南通小海中学校本课程选修课程

1、南通市小海中学校本课程、选修课程教案用纸课程名称多面体欧拉公式的发现及应用执 教 人葛梅执教课时数1（ 1）了解大数学家欧拉的生平及其在数学领域作出的杰出贡献；教（ 2）了解欧拉公式产生的背景；学（ 3）理解欧拉公式“ V E+F=2 ”的证明；（ 4）能解决与欧拉公式有关的简单问题；目（ 5）培养学生发现问题、提出问题、解决问题、获取知识、运用知识的能力。标一、研究方法及具体任务：（ 1）欧拉生平及欧拉主要研究成果（数学方面）。（ 2）模型制作 ：五种正多面体及 C60 的模型。（ 3）证明公式 ：自主证明欧拉公式或查找关于欧拉公式的证明。（ 4）资料搜索及研究相关问题：可以上网或通过图书馆

2、等方式搜索有关的内容、资料，提供。二、课题指南 ：（ 1）人物介绍 ：瑞士著名的数学家欧拉,是数学史上的最多产的数学家,他毕生从事数学研究,他的论著几乎涉及18 世纪所以的数学分支。比如数学中的欧拉公式,欧拉方程，欧拉常数,欧拉方法，欧拉猜想等。欧拉晚年不幸双目失明，在失明后的17 年里，他还口述著了几本书和约 400 篇论文（ 2）背景 ：欧拉公式的背后是一门新的几何学，这种新的几何学只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑图形尺寸大小，这就是由莱布尼兹和欧拉共同奠基的“橡皮膜上的几何学”教 （位置几何学） ，如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支拓朴学。（ 3）历史 ：有关凸多面体最有

3、趣的定理之一是欧拉公式“V E+F=2 ”，其实大约在1635 年笛学卡尔就早已发现了它。欧拉在1750 年独立地发现了这个公式，并于1752 年发表了它。由于笛卡尔的研究到1860 年才被人们发现，所以这个定理就称为欧拉公式而不是笛卡尔公式。过三、知识准备：1 多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个程 面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线2凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体如图的多面体则不是凸多面体3凸多面体的分类：多面体至

4、少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等四、讲解新课：问题 1： 数出下列四个多面体的顶点数V、面数 F、棱数 E 并填表图形编号顶点数 V面数 F棱数 E（ 1)446（ 2）8612（ 3）6812教（ 4）9815学规律： V+F-E=2问题 2：数出下列四个多面体的顶点数V、面数 F、棱数 E 并填表过程( 6 )( 7 )( 8 )图形编号顶点数 V面数 F棱数 E（ 6)558（ 7）121224（ 8）7812问： V+F-E=2 还成立吗？1. 欧拉公式的探究（ 1）请查出第一组图的顶点数V、面数 F、和棱数 E，并计算 V FE。（ 2）查出第二组图中的顶点数

5、V、面数 F、和棱数 E，并验证上面公式是否还成立？假如第一组图，第二组图的多面体表面是像皮膜，向第一组图内充气则将变成一个球面，第二组图中将变成两个紧贴的球面和一个环面。可以验证：只有像第一组图这样，经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体才满足公式 VF E 2。这个公式称为欧拉公式，这样的多面体称为简单多面体。除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。例如：棱柱 , 棱锥 , 正多面体等一切凸多面体都是简单多面体.2欧拉定理 （欧拉公式）：简单多面体的顶点数V 、面数 F 及棱数 E

6、有关系式：VFE2证明 :( 方法一 )E 1EA1D1E 1B1C1ADEDA1CD1AB11BCCB(10)如图：将多面体的底面 ABCDE剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中 ABCDE表示）均没有变，故所有面的内角总和不变。 设 左图 中 共 有 F 个 面 ， 分 别 是 n1, n2 , nF 边 形 ， 顶 点 数 为 V， 棱 数 为 E, 则n1 n2nF2E .左图中，所有面的内角总和为(n12)180(n22)180(nF2)180 (n1 n2nF 2F )180 (2E 2F )180(EF )360右图中，所有面的内角总和为V上 360 （ V下2

7、）180 （ V下2）180 (剪掉的底面内角和 )0（V上V上2）360(V2)360 (E F )360 (V2)3600整理得V FE 2 .（方法二）以四面体ABCD 为例来说明：将它的一个面BCD 去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数 V 、棱数 E 与剩下的面数 ( F 1) 变形后都没有变因此，要研究 V 、 E 和 F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可对平面图形，我们来研究：（ 1）去掉一条棱，就减少一个面例如去掉 BC ，就减少一个面ABC 同理，去掉棱CD 、 BD ，也就各减少一个面ACD 、 ABD 所以 ( F1)E 、 V 的值都不变，因此V(F1

8、)E 的值也不变（ 2）再从剩下的树枝形中， 去掉一条棱， 就减少一个顶点 例如去掉 CA ，就减少一个顶点 C 同理，去掉 DA 就减少一个顶点 D ，最后剩下AB （如图）在此过程中 VE 的值不变，但这时面数F 是 0 ，所以 V(F1)E 的值也不变由于最后只剩下 AB ，所以 V(F1)E2 01 1，最后加上去掉的一个面，就得到VFE2 3欧拉示性数：在欧拉公式中令 f ( p) V FE ， f ( p) 叫欧拉示性数说明 ：（1）简单多面体的欧拉示性数f ( p)2（ 2）带一个洞的多面体的欧拉示性数f ( p)0 例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体f ( p)

9、1616320例 1一个n 面体共有 8 条棱， 5 个顶点，求n解： VF E2，F E2V5 ， n 5 例 2 一个正 n 面体共有8 个顶点，每个顶点处共有三条棱，求n解： V8， E83212 ， FE2 V6， n6 例 3 由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种证明：设正多面体的每个面的边数为n ，每个顶点连有m 条棱，令这个多面体的面数为F ，每个面有 n 条边， 故共有 nF 条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数EnF（1）2m 条棱，故共有令这个多面体有V 个顶点，每一个顶点处有mV 条棱 由于每条棱有两个顶点，故

10、多面体棱数mV（2）E2由（ 1）（ 2）得：F2E， V2E代入欧拉公式：2E2EE 2 nmmn 1111（ 3），mn2E3，但 m ， n 不能同时大于 3 ，又 m3， n（若 m3 ， n3，则有1110 ，即10 这是不可能的）mn2E m ， n 中至少有一个等于3 令 n3 ，则11110 ，m32E11， m5 ， 3m5 同样若 m3 可得 3n5 例 4 欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996 年诺贝尔化学奖授予对发现C60 有重大贡献的三位科学家C60 是由 60 个 C 原子构成的分子，它是形如足球的多面体这个多面体有 60 个顶点，以每一个顶点为一端点都有三

11、条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算C60 分子中五边形和六边形的数目解：设 C60 分子中有五边形x 个，六边形 y 个C60 分子这个多面体的顶点数V60 ，面数 Fxy ，棱数 E1 (360) ，由欧拉定理12得： 60 (x y)2 （1），(3 60)2另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得1 (5 x6 y)1 (360)（2），由（ 1）（ 2）22得： x 12 ， y20 C60 分子中五边形有12 个，六边形有20 个例 5 一个正多面体各个面的内角和为20 ，求它的面数、顶点数和棱数解：由题意设每一个面的边数为m , 则 F ( m2)20， F ( m 2)20，

12、 mFE， EF10,212 , 设过每一个顶点的棱数为 n ,将其代入欧拉公式 VFE2, 得V则 En V6n ， F12n得1212n6n2, 即521（1）,2mm3nm m 3 ， n5, 又 n3 ， n 的可能取值为3，4, 5,当 n3或 n4 时（ 1）中 m 无整数解；当 n 5, 由（ 1）得 m 3 ,E 30,F 20，综上可知 : E30，V12，F 20.三、小结： (1) 欧拉定理的应用；(2) 会用欧拉公式 V F E 2 解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题四、课后作业：一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F2V

13、 4证明： E 3F，V FE22V FF 2 F2V 42设一个凸多面体有V 个顶点，求证：它的各面多边形的内角和为（V-2 ） 360解：设此多面体的上底面有V 上个顶点，下底面有V 下个顶点将其下底面剪掉，抻成平面图形则V 上 360（ V 下 2） 180（ V 下 2） 180（ V 上 V 下 2） 360（ V2） 360有没有棱数是7 的简单多面体？说明理由证明： VFE 2，VF72 9多面体的顶点数V 4，面数 F 4只有两种情况V4， F5 或 V5，F4但是有 4 个顶点的多面体只有四个面，不可能是5 个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5 个顶点，没有棱数是7 的简单多面体是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边证明： 设有一个多面体，有F（奇数）个面，并且每个面的