VAR模型、协整和VEC模型-yukz

1、VAR模型、协整和VEC模型1. VAR向量自回归模型定义2. VAR模型的特点3. VAR模型稳定的条件4. VAR模型的分解5. VAR模型滞后期的选择6. 脉冲响应函数和方差分解7. 格兰杰Granger非因果性检验8. VAR模型与协整 9. VAR模型中协整向量的估计与检验10. 案例分析1980年Sims提出向量自回归模型vector autoregressive model。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为根底。在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。1. VAR向量自回归模型定义以两个变量y1t，y2t滞

2、后1期的VAR模型为例， y1, t = c1 + p11.1 y1, t-1 + p12.1 y2, t-1 + u1t y2, t = c2 + p21.1 y1, t-1 + p22.1 y2, t-1 + u2t 其中u1 t, u2 t IID (0, s 2), Cov(u1 t, u2 t) = 0。写成矩阵形式是， =+ 设Yt =, c =, P1 =, ut =,那么， Yt = c + P1 Yt-1 + ut (1.3)含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：Yt = c + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut, ut IID (0,

3、 W)其中，Yt = (y1, t y2, t yN, t)'， c = (c1 c2 cN)' Pj =, j = 1, 2, , k ut = (u1 t u2,t uN t)',不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与ut是渐近不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。2. VAR模型的特点1不以严格的经济理论为依据。2VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量。3VAR模型对参数不施加零约束。4VAR模型有相当多的参数需要估计。5VAR模型预测方便、准确附图。6可做格兰

4、杰检验、脉冲响应分析、方差分析。7西姆斯Sims认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量参加VAR模型。 附： 图1 油价与静态拟合值 图2 油价与静态拟合值3. VAR模型平稳稳定的条件对于VAR(1)，Yt = c + P1 Yt-1 + ut模型稳定的条件是特征方程 |P1-l I |=0的根都在单位圆以内，或相反的特征方程|ILP1|= 0的根都要在单位圆以外。对于k>1的VAR(k)模型可以通过矩阵变换改写成分块矩阵的VAR(1)模型形式。Yt = C + A Yt -1 + Ut模型稳定的条件是特征方程 |A-lI|

5、 =0的根都在单位圆以内，或其相反的特征方程 |I-LA|=0的全部根都在单位圆以外。 与单变量时间序列的情况类似，我们可以来考察VARp的单位根的存在性。为了说明这个问题，首先让我们来看一个二元时间序列的VAR1模型。 即有当的根在单位圆上，那么该序列是非平稳的。所以作为一个多变量的时间序列，其平稳的充分必要条件是根在单位圆之外。附：矩阵变换。给出k阶VAR模型，Yt = c + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut 再配上如下等式， Yt -1 = Yt -1 Yt -2 = Yt -2 Yt-k+1 = Yt-k+1把以上k个等式写成分块矩阵形式，=+ 其

6、中每一个元素都表示一个向量或矩阵。上式可写为Yt = C + A Yt -1 + Ut 附：VAR模型的特征根4. VAR模型的分解以VAR(1)模型 Yt = c + P1 Yt-1 + ut 为例，用递推的方法最终可把Yt分解为三局部：Yt = (I + P1 + P12 + + P1t-1) c + P1t Y0 + ut-i = (I-P1)-1c + P1t Y0 + ut-i5. VAR模型滞后期的选择从原那么上讲，我们应该从VAR模型的自相关函数和偏自相关函数的特征来考虑模型的识别问题，但是从实用的角度讲，要在多元情况下把ACF和PACF很直观的讲清楚，是一件不容易的事情，所以，

7、在实际应用中，采用逐步升阶的方法，找出最恰当的模型阶数。假定我们已经估计了几个VAR(p)模型，阶数从1到k。现在我们可以来研究这些模型的残差的估计值。我们知道对一个AR模型来说，无谓的升阶，到达了非常小的残差，是以牺牲自由度为代价的。使二者到达一个最正确的平衡点的一个有用的标准就是Akaike和Schwarz信息准那么函数，当然还有其它准那么，我们一并列在下面。1 用F统计量选择k值。F统计量定义为， F( m , T k )2 用LR统计量选择k值。LR似然比统计量定义为， LR = - 2 (log L(k) - log L(k+1) ) 3 用赤池Akaike信息准那么 (AIC) 选

8、择k值。AIC = -2+ 4用施瓦茨Schwartz准那么 (SC) 选择k值。SC =-2+5用Hannan-Quinn信息准那么选择k值。附：选择k值评价结果是建立VAR(2)模型。例在Eviews中VAR的估计的相关操作1、 选择Quick/Estimate VAR2、在Lag intervals对话框中键入方程右边滞后期数1 21 2表示在方程的右边所有的变量均滞后两期。 键入1 2 4 5 9 9的意思是所有方程右边的变量滞后期数为：1 2 4 5 9。3、键入内生或外生变量名在适当的编辑框endogenous：内生变量框exogenous：外生变量框4、选择模型类型Var spe

9、cificationUnrestricted VAR 无约束向量自回归Vector Error Correction向量误差校正5、在Include intercept选择是否包含常数项6. VAR模型的脉冲响应函数和方差分解(1)脉冲响应函数:对于任何一个VAR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA()过程。Yt+s = Ut+s + Y1Ut+s -1 + Y2 Ut+s -2 + + Ys Ut + Y s = Y s中第i行第j列元素表示的是，令其它误差项在任何时期都不变的条件下，当第j个变量yj t对应的误差项uj t在t期受到一个单位的冲击后，对第i个内生变量yit在t + s期造

10、成的影响。 把Y s中第i行第j列元素看作是滞后期s的函数, s = 1, 2, 3, 称作脉冲响应函数impulse-response function，脉冲响应函数描述了其它变量在t期以及以前各期保持不变的前提下，yi, t+s对 uj, t时一次冲击的响应过程。(2)方差分解MSE() = E(Yt+s -) (Yt+s -)'= W + Y1WY1' + Y2WY2 ' + +Y s-1WY s-1' 5其中W = E(ut ut' )。 下面考察每一个正交化误差项对MSE()的奉献。把ut变换为正交化误差项vt。ut = M vt = m1v1

11、t + m2v2t + mN vN tW = E(ut ut' ) = (m1v1t + m2v2t + mN vN t) ( m1v1t + m2v2t + mN vN t) '= m1 m1'Var(v1t)+ m2 m2'Var(v2t) + mN mN'Var(vNt) 把用上式表达的W代入(5) 式，并合并同期项，MSE() =那么表示正交化的第j个新息对前s期预测量方差的奉献百分比。附：脉冲响应函数 图1 油价对3个误差项的响应 图2 油产量对3个误差项的响应 图3 油储量对3个误差项的响应附：方差分解图4 油价的方差分解 图5 油产量的方差

12、分解 图6 油储量的方差分解7. 格兰杰Granger非因果性检验格兰杰非因果性：如果由yt和xt滞后值所决定的yt的条件分布与仅由yt滞后值所决定的条件分布相同，即 ¦( yt | yt -1, , xt -1, ) = ¦( yt | yt -1, )那么称xt -1对yt存在格兰杰非因果性。 格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件不变，假设加上xt的滞后变量后对yt的预测精度不存在显着性改善，那么称xt -1对yt存在格兰杰非因果性关系。为简便，通常总是把xt-1 对yt存在非因果关系表述为xt去掉下标-1对yt存在非因果关系严格讲，这种表述是不正确的。检验式VAR模型

13、方程之一是 H0: b1 = b2 = = bk = 0。检验可用F统计量完成。 F( k, T - k N )注意：滞后期k的选取是任意的。1以xt和yt为例，如果xt-1对yt存在显著性影响，那么不必再做滞后期更长的检验。2如果xt-1对yt不存在显著性影响，那么应该再做滞后期更长的检验。且结论相同时，才可以最终下结论。附：格兰杰非因果性检验结果8. VAR模型与协整谢小燕版 一个简单的例子为了说明多维变量的协整关系，我们以一个一阶自回归过程为例讨论有关的问题。模型的等价形式为：其中。当，那么，即。容易得到所有分量均为I1，且没有协整关系；当Rank=n，对方程，因为其左边是平稳的序列，右

14、边也应该是平稳序列，是满秩矩阵，故可见本生就是平稳序列。当，根据线性代数的结论，有阶列满秩矩阵和，使有包含个协整关系。该模型成为误差校正模型，我们看到模型在用进行校正。总结起来有三种情形：l 系数矩阵的秩为时，的分量间存在有个协整组合，有个组合仍为I(1);l 系数矩阵的秩为n时，为I(0)向量;l 系数矩阵的秩为0时，为I(1)向量，且不存在任何协整关系。至此，我们已经发现，讨论多重协整关系的问题，归于讨论的秩。张晓峒版如果VAR模型 Yt = P1 Yt-1 + P2 Yt-1 + + Pk Yt-k + ut, ut IID (0, W) 的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的一阶

15、差分序列建立一个平稳的VAR模型。DYt = P1* DYt-1 + P2* DYt-2 + + Pk* DYt-k + ut* 新然而，当这些变量存在协整关系时，采用差分的方法构造VAR模型虽然是平稳的，但不是最好的选择。向量误差修正模型VEC的表达式是DYt = (P1 +P2 +Pk - I ) Yt -1- (P2 +P3 +Pk) DYt-1- (P3 +Pk) DYt-2 - Pk DYt - (k-1) +ut令 Gj = -, j = 1, 2, , k-1，P = - G0 - I =- I = P1 + P2 + + Pk I 那么上式写为DYt = P Yt-1 + G1

16、DYt-1 + G2DYt-2 + + Gk-1DYt-(k-1) + ut根据Granger定理，向量误差修正模型VEC的表达式是 A(L) DYt = a b ' Yt-1 + d (L) ut 其中A(L) 是多项式矩阵A(L)别离出因子(1- L)后降低一阶的多项式矩阵，d (L)是由滞后算子表示的多项式矩阵。 Yt-k有如下三种可能。1当Yt 的分量不存在协整关系，P的特征根为零，P = 0。2假设rank (P) = N满秩，保证 P Yt-k平稳的唯一一种可能是Yt I(0)。3当Yt I(1)，假设保证 P Yt-k平稳，只有一种可能，即Yt 的分量存在协整关系。例1：

17、 P Yt-1 = a b 'Yt-1 = = 例2：设三个变量的VAR(1)的误差修正模型如下含两个协整关系， = + 代数形式是 D y1, t = - (1/2) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 + (1/4) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1 + u1 t D y2, t = (1/8) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 (5/8) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1 + u2 t D y3, t = (1/4) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 + (3/8) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1 + u3

18、t9. VAR模型中协整向量的估计与检验(张晓峒版)检验协整关系的零假设是 H0: rk(P) £ r 或 P = a b ' 统计量是 LR = - 2 (logL()r - logL()u) = - T (1- li ) , r = 0, 1, , N - 1 LR统计量在零假设 0 < r < N 或“存在N - r个单位根成立条件下不服从c2分布。Johansen证明LR统计量渐近服从如下分布。tr 其中tr (·) 表示迹，W(i) 是N-r维的Wiener过程。上述统计量也称作迹统计量。右单端检验。上述 LR检验，H0: rk(P) 

19、3; r，是一个连续检验过程。例： N = 3 的VAR模型的3个特征根分别是l1 = 0.9, l2 = 0.5, l3 = 0.04。样本容量T = 100，练习协整向量个数的检验过程。 表 协整检验过程零假设N - r 特征值迹统计量5%水平临界值r = rk(P ) = 030.90303.6 >34.91r = rk(P ) £ 120.5073.30 >19.96r = rk(P ) £ 210.044.082 <9.24 注：LR = - T (1- li ) 。结论是该VAR模型中存在2个协整向量。附：计算过程。首先检验r = 0。 LR

20、= - T (1- li ) = - 100= -100 log(0.1)+ log(0.5)+ log(0.96)= -100 (-2.302-0.693-0.04) = 303.6 > 34.91临界值接着检验r = 1。 LR = - 100= -100 log(0.5)+ log(0.96)= -100 (-0.693-0.04) = 73.30 > 19.96临界值接着检验r = 2。 LR = - 100 Ln (1- l3 ) = -100 log(0.96)= -100 (-0.04) = 4.082 < 9.24临界值因为r £ 1已经被拒绝，但r

21、 £ 2未能被拒绝，所以结论是该VAR模型中存在2个协整向量。例：输出结果说明3个变量之间存在一个协整关系。附：说明(1) 首先从检验r = 0开始。意即在VAR模型中不存在协整向量含有N个单位根。如果r = 0不能被拒绝LR < 临界值，说明N个变量间不存在协整关系。检验到此终止。不能建立VEC模型。如果r = 0被拒绝LR > 临界值，那么应继续进行下面的检验。(2) r £ 1。意即在VAR模型中存在1个协整向量含有N-1个单位根。如果r £ 1不能被拒绝LR < 临界值，检验到此终止。如果r £ 1被拒绝，那么应进一步作如下检验

22、。(3) r £ N 1。意即在VAR模型中存在N 1个协整向量含有1个单位根。如果r £ N 1不能被拒绝LR < 临界值，检验到此终止。如果r £ N 1被拒绝，说明r =N。在检验过程中，比方r £ r*-1已经被拒绝，但r £ r*不能被拒绝，那么结论是VAR模型中存在r*个协整向量。4协整检验过程中的每一步检验都属于右单端检验。谢小燕版一Johansen检验的思路第一步，拟合模型这里约束了。模型的残差项记为，含有的信息。第二步，拟合模型模型的残差项记为，含有的信息。实质上，两个辅助回归模型的残差项分别从和排除了的影响，使我们的注

23、意力集中到了和的关系上。接下来的问题是是否可以分别在含有的信息和含有的信息中各自找出一个线性组合，构成一对变量这对变量是，且该对线性组合具有最大的相关性，类推找出所有可能的，相关性次强的线性组合对。这些线性组合对中的方的成员对应的系数那么构成中的协整变量的结构或协整变量的系数，显著相关的线性组合对的个数即为协整变量的个数 多元统计分析中典型相关分析法。(二)Johansen检验Johansen检验这不是单独的一个检验，而是一系列的检验，检验协整变量的个数为几。从开始，是协整变量的个数。1提出假设至多存在个协整关系，即在和中有对典型变量相关性显著； 有大于个协整关系,即在和中有对以上的典型变量相

24、关性显著;2构造检验的统计量检验的统计量为： 其中是和中典型相关系数的平方。3Johansen检验的实施 检验有几个协整变量和协整变量的结构。为了检验变量间的协整关系和协整变量的个数，操作如下列图，首先在下拉式菜单中选择协整检验的选项，如(*)图17。再选择检验式的形式图(*)。 图* 协整检验图* 选择协整检验式Johansen检验要求，协整方程有5种，上面的对话框左侧：序列y或协整方程中无确定趋势项或无截距项；序列y无截距项且协整方程只有截距项；序列y或协整方程中只有截距项；序列y无趋势项和在协整方程既有截距项也有趋势项；序列y有线性趋势且在协整方程既有截距项也有趋势项.输出结果如下表。表

25、 协整检验的结果Date: 07/15/06 Time: 22:45Sample: 1955 1988Included observations: 32Test assumption: Linear deterministic trend in the dataSeries: LY1 LY2 LY3 LY4 LY5 Lags interval: 1 to 1EigenvalueLikelihood5 Percent1 PercentHypothesizedRatioCritical ValueCritical ValueNo. of CE(s) 0.673781 89.41854 68.52

26、76.07 None * 0.520657 53.57257 47.21 54.46 At most 1 * 0.372611 30.04173 29.68 35.65 At most 2 * 0.294853 15.12372 15.41 20.04 At most 3 0.115972 3.944545 3.76 6.65 At most 4 * *(*) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level L.R. test indicates 3 cointegrating equation(s) at 5%

27、 significance level Unnormalized Cointegrating Coefficients:LY1LY2LY3LY4LY5-1.772497 0.474616 2.107603-3.009948 1.006424-1.787311 1.202167-0.741407-1.764639 1.626055 1.746643 0.341621-0.643429-0.588860 0.115909-0.753075 0.323333-0.183253-0.232808 0.826739 0.822507-1.222749-0.163635 1.593490 0.343754

28、 Normalized Cointegrating Coefficients: 1 Cointegrating Equation(s)LY1LY2LY3LY4LY5C 1.000000-0.267767-1.189059 1.698140-0.567800-2.926526 (0.10287) (0.24139) (0.27219) (0.10789) Log likelihood 217.0823 Normalized Cointegrating Coefficients: 2 Cointegrating Equation(s)LY1LY2LY3LY4LY5C 1.000000 0.0000

29、00-2.250753 2.168675-0.341427-2.307264 (0.74172) (0.71088) (0.22812) 0.000000 1.000000-3.964990 1.757253 0.845412 2.312686 (1.64145) (1.57321) (0.50484) Log likelihood 228.8478 Normalized Cointegrating Coefficients: 3 Cointegrating Equation(s)LY1LY2LY3LY4LY5C 1.000000 0.000000 0.000000-0.244359-0.13

30、6126-2.773445 (0.16665) (0.22844) 0.000000 1.000000 0.000000-2.493616 1.207076 1.491450 (0.31011) (0.42508) 0.000000 0.000000 1.000000-1.072101 0.091214-0.207122 (0.12288) (0.16844) Log likelihood 236.3068 Normalized Cointegrating Coefficients: 4 Cointegrating Equation(s)LY1LY2LY3LY4LY5C 1.000000 0.

31、000000 0.000000 0.000000 0.307903-6.526467 (1.76814) 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 5.738259-36.80706 (16.5079) 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 2.039343-16.67311 (7.14159) 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.817113-15.35862 (6.59522) Log likelihood 241.8964从结果可以看出，协整变量的个数是3个。没有正规化的系数矩阵：用初

32、等变换，正规化的系数矩阵：案例分析： 英国购置力平价和利率平价的协整性分析，Johansen-Juselius (1992) 。祥见Journal of Econometrics计量经济学杂志第53卷，211-244页。1购置力平价和利率平价同种商品在不同国家应该保持相同价格。否那么就会存在套利问题。但是当汇率可以自由浮动时，套利问题就会消除。用Pt表示国内商品价格，Pt*表示国外同类商品价格，Et表示购置力平价，那么有Et = Pt / Pt*即一个单位的外国货币相当于多少本国货币。对数形式是LnEt = Ln Pt - LnPt*3个变量的长期均衡关系是Ln Pt - LnPt* - Ln

33、Et = u1t其中ut表示非均衡误差，是一个均值为零，平稳的随机过程。在均衡点处有ut = 0。下面考虑与商品有关的资本市场条件。生产商品必然与金融资产相联系。而金融资产可以用金融债券度量。国内外对这些债券的利息率是不一样的。分别用Rt，Rt*表示。资本市场的套利行为对汇率形成压力。制定汇率必须使国内外利率差与t+1期、t期之间汇率差相等，即保证Rt - Rt* = E(t) (Et+1) - Et = u2t其中Et 表示名义汇率货币的购置力平价。E(t) (Et+1)表示t期对t+1期汇率的期望。u2t是非均衡误差，是一个平稳的随机过程。保持Rt，Rt*相等称为利率平价。2协整关系的预分

34、析如果用 Yt = (LnPt LnPt* LnEt Rt Rt*)'表示变量列向量，希望能存在两个协整关系。b1 = (1 -1 -1 0 0)'b2 = (0 0 0 1 -1)'b1表示购置力平价协整向量，b2表示利率平价协整向量。3估计协整向量个数r。 用Pt表示英国商品综合批发价格指数。Pt*表示进口商品综合批发价格指数。Et表示英国实际汇率。Rt表示三个月的金融债券利率。Rt*表示三个月的欧元利率。样本数据范围是1972:1-1987:2。通过对数据走势的分析，认为批发价格指数序列中存在线性趋势。所以在VAR模型中应该有一个非约束常数项既进入协整空间，也进入

35、数据空间。2阶VAR模型估计结果显示残差序列的峰度值很高顶峰厚尾特征，为非正态分布。残差序列的方差很大主要是由于世界石油价格的变化造成的。用石油价风格整批发价格指数，再次估计2阶VAR模型。VAR模型残差序列的诊断检验结果见表1。表1 VAR模型残差的诊断检验方程内生变量标准差偏度峰度-3JB统计量序列相关检验，LM(20)1LnPt0.0070.291.274.84 (<5.99)6.09 (<31.41)2LnPt*0.0070.282.1612.44 (>5.99)9.59 (<31.41)3LnEt0.0300.300.170.95 (<5.99)13.5

36、4 (<31.41)4Rt0.0110.580.253.55 (<5.99)9.11 (<31.41)5Rt*0.013-0.513.7637.95 (>5.99)16.41 (<31.41) 注： c20.05 (2) = 5.99, c20.05 (20) = 31.41序列相关检验结果显示5个方程的随机误差序列都不存在自相关。但Rt和Rt*仍表现为非正态性。这是由于它们的弱外生性造成的。在上述2阶VAR模型根底上进行协整检验见表2。结果显示协整向量个数r = 2。表2 协整向量个数r的检验H0H1特征根迹统计量协整检验临界值，a=0.05r =0r ³10.40780.75 >68.52r £1r ³20.28549.42 >4