电磁学计算题

1、计算题1、一半径为R的半圆细环上均匀地分布正电荷Q,求环心处的电场强度。一 Q解：在弧线上取线兀 dl，其带电量dq dl，可视为点电荷。因圆环上电荷对Y轴呈对nR称分布，电场分布也是轴对称的。则有：l dEx =0E0智 Qdl,而dl 二 RdrL4二；0 R2 二 R统一积分变量后，有：E _ 二 Q sin 記Q0 _ " 04二 2 ；0R2 _ _2二2 ；0r2方向沿Y轴负方向。2.如图，用一均匀带电的玻璃细棒，弯成直径为 q = -5.6 10"8库仑。求圆心 O处电场强度。2米的圆弧，两端空隙d =0.5米，电量解：看作一个带负电圆环和一带正电的长为O处的

2、场强为零。d的圆弧在 O处产生的场强之和，而带电环在 d VV R可视为点电荷，设其电量为q ，则:q24 二；oR5.6 10$2 二 1-0.5 100.5 10= 0.45 10 40 库 E =9 109 0.45 10 “/12=0.4 (伏咪)3. 一半径为R的带电球，其电荷体密度为 p= P（1-；）， P为一常量，r为空间某点至球心的距离。试求：（1）球内外的场强分布。（2） r为多大时，场强最大？该点的场强Emax=?解:由咼斯定理II Es.送qdS =，选择半径为r的球面为高斯面(1)贝VE 二r2 =/ q1 r 2 ' q4二r dr$0% 0r - R 时,

3、4R ；or - R 时, dr 二R3 订3.E -12 名°r-J匚(2) 由=0 得drR处E最大，且Emax31 - R9 ；0x=0)的长为L的细棒，每单位长度的电荷分布为入=kx, k为常数，取无限远处电位为零，求y轴上点P (0,位。解：由点电荷电位公式及叠加原理：4、沿轴放置一端在原点(y)的电5、kxdxUp= 0224隔咛y +xk4 二;0 0 y2xdxx2k ( 一 y2L2 -y)4 二；o长为L的圆柱形电容器，半径分别为Ri和R2,两导体间充满相对介电常数为均匀电介质，沿轴线放一单位长度上带有正的自由电荷'的直导线。设L只2，试求:(1)介质中的

4、D、E及两导体间的电势差U 。(2)电容器单位长度的电容。解：(1 )介质中的D、E及两导体间的电势差U :因为电荷分布具有轴对称性，因此电场也具有轴对称性。由介质中的高斯定理得:E二二？方向沿矢径方向由电势的定义U二k。R22二；0；rRi（2）由电容的定义 C=QL U，电容器单位长度的电容：C二2R2In -Ri6、球形电容器由内半径为 R的导体球和外半径为 R2 （ R2>R ）的导体球壳组成，电容器 内部充满均匀电介质，其绝对介电常数为；设内球带电Q,外球带电-Q,求：（1）两球面之间距圆心为 r处的电场强度的大小；（2）此球形电容器的电容 C。（3 ）此球形电容器的静电能 W

5、e。解：（1）使用高斯定理求解，需要作文字说明（电场的分布，高斯面的选择）2j：D.ds = D.4二 r =Q-sD> E4二 r2-1 Q _E2? 或者用文字说明方向。4 二；（2）使用定义式求电容 C二Q/UQ11、 QR2 - R4聴IRR2丿4阳R|R2R2 1-二 R Eg所以：C=Q/U =4 尺只2。R? R.1wJq2= -CU2 =丄4 腮 R,R2，Z Q& r/2 C2 2< R2 _ R1 丿(4殆R1R2 （3）电容器的静电能为Q2 R - R8二；R1R27、图中：；。=20V , ro = 1" , R1= 6",门=1

6、 'JIo = 1A , 2A。求：三 1、 N、Uab。解：Uab = ；o -lo(R1 r。)=20 _1 (6 1)=13(V)设1、 ；2方向如图，11 =丨2-1。=1AR2= 4 1 ,2= 1 I 】,R3= 2 I 1 ,则 1 h(R2 j)二Uab ；2 '1 2 ( R3r2 ) = U ab；1 -(14) =13 ,；1=18 (V)22 (2 - 1) =13；2=7 (V)8、两个电源向负载供电,1 = 220V, ；2 二 200V,R1 = R2 = 101, R3 = 451,忽略电源内阻,如图所示，求各支路上的电流。解：设各支路电流分别为

7、 I1 ,|2, I对于节点|1 I I对于回路色 _s= IR_ I2r2,=I2R2+I3r3工 |联立求解得：h =3.1( A),丨2 =1.1( A),I3 =4.2(A)9、两同轴铜质圆柱套管，长为 L,内圆柱的半径为 a，外圆柱半径为b,两圆柱间充以电阻 率为p的石墨，如图所示，若从内圆筒作为一电极，外圆筒作为另一电极，求石墨的电阻。解法1:由欧姆定律可求电阻。由于铜的电阻率非常小，两个同轴铜管可以分别作为一个等K势面，电流沿着径向由一个圆筒流向另一个圆筒。根据对称性，石墨中电流密度是轴距离r的函数，通过半径为 r、长度L的圆拄的电流：根据稳恒电流的闭合性，通过各柱面的电流是相等

8、的，由此得:两极间的电势差为:弑铲阴弐盏A于是电阻为：解法2：由电阻定律可求电阻。当截面不均匀时有:所以内外筒间的电阻为:10如图所示，半径为 r=0.1米的圆环，由长为丨和21的两段导线组成，两段导线的截面积 分别等于2S和S。如果从无限长直导线沿半径方向通到环上的电流为1=5安，求圆环中心处的磁感强度。(已知 =4二10-7TM/A )21 12S解：设上下两段的电流分别为|1, |2,电阻分别为R1, R2贝y, R1, R2 ：即 R二 4R?;得 411 二 12 = 4（A）；由毕奥-萨伐尔定律可得：上段导线在圆环中心处产生的磁感强度为：V方向为直纸面向里；（3 分）下段导线在圆环

9、中心处产生的磁感强度为:B2匹，方向为垂直纸面向外。6r则圆环中心处的磁感强度B = B2 - B_!=3r= 4.2 10p）11、在半径为R的无限长金属圆柱内部挖去一半径为r的无限长圆柱体两柱体轴线平行轴间距离a,今在此空心导体上通以电流I ,电流沿截面均匀分布，求此导体空心部分轴线上任何一点的Bo （题中各量均为国际单位）解：由迭加原理可知，空心部分轴线上任一点 0的磁感应强度 B等于 半径为R的载流圆柱在 0点所产生的磁感应强度B!与通反向电流半径为r的圆柱在0点产生的磁感应强度 B2的矢量和：B = Bi + B2由安培环路定理求 Bi , L为半径等于a的圆:lB *dl =L B

10、ldl =gl Tia2Bi =也la2二（R2 -r2）Bi的方向：与I成右手螺旋关系由于对称性分析其在 0产求B2 :以r为半径的小圆柱体以相同电流密度反向通过其上时生的B2 = 0所以：B = Bi + B2 = Bi12、电缆由一导体圆柱和一同轴导体圆筒构成，使用时电流I从一导体流去 ，从另一导体流回，电流都是均匀地分布在横截面上，设圆柱的半径为r1 ,圆筒的半径分别为 Q和r3 （见图），求磁感应强度E的分布。解：据安培环路定理，当 r > g时，有：B2 n r = 0B = 0当r2< r< g时，据安培环路定理有：-B dl 二 &(I - I )由于

11、内圆柱与外圆筒电流流向相反，故：I12 nN -)Mr - r )2 2B2心 &0(| |) B-严(与二)d - j2 nr $ - r当 ri< r<2 时，据：: B dl - '' 0|B2 nr = &lB = ( & I)/(2 nr)当0< r< ri时：j 二 I/( nr，)1 二 jiS 二(I nr2)/( nr，)-B dl二&丄&(I)/F 取L的环绕方向与I /成右手螺旋关系&IrB -,2 nriI，电流按横截面均匀分布。（1）求13、如图所示，半径为 a的无限长载流直圆柱通

12、有电流电流I所激发的磁场的空间分布；（2）有一个矩形面的尺寸为2a b，如图，其一边过圆柱的轴线00；求穿过该面的磁通量。解：（1）根据安培环路定理求解电流所激发的磁场的分布规律。当r :a时,I 2当r a时,Bd 二，得到：B2二r 二 厂r，解得 LaB dl f 二01，得到：B2二 r =亠01 ,解得 BL（2 ）求解该面的磁通要取竖向窄条，而且积分时要分成两部分。_-a > I2a cl二 B ds0 2 r bdrbdrs0 2 二 a2a 2二 r%bla%bl 2a10 2 rdr0dr2 二 a2 02 二a r%bl d Ol1 2ln a4-：上式就是穿过该面的

13、磁通量。14、一具有动能为K的电子束，从加速器管末端的“窗口”射出，另有一金属极板与这窗 口的距离为d，并与电子束方向垂直，如图所示，试证：如果在电子束前进的路上施加一个 磁感应强度为 B _ （2mK/e2d2）1/2的磁场，电子束就打不到极板上（式中 m和e为电子的质量和电荷），并在图上标明B的方向。解:（ 1）B的方向如图所示（若B垂直纸面向外，回旋方向向上, 也对）（2） 只要电子在磁场中的圆周轨道半径R满足以下条件R乞d，则电子束打不到极板上。（3）设电子从窗口射出速度为 V，则有下式：B=mVeR所以B =(2mK 2/ e R代入条件R乞d 得15、设密绕长直螺线管单位长度的匝数

14、为n管内充满相对磁导率为卩r的磁介质，导线中的电流为I，用安培环路定理计算载流长直螺线管内部的磁场。（已知管内磁场均匀）解：根据对称性分析，螺旋管内为均匀场，方向沿轴向，外部磁感强度趋于零，因此可做右图的矩形回路。根据安培环路定理：bcdefa "-B dl B dl B dl B dl B dl B dl B dlLab'cde- f即：B (ab) = m n(ab)IB 二 nl 二nl16、一无穷长直导线载有电流I，在它旁边有一段直导线AB , AB与I垂直，并且在同一平面内，以速度 v平行于电流I运动，如图所示。已知 l=10A , v=5.0m/s, a=1.0c

15、m, b=20.0cm。求这段导线中感应电动势，哪端电势高?解：根据动生电动势的定义b - anIV兀0 2-dBX-VBiA-电动势的万向为V B方向，即A端电势高。17、如图所示，一很长的直导线载有交变电流i = 10 sin cot它旁边有一长方形线圈ABCD,长为I,宽为(b-a),线圈和导线在同一平面内，求 ：(1)穿过回路ABCD的磁通量 ；(2 )回路ABCD中的感应电动势。解：由毕-萨定律知，直线电流i产生的磁场B为:(1)又d>B dS 二2xdSdS 二 Idx(2)由法拉第定律Joillnbdtdt 2 二In-)(i = I0sin t)18、一平行的金属导轨上放置一质量为m的金属杆，导轨间距为 L。一端用电阻R相R上所发出的焦耳热。连接，均匀磁场 B垂直于导轨所在平面(如图所示)，若杆以初速度 V。向右滑动，假定导轨是光滑的，忽略导轨的金属杆的电阻，求：(1)金属杆移动的最大距离；(2)在这过程中电阻解(1)当杆A、B以V。速度向右运动，要产生动生电动势， 由于它与电阻R组成闭合回路，有感应电流，即：