中值定理与导数的应用20728

1、第三章中值定理与导数的应用§3,1中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点X0的某邻域U(X0)内有定义.并且在X0处可导.如果对任意XU(X0).有f(x)刍(X0)(或f(X)Nf(X0).那么f*(X0>0,罗尔定理如果函数f满足：(1)在闭区问a,b上连续.(2)在开区问(a,b)内可导.(3)在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少在一点*<E<b).使得函数f(X)在该点的导数等丁零，即f'K)=0.例：设函数f(X)在0,1上连续，在(0,1)上可导，f(1)=0，证明：在(0,1)内存在匚，使得f(&quo

2、t;鱼.【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析：.f().f()=-一，f()f()=0f(x)Xf(X)=0.Xf(X)=0【证明】令G(X)=Xf(X),则G(x)在0,1上连续，在(0,1)上可导，且G(0)=0f(0)=0,G(11)f(1)=0,G(x)=f(x)xf(x)由罗尔中值定理知,存在&任(0,1)，使得G'(勺=f(匕)+寄(勺.即f。)=-上贝例：设函数f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：存在膳(a,b)，使得f")=g花).【分析】需要证明的结论与

3、导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令F(x)=f(x)-g(x)，贝U问题转化为证明F花)=0,只需对F'(x)用罗尔定理，关键是精品文档找到F似)的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一点cw(a,b)，使得F(c)=0，则在区间a,c,c,b上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对F(x)用罗尔定理即可。【证明】构造辅助函数F(x)=f(x)g(x),由题设有F(a)=F(b)=0.乂f(x),g(x)在(a,b)内具有相等的最大值，不妨设存在x壬x2,x,x2在(a,b)使得f(x1)=M=maxf(x)

4、,g(x2)=M=maxg(x),'"a,b,2a,b若x1=x2，令c=x1,贝UF(c)=0.若x<x2，因F(xi)=f(x)g(xi)芝0,Fg)=f(x2)g(x2)<0,从而存在KK,x2u(a,b),使F(c)=0.在区间a,c,c,b*分别利用罗尔定理知，存在匕肴(a,c),w(c,b),使得F(Z)=F(勺=0.再对F(x)在区间%,勺上应用罗尔定理，知存在h(4,M)u(a,b)，有F“K)=0,即f花)=g"4).二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)满足(1)在闭区问a,b上连续.(2)在开区间(a,b)内可导.那么

5、在(a,b)内至少有一点、(a«<b).使得等式f(b)-f(a)=f'()(b-a)例：,证明当x>0时.F<ln(xx.1x证设f(x)=ln(1版).显然f(x)在区间0.x上满足拉格朗日中值定理的条件.根据定理.就有f(x)f(0)寸'(顷x0).0<E<x。ln1(x)=fI-i1由丁f(0)Q.f(x)=x-因此上式即为1xx乂由0<8x.有示*1n1(+x)<xa2,aa-bIn例证明：当0<b<a时，abb1Ina-Inb1【分析】即证：a、'a-bb【证明】令f(x)=1nx，xEb，a，

6、在b，a上使用拉格朗日中值定理，知存在5,使MfZ11111na1nb1V-y-Vb<-<a，所以a-b，即aa-bb,变形得证。例(真题)设函数f(x)在0,危上可导，f(0)=0且limf(x)=2,证明xJ:.存在a>0,使得f(a)=11(1) 对(1)中的a,存在匕在(0,a),使得f'&)=.a证明：(1)因为limf(x)=2，对丁8=!，存在AA0,使得当x芝A时，|f(x)2|<：,xj：.22、3因此f(A)2，由连续函数的介值性，存在aW(0,A)，使得f(a)=1。(2)由拉格朗日中值定理，存在00,a)，使得f，(广f(a)-f

7、(°)=a-0a定理如果函数f(x)在区间I上的导数包为零.那么f(x)在区间I上是一个常数例：求证arcsinx+arccosx=(一1苴x三1).2证设f(x)=arcsinx+arccosx,当-1<x<1时有1-1f(x)：-三01xf(x)与F(x)在x°的某一去心邻域内可导，且F'(x),0;,1x2由推论1,f(x)在区间(1,1)内为一常数C,即arcsinxarccosx=C下面确定常数C的值，不妨取x=0,得nC=f(0)=arcsin0arccosO=02所以当-1ex<1时，arcsxnarccx)s'2对丁x=&#

8、177;1时，等式显然成立，故命题得证.、柯西中值定理柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区问a.b上连续.在开区问(a.b)内可导.且F'(x)在(a.b)内的每一点处均不为零.那么在(a.b)内至少有一点匚.使等式成立f(b)f(a)f()F(b)-F(a)飞()显然.如果取F(x)=x.那么F(b)-F(a)=b-a.F'(x)=1.因而柯西中值公式就可以写成：f(b)-f(a)=f'(%b-a)(a<W<b).这样就变成了拉格朗日中值公式了§3.2洛必达法则I旦称为-的待定型。x"g(x)0类似的待定型有：0008Q0二-二

9、仁，00,二0。若limf(x)=0,limg(x)=0，则limxax)ay一、0型未定式0定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：limf(x)=0,limF(x)=0;xq°x脸lim也存在(或为无穷大)，则lim空=lim也xxoF(x)2物F(x)x汁F(x)这个定理说明：当limf(x)存在时，lim1也也存在且等丁limf(x);当xxof(x)x凶F(x)x>xoF(x)lim哥)为无穷大时,lim里也是无穷大.X汕F(x)这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达(LHospital)法则.例：计算极限xm23x3-1

10、2x1632x32x2-4x8解：由洛必达法则，得32x3-12x163x2-126x3limf2=lim2=lim=_x2x-2x-4x8x23x-4x-4x：26x42注:若f(x),g(x)仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即f(x)f(x)f(x)lim=lim=lim=川.xag(x)xag(x)x9g(x)ji-arctanx例：计算极限1x二1解lim2=响=响二=1.x1x_/1x_"J：1M，x2xx2、例：求极限ljmlncos2x-Jn(1sinx)-2sin2xsin2x2、lncos2xTn(1sinx)2cos2x1sinx=limxo2x-2&

11、lt;cos2xsin2x=limx02x1-cosxk-ln(1tanx)1例(真题)求极限lim1一卜xpsinx1-cosxlx-ln(1tanx)1§x-xln(tanx)1解析lim4lim24x，0sinxx汩sinx21limxxln(1+tanx)1xln(1+tanx)12x0sin2xsin2x2烈。sin2x4二、型未定式QO定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：limf(x)=*,limF(x)=叫；xt。x5x0f(x)与F(x)在x。的某一去心邻域内可导，且F'(x)黄0;(3)limxt。存在(或为无穷大)，则lim里F(x)xF(x)=l

12、im空XfF(x)注：上述关丁xTx。时未定式三型的洛必达法则，对丁XT8时未定式三型同样适QOQOn例：计算极限xmM(n0).解所求问题是巴型未定式，连续n次施行洛必达法则，有cdn.nAn-2.xnxn(n-1)xn!0m；=与袤勺e=川=竖厂。-在使用洛必塔法则时应注意以下几点：。一，二一.一 洛必塔法则只适用丁0型或一型的极限.°如果lim空1仍是。型或三型，则可继续使用洛必塔法则g(x)0如果lim'：(x)不存在且不是°°,并不表明lim(x)不存在，只表明洛必塔法则g(x)g(x)失效，这时应用其他方法求解，即洛必达法则的条件是充分的，但不

13、必要.因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在.sinx2x例：lim=2xrx三、其它类型极限求法，0°,1",°°°等未定式，对这除0型与三型的未定式之外，还有0、*,oO-O00类未定式求极限，通常是利用代数包等变形转化为-或三型，然后用洛必达法则进0例：求limlnx.x0QO解这是0e型，因此|im?|nx=limjx0，x)0，10=limx)0!1_2x2x=lim=0.x)0x一11例：求lim(-).J0sinxx解这是"型，因此011xsinx0,.lim(-)=lim=limx&sinxx01-cosx

14、0sinxclim0x)0xsinxxsinxxcosxx02coxxsirx例9求limItanx)tan2xx；,sin2x、lim()-2sinxcosxx-1=e=e解这是1知，因此lntanxlim,cot2xtan2xtan2xlntanxx*lim(tanx)limee4F恐F十x切x怀览3泰勒公式、n阶泰勒公式(1x)-1、x2!1x2川W'Tg(n1)。"精品文档1.n阶带有Lagrange型余项的Taylor公式定理1(泰勒)若函数f在(a,b)上存在直到n阶的连续导函数，在(a,b)内存在n+1阶导函数，则对任意给定的x,x。w(a,b),至少存在一点&

15、#163;使得：f(Xo)"ho),、nf(i)(),、n.1f(X)=f(Xo)(X-Xo)|l|(X-Xo)(X-Xo)1!n!(n1)!土在X,Xo之间。2.带有皮业诺余项的泰勒公式定理2若函数f在(a,b)上存在直到n阶的连续导函数，则对任意给定的x,Xo(a,b)f(X)f(n)(Xc)f(X)=f(Xo)+(XXo)+HI+(XXo)+o(XXo)(1)1!n!称为泰勒公式的余项.3、常用函数的麦克劳林公式2nex=1x业山2Lo(xn)2!n!352m4sinx=x-丑山(T)mo(x2m)3!5!(2m-1)!242m.xxmx2m1、cosx=1-一一|l(T)o(

16、x)2!4!(2m)!=1xx3nln(1x)=x三川(_1)n4工-o(xn)23n川xno(xn)1-x应用1.把函数f(x)展开成n阶Maclaurin公式例：把函数f(x)=x2sinx2展开成含x16项的具Peano型余项的Maclaurin公式.357【解】sinx=x-.(x7),3!5!7!.-22sinx=x610xx+3!5!14L(x14).7!812162.24xxx,16、xsinx=x-(x)3!5!7!例:把函数f(x)=cos2x展开成含x6项的具Pean。型余项的Maclaurin公式.246【解】cosx=1-L_2L(x6),2!4!6!466cos2x=

17、12x"-一(x6),3!6!2122xcosx=(1cos2x)=1一x23!562(x6).6!2.求f(x)的n阶导数例f(x)=x2ln(1+x)，求f(n)(0)(n芝3).2n-2【解】f(x)=x2ln(1x)=x2(x-L0(xn')2n-2乂f(x)=f(0)xxn0*)1!n!4n=x3-二0(xn)2n-2所以，冬=二,")(0)=工n!n2n23.利用Taylor公式求极限2Xcosx-e2,.1,1,、lim(_-cotx).x0xx【分析】用泰勒公式求极限把函数展开到x多少次方呢？对丁分子和分母有一个能确精品文档例求极限lim2X，。x2

18、x2x-x-当o(x3)xln(1-x)定次数的，把另一个展开到相同次数即可，例如:xsinxlimxox3x(xgx3o(x3)寸。6x31x3.limJ=】xr0x36但是对丁分子和分母都不能确定次数的，要以具体情况而定2x-一2cosxe【解】(1)lim=limx，0xxln(1-x)x04xo(x4)2421-22424【点评】本题先确定分母展开的次数,ln(1-x)至少展开到二阶，确定了分母的次数后，以次确定分子展开的次数。1,1,、1sinx-xcosxlim(一-cotx)=limxTxxxTxxsinx32x3x2x-打：(x)-刈1:(x)=lim5x44、2x0x3(【-

19、项"«)=lim2!3!x04函数单调性与曲线的凹凸性、函数单调性的判定法定理1(函数单调性的判定法)设函数y=f(x)在a.b上连续.在(a.b)内可导,精品文档精品文档如果在(a.b)内f，(x)0.那么函数y=f(x)在a.b上单调增加；(2) 如果在(a.b)内f，(x)<0.那么函数y=f(x)在a.b上单调减少.注：判定法中的闭区间可换成其他各种区间.32例:确定函数f(x)=2x-9x+12x-3的单调区间,解这个函数的定义域为：(q.e),函数的导数为：f'(x)=6x2-18x十12=6(x1)(x2).导数为零的点有两个：xi=1、x2=2

20、.列表分析S11-22*)f(x)+f(x)/函数f(x)在区间(q.1和2.危)内单调增加.在区间1.2上单调减少.一般地.如果f'(x)在某区间内的有限个点处为零.在其余各点处均为正(或负)时.那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.例证明：当。1时.2妩3-上,x证明：令f(x2-(1)f，(x)=-4=%(x应-1).xxx2x2因为当x>1时.f(x)>0.因此f(x)在1,E)上f(x)单调增加.从而当x>1时.f(x)Af(1).由丁f(1)=0.故f(x)Af(1)=0.即2JT(3号)A0.也就是2、x3-(x1).x例(真题)证明：当

21、0<a<b<n时，bsinb2cosb二basina2cosa二a证：令f(x)=xsinx2cosx，x只需证明0<a<x<兀时，f(x)严格单调增加f(x)=sinxxcosx2sinx二=xcosxsinx二f(x)=cosx-xsinxcosx=-xsinx：0二f(x)严格单调减少又f(二)=二cos二二-0故0<a<x<兀时f(x)A0则f(x)单调增加(严格)由b>a则f(b)af(a)得证二、曲线的凹凸与拐点定义设f(x)在区间I上连续.如果对I上任意两点x1.x2.包有f(xix2f(xi)f(x2)22那么称f(x

22、)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果包有f(xix2)f(xi)f(x2)(2)2那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).凹凸性的判定定理设f(x)在a.b上连续.在(a.b)内具有一阶和二阶导数.那么(1) 若在(a.b)内f"(x)>0.则f(x)在a.b上的图形是凹的；若在(a.b)内f"(x)<0.则f(x)在a.b上的图形是凸的.拐点：连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点、确定曲线y-f(x)的凹凸区间和拐点的步骤：(1) 确定函数y-f(x)的定义域；(2) 求出在二阶导数L(x)；(3) 求使二阶导数为零的点

23、和使二阶导数不存在的点；(4) 判断或列表判断.确定出曲线凹凸区间和拐点；例求曲线y=3x4-4x3+1的拐点及凹、凸的区间精品文档精品文档-2、-24x=36x(x-3解：函数y=3x4Mx3+1的定义域为(皿.y=12x3-12x2y=36x2解方程y"Q得为.x2W;3(3) 列表判断：(皿.0)0(0.2/3)2/3(2/3.七c)f“(x)+00+f(x)111/27在区间(q0和2/3.E)上曲线是凹的.在区间0.2/3上曲线是凸的,点(0.1)和(2/3.11/27)是曲线的拐点.例：问曲线y«4是否有拐点？解y=4x3y=12x2.当x#0时.y"

24、>0.在区间(q,危)内曲线是凹的.因此曲线无拐点.例：求曲线y=娘的拐点.解(1)函数的定义域为(q,e)；(2) V3'-">9x2x2(3) 无二阶导数为零的点二阶导数不存在的点为x=0；(4) 判断：当x<0当.y>0；当x>0.y"<0,因此.点(0.0)是曲线的拐点落.5函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法极值的定义定义设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义.如果在去心邻域U(x0)内有精品文档精品文档f(x)<f(X0)(或f(X)Af(X0).则称f(X0)是函数f(x)的一个极大值(或极

25、小值)函数的极大值与极小值统称为函数的极值.使函数取得极值的点称为极值点,函数的极大值和极小值概念是局部性的.如果f(X0)是函数f(x)的一个极大值.那只是就X0附近的一个局部范围来说.f(X0)是f(X)的一个最大值；如果就f(X)的整个定义域来说.f(X0)不一定是最大值,关丁极小值也类似,定理1(必要条件)设函数f(X)在点X0处可导.且在X0处取得极值.那么这函数在X0处的导数为零.即f(X0)=0.注意，定理1仅是极值存在的必要条件，而非充分条件.如函数y=X3，在X=0处有yL=0,但yX虫=0不是极值.驻点：使导数为零的点(即方程f'(X)=0的实根)叫函数f(X)的驻

26、点,定理1就是说：可导函数f(X)的极值点必定是函数的驻点但反过来.函数f(X)的驻点却不一定是极值点例:函数f(X)=ln(X1)(x2)(x3)的驻点个数为(C)(A)0(B)1(C)2(D)3定理2(第一充分条件)设函数f(x)在X0连续.且在X0的某去心邻域(X0-5.x0)u(xsX0+q内可导.(1) 如果在(X0-6.X0)内f(x)>0,在(X0.X0+&)内f'(x)<0.那么函数f(x)在X0处取得极大值(2) 如果在(X0-&.X0)内f(x)<0,在(X0.X0+6)内f'(x)>0,那么函数f(x)在X0处取得极

27、小值如果在(X0-&.X0)及(X0.X0+5)内f'(x)的符号相同.那么函数f(x)在X0处没有极值确定极值点和极值的步骤(1) 求出导数f'(x)；(2) 求出f(x)的全部驻点和不可导点；列表判断(考察f，(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况.以便确定该点是否是极值点.如果是极值点.还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值)(3) 确定出函数的所有极值点和极值.例:求函数f(x)=(x-4用(x+1)2的极值.解f(x)在(皿,危)内连续.除x1外处处可导.且f(x)=5(x-Df(x)33、x1令f'(x)=0.得驻点x=1；x=-1

28、为f(x)的不可导点；列表判断x(q.-1)-1(-1.1)1(1Ff'(x)+小可导0+f(x)/0/(4)极大值为f(-1)=0.极小值为f(1)=-33Q.定理3(第二种充分条件)设函数f(x)在点xo处具有二阶导数且f(xo)=0.f"(xo)W0.那么当f"(x0)<0时.函数f(x)在x。处取得极大值；(2)当f"(x0)>0时.函数f(x)在x°处取得极小值；例：求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值.解(1)f(x)=6x(x2-1)2'(2) 令f'(x)=0.求得驻点x1=-1.x2=0.x3=1

29、(3) f(x)=6(x2-1)(5x2-1).因f"(0)=6>0,所以f(x)在x=0处取得极小值.极小值为f(0)=0.(4) 因f”(-1)m”(1)F.用定理3无法判别,因为在-1的左右邻域内精品文档f(x)<0.所以f(x)在-1处没有极值；同理.f(x)在1处也没有极值.二、最大值最小值问题最大值和最小值的求法设f(x)在(a.b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为X1.X2.xn.则比较f(a),f(xi),f(xn).f(b)的大小.其中最大的便是函数f(x)在a.b上的最大值.最小的便是函数f(x)在a.b上的最小值.2例:求函数f(x)=|x

30、-3x+2|在-3.4上的最大值与最小值.解f(x)=x2x3；22:槌尸2,4J2x-3xH-3,1)u(2,4)f(x)=-2x+3x*1,2)3一在(-3.4)内.f(x)的驻点为X-；不可导点为x=1和x=2.由丁f(-3)=20.f(1)=0.f号)=4.f(2)=0.f(4)=6.f(x)在x=-3处取得它在-3.4上的最大值20.在x=1和x=2处取它在-3.4上的最小值0.注意：应当指出.实际问题中.往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)确有最大值或最小值.而且一定在定义区间内部取得.这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x。.那么不必讨论f(x。)是否是极值.就可以断定

31、f(x。)是最大值或最小值落.6函数图形的描绘曲线的渐近线(1)水平渐近线如果当自变量xT8时，函数f(x)以常量C为极限，即limf(x)=C,则称直线y=c为曲线y=f(x)的水平渐近线.(2)铅直渐近线(或垂直渐近线)如果当自变量xtx°时，函数f(x)为无穷大量，即limf(x)=°o，则称直线x=冷JX0为曲线y=f(x)的铅直渐近线.(3)斜渐近线y=k*其中k=既旦l),b=哩(f(x)-kx),有水平渐近线则无斜渐近线，有斜渐近线则无水平斜渐近线例：(真题)曲线y=X渐近线的条数为()X2-1(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】：(C)【解析】：lim与

32、=8，所以x=1为垂直渐近线X1X2-1耽所以y=1为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选(C)。2x3,、例：(真题)曲线y=V的渐近线方程为X12x2解：忸十=2,2X32X32乂32XX21lim7-2limr=o,所以y=2xXXIX描绘函数图形的一般步骤(1)确定函数的定义域.并求函数的一阶和二阶导数；(5) 精品文档(2)求出一阶、二阶导数为零的点.求出一阶、二阶导数不存在的点列表分析.确定曲线的单调性和凹凸性确定曲线的渐近性；确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它点联结这些点画出函数的图形.例：画出函数y=x3-x2-x+1的图形,解：(1)函数的定义域为(q.危).f(x)=3