小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答

1、小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答一、填空题1三个连续偶数，中间这个数是m，则相邻两个数分别是 _m-2_和 _m+2_ _ 。2有一种三位数，它能同时被2、 3、 7 整除，这样的三位数中，最大的一个是_966_，最小的一个是 _126_。解题过程： 2×3×7=42；求三位数中 42 的倍数 126、168、 9663小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是 144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是 _9_岁和 _16_岁。解题过程： 144=2× 2× 2× 2× 3× 3；（9、16）=14一个四位数，它的第一

2、个数字等于这个数中数字0 的个数，第二个数字表示这个数中数字1 的个数，第三个数字表示这个数中数字 2 的个数，第四个数字等于这个数中数字 3 的个数，那么这个四位数是 _1210_。5 2310 的所有约数的和是_6912_。解题过程： 2310=2×3×5×7×11；约数和 =（ 1+2）×（ 1+3）×（ 1+5）×（ 1+7）×（ 1+11）6已知 2008 被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有 _11_个。3解题过程： 2008-10=1998；1998=2×3 ×37

3、；约数个数 =（ 1+1）×（1+3）×（ 1+1）=16（个）其中小于 10 的约数共有 1， 2， 3， 6， 9； 16-5=11（个）7从 1、2、3、1998、1999 这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于 4？_ 1000 _。解题过程： 1，5，9，13， 1997（500 个） 隔 1 个取 1 个，共取 250 个2 ，6，10， 14， 1998（500 个）隔 1 个取 1 个，共取 250 个3 ，7，11， 15， 1999（500 个）隔 1 个取 1 个，共取 250 个4 ，8，12， 16， 1996（499 个）

4、隔 1 个取 1 个，共取 250 个8黑板上写有从1 开始的若干个连续的奇数：1， 3， 5， 7， 9， 11，13擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998，那么擦去的奇数是 _27_。2解题过程： 1+3+5+ +（ 2n-1 ） =n ； 45×45=2025；2025-1998=279一个 1994 位的整数，各个数位上的数字都是 3。它除以 13，商的第 200 位（从左往右数）数字是 _5_，商的个位数字是 _6_，余数是 _5_。解题过程： 33333333 3÷13=256410 25641010在小于 5000 的自然数中，能被11 整除，并

5、且数字和为13 的数，共有 _18_个。解题过程：能被 11 整除的条件是：奇数位数字和与偶数位数字和相差为11 的倍数；1位数不满足条件； 2 位数也不满足条件（各位数字应相等，数字和不等于13）；应为 3 或 4 位数； 13=12+1；偶数位数字和 =1，奇数位数字和 =12 时，共有 14 个；偶数位数字和 =12，奇数位数字和 =1 时，共有 4 个； 14+4=18（个）11设 n 是一个四位数，它的 9 倍恰好是其反序数（例如： 123 的反序数是 321），则 n_1089_。解题过程：千位只能是 1；个位只能是 9；百位只能是 0 或 1；如百位是 1，则十位必须为 0，但所

6、得数 1109 不满足题意；如百位是 0，则十位必须为 8，得数 1089 满足题意12555555 的约数中，最大的三位数是_555_。解题过程：555555=3×5× 11×37×91； 3× 5× 37=55513设a 与 b 是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a 与b 之和可以有_17_种不同的值。解题过程： 72=2×2×2×3×3；a=72，b=（ 1+3）×（ 1+2） -1=12-1=11 ； a=36， b=8 或 24；a=24，b=9 或 18

7、； a=18， b=8；a=9，b=8；11+6=1714小明的两个衣服口袋中各有 13 张卡片，每张卡片上分别写着 1，2，3， 13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6 整除的乘积共有 _21_个。解题过程： 6×1，2，3， 13共 13 个；12× 7， 8， 9， 13=6×14，16， 18， 26共 7 个；9×10=6×15共1个；13+7+1=21 （个）15一列数 1，2，4，7，11，16，22，29，这列数的组成规律是第2 个数比第 1 个数多 1；第 3

8、 个数比第 2 个数多 2；第 4 个数比第 3 个数多 3；依此类推。那么这列数左起第1992 个数除以5 的余数是 _2_。解题过程：a2-a 1=1； a3-a 2 =2； an-1 -a n-2=n-2； an-a n-1 =n-1 ；an-a 1=1+2+3+ +n-1=n（ n-1 ） /2 ；an= n （ n-1 ）/2+1 ；a1992=1992×（ 1992-1 ） /2+1=996×1991+1=（995+1）×（ 1990+1） +116两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是 _ 20 或 40 _。解题过程：（a、

9、b） =5；5|a ， 5|b ；a=5，b=45 或 a=15， b=3517将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，得到的和恰好是某个自然数的平方，这个和是_121_。解题过程：和可能为两位数，也可能为三位数，但肯定是11 的倍数，即11 的平方。18100 以内所有被 5 除余 1 的自然数的和是 _970_。解题过程： 1+6+11+16+ 91+96=（ 1+96）× 20÷ 2=970199 个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多 _4_个。解题过程： 9 个连续的自然数，末尾可能是 0-9 ，末尾是 0、2、4、 6、8 的

10、一定被 2 整除，末尾是 5 的一定被 5 整除，每连续 3 个自然数中一定有一个是 3 的倍数，只有末尾是 1、 3、7、9 的数可能是质数于是质数只可能在这 5 个连续的奇数中，所以质数个数不能超过 420如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么， 1000 以内最大的“希望数”是 _961_。解题过程：自然数的因数都是成对出现的，比如1 和本身是一对，出现奇数个因数的时候是因为其中有一对因数是相等的，即这个自然数是完全平方数。1000 以内最大的完全平方数是 312=961，所以这个希望数是 96121两个数的最大公约数是21，最小公倍数是126。这两个数的和

11、是 _105 或 147_。解题过程： 126=21×2×3；这两个数是 42 和 63，或 21 和 12622甲数是 36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是 4，乙数应该是 _32_。解题过程： 4 |364×8=3236÷4=9288÷ 4÷ 9=823一个三位数能同时被2、5、7 整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中间的一个是 _560_。解题过程： 2×5×7=70；70× 2， 3， 4， 13，14=140，210，280， 910， 98024有四个互不相等的自然数，最

12、大数与最小数的差等于4，最小数与最大数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是_30_。解题过程：最小数、最大数均为奇数，中间有一个偶数，4 个数和为 11，分别为 1、 2、 3、 525两个整数相除得商数是 12 和余数是 26，被除数、除数、商数及余数的和等于 454，除数是_30_。解题过程：设除数是X，则 12X+26+X+12+26=454； X=3026在 1×2×3×× 100 的积的尾部有 _21_个连续的零。解题过程：尾数为5的共 10个，尾数 1个0的 9个，2个 0的 1个，共 21个 027有 0、1

13、、4、7、9 五个数字，从中选出四个数组成一个四位数（例如被 3 整除的这样的四位数，从小到大排列起来，第 5 个数的末位数字是1409），把其中能_9_。解题过程：1047、1074、1407、1470、1704、1740、4017、4071、 4107、 41701479、1497、1749、179428一些四位数，百位数字都是3，十位数字都是6，并且他们既能被2 整除又能被3 整除。甲是这样四位数中最大的，乙是最小的，则甲乙两数的千位数字和个位数字（共四个数字）的总和是 _18_。解题过程：求 ?36?中能被 3 整除的偶数；甲为9366，乙为 1362；9+6+1+2=1829把自然数

14、按由小到大的顺序排列起来组成一串数：1、2、 3、 9、 10、11、12、，把这串数中两位以上的数全部隔开成一位数字，组成第二串数： 1、2、 9、1、0、1、 1、1、 2、 1、 3、。则第一串数中 100 的个位数字 0 在第二串数中是第 _192_个数。解题过程： 1-9 （共 9 个）， 10-99 （共 180 个），100（共 3 个）30某个质数与 6、8、12、14 之和都仍然是质数， 一共有 _1_个满足上述条件的质数。解题过程：除 2 和 5 以外，其它质数的个位都是1，3，7，9；6，8，12， 14 都是偶数，加上唯一的偶数质数2 和仍然是偶数，所以不是2；14 加

15、上任何尾数是 1 的质数，最后的尾数都是 5，一定能被 5 整除； 12 加上任何尾数是 3 的质数，尾数也是 5；8 加上任何尾数是 7 的质数，尾数也是 5； 6 加上任何尾数是 9 的质数，尾数也是 5；所以，这个质数的末位一定不是1，3，7，9；只有 5符合31已知 a 与 b 的最大公约数是12，a 与 c 的最小公倍数是300，b 与 c 的最小公倍数也是300。那么满足上述条件的自然数a、b、c 共有 _30_组。（例如 a12，b 300，c300，与 a300， b12，c300 是不同的两个自然数组）解题过程：（ a， b） =12， a=12m，b=12n（ m， n=1

16、 或 5 或 25，且（ m，n）=1）； a ，c=300 ，b ，c=300 ， c=25k（k=1，2，3，4，6，12）；当 m=1，n=1 时， a=12，b=12，c=25k当 m=1，n=5 时， a=12，b=60，c=25k当 m=1，n=25 时， a=12， b=300，c=25k当 m=5，n=1 时， a=60，b=12，c=25k当 m=25， n=1 时， a=300，b=12，c=25k故有30 组32从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行。从左向右 1 至 11 报数，报数为 11 的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向

17、右 1 至 11 报数，报数为 11 的同学留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右 1 至 11 报数，报到 11 的同学留下，其余同学出列。那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是 _1331_。解题过程： 11× 11×11=133133在 1，9，8，9 后面写一串这样的数字：先计算原来这4 个数的后两个之和8 9 17，取个位数字 7 写在 1， 9，8，9 的后面成为 1，9，8，9，7；再计算这 5 个数的后两个之和9716；取个位数字6 写在 1， 9， 8，9，7 的后面成为 1，9，8，9，7， 6；再计算这 6 个数的后两个之和 7613

18、，取个位数字 3 写在 1，9，8，9，7，6 的后面成为 1，9，8，9，7，6， 3。继续这样求和，这样填写，成为数串 1， 9， 8， 9， 7， 6， 3， 9， 2，1，3，4那么这个数串的前 398 个数字的和是 _1990_。解题过程： 1，9，|8 ， 9， 7， 6， 3， 9， 2， 1， 3， 4，7，1，|8 ，9，7，6，3，398-2=396；396÷ 12=33；8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60； 60×33+10=1990二、判断题1两个连续整数中必有一个奇数一个偶数。（ ）2偶数的个位一定是0、2、4、6 或 8。 （

19、）3奇数的个位一定是1、3、5、7 或 9。 （ ）4所有的正偶数均为合数。（ × ）5奇数与奇数的和或差是偶数。（ ）6偶数与奇数的和或差是奇数。（ ）7奇数与奇数的积是奇数。（ ）8奇数与偶数的积是偶数。（ ）9任何偶数的平方都能被4 整除。（ ）10任何奇数的平方被8 除都余 1。 （ ）11相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。 （ ）12任何一个自然数，不是质数就是合数。（ × ）13互质的两个数可以都不是质数。（ ）14如果两个数的积是它们的最小公倍数，这两个数一定是互质数。（ ）三、计算题1能不能将（ 1）505；（2）1010 写成 10 个连

20、续自然数之和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。解题过程： S=n+（n+1）+（n+2）+（n+3）+（ n+4）+（ n+5）+（ n+6）+（ n+7）+（ n+8）+（ n+9）=10n+45（一定是奇数）（1）505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54（2）1010 是偶数，不能写成10 个连续自然数之和2（1）从 1 到 3998 这 3998 个自然数中，有多少个能被4 整除？（2）从1 到3998 这3998 个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4 整除？解题过程：（1） 3998÷ 4=999（个）2（2）考虑个位，选法有 10 种

21、 ; 十位，选法有 10 种 ; 百位选法有 10 种; 选定之后个位、十位、百位数字之和除以 4 的余数有 3 种情况，余 0、余 1、余 2、余 3，对应这四种在千位上刚好有一种与之对应，共有 1000 个； 1000-1=999（个）3请将 1， 2， 3， 99， 100 这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使每两个相邻的数都不互质（若一行写不下，可移至第二行接着写，若第二行仍写不下，可移至第三行接着写）。解题过程： 9，15，21，27，33， 39，45，51， 57，63， 69，75，81， 87，93，9915， 25，35，55， 65，85，9521， 35

22、，49，77， 9133， 55，77，9925， 35，55，65， 85，95； 15，9，21，27， 33，39，45， 51，57， 63，69，75，81， 87，93，99； 77，91，494一个自然数除以8 得到的商加上这个数除以9 的余数，其和是13。求所有满足条件的自然数。解题过程：设这个数为n，除以 9 的余数 r 8，所以除以 8 得到的商 q13-8=5，且 q13n=8q+k=9p+r=>k=9p+r-8p=9p+r-8 ×（ 13-r ）=9×（ p+r ） -104=4q=5， n=8× 5+4=44q=6， n=8

23、5; 6+4=52q=7， n=8× 7+4=60q=8， n=8× 8+4=68q=9， n=8× 9+4=76q=10，n=8×10+4=84q=11，n=8×11+4=92q=12，n=8×12+4=100q=13，n=8×13+4=1085有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3 张。相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数。老师把这12 张卡片发给 6 名同学，每人得到两张颜色不同的卡片。然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。六名同学交上来的答案分别为： 92、125

24、、133、 147、158、191。老师看完 6 名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了。问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？解题过程：设四张卡片上的数从小到大分别为A、B、C、D，则六位同学所计算的分别为A+B、A+C、A+D、 B+C、B+D、C+D这 6 个和数，且最小的两个依次为A+B、A+C，最大的两个依次为C+D、B+D。（A+B） +（ C+D）=（A+C）+（B+D）=（A+D） +（ B+C）；而 92+191=283=125+158， 133+147=280283；所以， A+B=92，A+C=125，B+D=158，C+D=191；133、147 中有一个不正确。

25、若 147 是正确的， 则 B+C=147，A+D=283-147=136。C-B=（A+C）- （A+B）=125-92=33 => C=90 ，B=57，A=92-57=35，D=191-90=101若 133 是正确的， 则 A+D=133，B+C=283-133=150。C-B=（A+C）- （A+B）=125-92=33 => B=50 ，C=83，A=92-50=42，D=191-83=108所以，四种颜色卡片上所写各数中最小数是35 或 42。6有三个数字能组成6 个不同的三位数，这6 个三位数的和是2886，求所有这样的6 个三位数中最小的三位数。（说明理由）解题过

26、程：设这三个数字从小到大分别为A、 B、C，显然，它们互不相等且都不等于0。则 222×（ A+B+C） =2886 => A+B+C=2886÷222=13百位数为 1 是最小的，另两个数分别为3 和 9；所以最小的三位数为1397求小于 1001 且与 1001 互质的所有自然数的和。解题过程： 10017×11× 1312 1000=（11000）× 1000÷2500500714 21 994（ 7994）× 142÷27107111 22 990（ 11990）× 90÷2450

27、4513 26 988（ 13988）× 76÷23803877+154+231+ +924=（77+924）× 12÷2=600691+182+273+ +910=（91+910）× 10÷2=5005143+286+429+858=（ 143+858）× 6÷2=3003500500710714504538038+6006+5005+30033603608三张卡片，在它们上面各写一个数字（如图）。从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的质数都写出来。解题过

28、程： 2、3、13、 23、 319一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是 1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是： 1，1，2，3，5，8， 13，21，34，55，。问：这串数的前 100 个数是（包括第 100 个数）有多少个偶数？解题过程： 100÷3=33（个） 110从小到大写出5 个质数，使后面的数都比前面的数大12。解题过程： 5，17， 29，41，5311有 15 位同学，每位同学都有编号，它们是1 号到 15 号。 1 号同学写了一个自然数， 2 号说：“这个数能被 2 整除”， 3 号说“这个数能被3 整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1 号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你， 1 号写的数是五位数，请求出这个数。 （写出解题过程）解题过程： (1) 如果 15 号说的不对，那么这个数不能被15 整除，则它不能被 3 或者 5 之一整除，即 3 号或