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1、基础达标过点(1,0)且与抛物线y2x有且仅有一个公共点的直线有()A1条B2条C3条D4条解析:选C.点(1,0)在抛物线y2x的外部,过此点与抛物线有一个公共点的直线有三条其中两条切线,一条相交直线(平行x轴)过抛物线yx2上的点M(,)的切线的倾斜角是()A30°B45°C60°D90°解析:选B.由题意可设切线方程为yk(x),代入yx2,化简得4x24kx2k10,由16k216(2k1)0,得k1,切线的倾斜角为45°.抛物线yax21与直线yx相切,则a等于()A.BC.D1解析:选B.由消去y整理得ax2x10,由题意a0,(1
2、)24a0.a.抛物线yx2上一点到直线2xy40的距离最小的点的坐标是()A(,)B(1,1)C(,)D(2,4)解析:选B.令yx2的切线方程为2xyc0,代入yx2整理得x22xc0.由(2)24c0,c1,x1,y1.切点(1,1)到直线2xy40的距离最小已知直线yk(x2)(k>0)与抛物线C:y28x相交于A,B两点,F为C的焦点若|FA|2|FB|,则k()A.BC.D解析:选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,由得k2x2(4k28)x4k20,x1x24,|FA|x1x12,|FB|x2x22,
3、且|FA|2|FB|,x12x22.由得x21,B(1,2),代入yk(x2),得k.故选D.抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是_解析:设切线为4x3yC0,代入yx2整理得3x24xC0,由(4)212C0得,C,故最小距离为.答案:设已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为_解析:由题意知C的方程为y24x,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y4x1,y4x2,两式作差,(y1y2)(y1y2)4(x1x2),kAB1,又直线l过(2,2),故l的方程为yx.答案:yx将两个顶点在抛物
4、线y22px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n,则n_解析:根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y轴,又过焦点与x轴的夹角为30°的直线有两条,故符合题意的正三角形有两个答案:2已知顶点在原点,焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线yx所得的弦长|P1P2|4,求此抛物线的方程解:设抛物线方程为y22px(p>0),把直线方程与抛物线方程联立得消元得x2(32p)x0,判别式(32p)294p212p>0,解得p>0或p<3(舍),设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则中由根与系数的关系得x1x2(32p),x1·x
5、2,代入弦长公式得·4,解得p1或p4(舍),把p1代入抛物线方程y22px(p>0)中,得y22x.综上,所求抛物线方程为y22x.A、B为抛物线y22px(p>0)上两点,O为原点,若OAOB,求证:直线AB过定点证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),OAOBx1x2y1y20,A,B在抛物线上yy4p2x1x2,lAB:yy1(xx1),yy1(x),y·xy1·x(x2p),直线AB过定点(2p,0)能力提升已知抛物线y22px(p>0)与圆(xa)2y2r2(a>0)有且只有一个公共点,则()ArapBrapCr<ap
6、Dr<ap解析:选B.当r<a时,根据圆与抛物线的对称性可知,圆(xa)2y2r2(a>0)与抛物线y22px(p>0)要么没有交点,要么交于两点或四点,与题意不符;当r>a时,易知圆与抛物线有两个交点,与题意不符;当ra时,圆与抛物线交于原点,要使圆与抛物线有且只有一个公共点,必须使方程(xa)22pxr2(x0)有且仅有一个解x0,可得ap.故选B.已知直线ya交抛物线yx2于A,B两点,若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,则a的取值范围为_解析:设C(x,x2),由题意可取A(,a),B(,a),则(x,ax2),(x,ax2),由于ACB,所以
7、3;(x)(x)(ax2)20,整理得x4(12a)x2a2a0,即y2(12a)ya2a0,所以解得a1.答案:1,)已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G:x22py(p>0)相交于B,C两点,当直线l的斜率是时,4.(1)求抛物线G的方程;(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围解:(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜率是时,l的方程为y(x4),即x2y4,由得2y2(8p)y80,又4,y24y1,由这三个表达式及p>0得y11,y24,p2,则抛物线的方程为x24y.(2)由题意可设l:yk(x4),BC的中点坐标为(x0,y0)
8、由得x24kx16k0,x02k,y0k(x04)2k24k,线段BC的中垂线方程为y2k24k(x2k),线段BC的中垂线在y轴上的截距为:b2k24k22(k1)2,由16k264k>0得k>0或k<4.b(2,)4已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1)(1)求抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A、B两点,若直线AO,BO分别交直线l:yx2于M,N两点, 求|MN|的最小值. 解:(1)由题意可设抛物线C的方程为x22py(p>0),则1,所以抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为ykx1.由消去y,整理得x24kx40,所以x1x24
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