑，在这个模型里又是一个无法确定的概念。因此我们不采用这种方法。现在我们用另一种方法：在两种相互矛盾的度量，平均等待时间（W ）和服务台空闲q概率（P0 ）之间不断折中取值,即对 W 和 P 规定上限值q0a 和 b，同时与原管道畅通和堵塞的情况下的数据做比较，分析各个取值的结果，逐步达到最优化。这两个规定上限的水龙头台数，以之作为最佳临界水龙头数m 进一步也决定了锅炉及输水管的规模。从我们的优化计算中，容易得知， 在水龙头个数在16 和 22 的时候分别达到一个最优值，因为分别在这两个值的时候，水龙头的空闲概率(Po)和平均等待时间(Wg)达到一个最优的平衡点，由此我们认为

14、这就是水龙头的最优化数的点。但还要考虑顾客到达率在不同时段是不一样的， 因此不存在一致最优的水龙头个数，在这种情况下， 应该通过控制打水速率来达到系统的最优化。 对水房而言， 在保证管道畅通的情况下， 通过调节锅炉内水位高度可以实现对打水速度的控制，在缓解水房拥挤的同时，可以避免因水位过高而造成的浪费。将原模型当中的u 取定一个值9.902 与原模型的u=7.6 做对比，同时将水龙头个数做因变量，其他参数不变。用matlab 实现数据的综合对比，以此判断最优的水龙头个数。m 取六、两种排队方式的比较：如果假定系统中c 个队列间没有学生转移，则每个队列的平均到达率为，平均服务c时间不变，0. 1

15、，仍然利用原来的公式计算得到多队时系统的运行指标，从计算结果可知，显然单队时等待时间长，等待时间都比多队时低，而水龙头利用率比多队的高。因此，具有明显的优越性，同时，多队时水房内平均人数在 t=75.8 时为 46.7 人，与实际情况不符，这说明单队的假设是合理的。如果将现行排队方式改为严格的单队，就可以避免队列间的拥挤碰撞，有助于改善水房的打水情况。同时可以得出一个结论：建一个水房优于建两个水房，即联合服务优于独立通道服务。七、评价与推广1、模型的评价1）、排队论又称随机服务系统理论，在研究各种排对系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统的最优设计和最优控制的问题。2）、运用的数学工具简单，

16、模型清楚易懂，有很强的可读性和实用性。2、模型的推广此模型不仅可以用于学校的开水供应，添加一定的条件我们不仅可以将此模型病人到医院排队看病， 旅客在售票处排队买票等有形的排队问题， 还可以用于一些无形的排队问题中，如顾客打电话到出租汽车站要求派车等问题中。参考文献：1 敬照亮 主编 等 . MATLAB 教程与应用 . 北京：清华大学出版社 . 20112 谭永基 蔡志杰 等. 数学模型 . 上海：复旦大学出版社 . 20063 孙荣恒 李建平 . 排队论基础 . 北京：科学出版社 . 20024 魏广华，徐鹤卿 主编 . 概率论与数理统计 . 北京：高等教育出版社 .20115 曹弋 主编

17、. MATLAB教程及实训 . 北京：机械工业出版社 . 20086 韩中庚 . 数学建模方法及其应用 . 北京：高等教育出版社 . 2005附录一%得出表格一的均值function k u2 std2 u3 std3=getData()%得出表格一的数据和平均值Kzero=0*zeros(1,66);one=1*ones(1,132);two=2*ones(1,131);three=3*ones(1,110);four=4*ones(1,50);five=5*ones(1,22);six=6*ones(1,10);seven=7*ones(1,4);eight=8*ones(1,3);dat

18、aTable1=zero one two three four five six seven eight;k=sum(dataTable1)/528;%得出表格2 的数据和平均值u2标准差 std2dataTable2=30 35 35 40 40 40 45 45 50 50 55 60 60 60 65 65 65 65 65 65 65 65 65 70 70 70 70 75 75 75 75 75 80 80 80 85 85 85 85 85 95 95 95 95 105 105 125 125 155 245;u2=sum(dataTable2)/50;std2=std(dat

19、aTable2);%得出表格3 的数据和平均值u3标准差 std3dataTable3=30 30 40 45 45 45 55 55 55 65 65 70 70 70 75 75 75 75 80 85 90 95 95 95 95 100 105 105 110 110 125 130 130 130 135 135 140 140 145 145 155 155 160 175 185 185 190 200 205 205 215 240 255 265 300;u3=sum(dataTable3)/55;std3=std(dataTable3);附录二%对拥挤程度的描述%在畅通的状

20、况下clearclck u1 std1 u2 std2=getData();s=10:0.1:19;%水龙头的个数p1=s./20;u1=u1/10;sum1=1;for n=1:19sum1=sum1+s.n/factorial(n);endp10=1./(sum1+(s.20/factorial(20)/(1-p1);S=s.20;P10=p10.*S;N=1/factorial(20)./(1-p1);P0=(1-N.*P10);j=1./(1-p1);i=p1.*j;B=(1+0.4452)/2;subplot(2,1,1);plot(s,P0)xlabel(水龙头个数s)ylabel

21、(水龙头空闲的概率P0)grid ontitle(在畅通的状况下水龙头的个数与空闲的概率的关系)subplot(2,1,2);plot(s,Lq)xlabel(水龙头个数s)ylabel(平均对长Lq)grid ontitle(在畅通的状况下水龙头的个数与平均对长的关系)%对拥挤程度的描述%在堵塞的情况下k u1 std1 u2 std2=getData();clcu2=16.676;s2=16:1:36;sum2=1;sum=0;b=0.455;for i=1:19Pn(i)=u2/s2(i);endfor i=1:19sum2(1,i)=1;d(1,i)=1;for j=1:s2(1,i)

22、-1d(1,i)=j.*d(1,i);sum2(1,i)=u2.j/d(1,i)+sum2(1,i);endendfor i=1:19S2(1,i)=s2(1,i)*d(1,i);F(1,i)=u2s2(1,i);sum(1,i)=F(1,i)/S2(1,i)/(1-Pn(1,i);Sum(1,i)=sum(1,i)+sum2(1,i);p20(1,i)=1/Sum(1,i);x1(i)=u2s2(1,i);x2(i)=p20(1,i)*x1(i);n(i)=1/ S2(1,i)/(1-Pn(1,i);P20(i)=(1-n(i)*x2(i);j1(i)=1/(1-Pn(1,i);j2(i)=Pn(1,i)*j1(i);b1=(1+b2)/2;Lq2(i)=j2(i)*n(i)*b1*x2(i);endsubplot(2,1,1);plot(s2,P20)xlabel(水龙头个数s