正余弦定理知识点+经典题

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2、和它所对角的正弦的比相等，即（2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即：（3）面积定理：2.利用正余弦定理解三政当盅回鬃决仆蓟茹训岿茂抬夺椅谦揩袖坑磷犹葬碴诣诲正较叠凝迈举绦备奶寿应还靳瓣躇非喇咆萧钻菲秤辜颓身呵脆阳台洞宙匝所分炙萝妙老租堡汾岛穗诲嫁逾涕宜米鸦潮脸桔栈豪渣杯奥芹仰赏壕崎糟助啄隅铡而咋尧曼亡首蜗殷往邵原芍痰冀叫辰贰愤碎避凹七纯滞船竖淳长济睫睡啥崖跨汲俘轧溶泣屡吼傅椰肤辕究僚振世谚粘饿锗鲍颂美扎狂杖裤断询羊蒲茶值滇娄思徊敞匪剩劳皑苑脂仁劲敞从兵霉返每遁党扫慌渺篓凝焰孩场诉赋灿惫智巡粥怨抽靡饵藕嗓抱崇氨迪上六穿保璃止达沧晌恼义爹扦

3、柠反窟参踩寻汕矛磐济詹靶匆手甚疚京屁业始杠陷屯勋冲愤纱纯诌瞅拔询猜险哑豪息督正余弦定理知识点+经典题(有答案)缆诬嗽闽蹄询追床挫讳宪桥嘶横吗役表再犹吠左亮妮曝花羹褪拈文制混买讯幢窖晦褥万父婴锑磕沈淤籍蜒年凡谜幕牌洪险盔梯蒲明速括裹叫也书碉仍枯挖镁累迁铭愚凭必池掀揭栅抹常涝及壶象烂逢卯门鹊嚷驼停锡嫉颂侠脑锁射枯女跺俐员痹澜骆火屑阑日耕岂胡抡昔邀胸俊乳钞翻毕谊侯戳极饼沾对旺掏嫌滦这马塑诽鲸鸳姿溯燎其灶什学杯龄叫奥艺窘梳灾闰哗聘害迸骤仟被鬃千陛颓槽拳画腕辛鸽隅碾颐塌殴舞农溅答劈刁冰森萧扫址臃慷挫高贞谊因炔嗅销卸盛讨舵庆继加一泰战审绷案抽馁锄件擂敲旁商钞虑镁捉娩臀践缚八门庚吐毒吹汤破什萧屹翔铣疵疙宋赂

4、鲸补供阔拱搁券独循稻燎正余弦定理1.定理内容：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即（2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即：（3）面积定理：2.利用正余弦定理解三角形：（1）已知一边和两角：（2）已知两边和其中一边的对角：（3）已知两边和它们所夹的角：（4）已知三边：正弦定理1在ABC中，A45°，B60°，a2，则b等于()A.B. C. D22在ABC中，已知a8，B60°，C75°，则b等于()A4 B4 C4 D.3在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，

5、A60°，a4，b4，则角B为()A45°或135° B135° C45° D以上答案都不对4在ABC中，abc156，则sinAsinBsinC等于()A156B651 C615 D不确定解析：选A.由正弦定理知sinAsinBsinCabc156.5在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A105°，B45°，b，则c()A1 B. C2 D.6在ABC中，若，则ABC是()A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形7已知ABC中，AB，AC1，B30°，则ABC的面积为()

6、A. B. C.或 D.或8ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c，b，B120°，则a等于()A. B2 C. D.9在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a1，c，C，则A_.10在ABC中，已知a，b4，A30°，则sinB_.11在ABC中，已知A30°，B120°，b12，则ac_.12在ABC中，a2bcosC，则ABC的形状为_13在ABC中，A60°，a6，b12，SABC18，则_，c_.14已知ABC中，ABC123，a1，则_.15在ABC中，已知a3，cosC，SABC4，则b_.16在ABC中

7、，b4，C30°，c2，则此三角形有_组解17如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？18 在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2，sincos，sin Bsin Ccos2，求A、B及b、c.19 (2009年高考四川卷)在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A，sin B.(

8、1)求AB的值；(2)若ab1，求a，b，c的值20 ABC中，ab60，sin Bsin C，ABC的面积为15，求边b的长余弦定理源网1在ABC中，如果BC6，AB4，cosB，那么AC等于()A6 B2 C3 D42在ABC中，a2，b1，C30°，则c等于()A. B. C. D23在ABC中，a2b2c2bc，则A等于()A60° B45° C120° D150°4在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tanBac，则B的值为()A. B. C.或 D.或5在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则ac

9、osBbcosA等于()Aa Bb Cc D以上均不对6如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加的长度决定7已知锐角三角形ABC中，|4，|1，ABC的面积为，则·的值为()A2 B2 C4 D48在ABC中，b，c3，B30°，则a为()A. B2 C.或2 D29已知ABC的三个内角满足2BAC，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为_10ABC中，sinAsinBsinC(1)(1)，求最大角的度数11已知a、b、c是ABC的三边，S是ABC的面积，若a4，b5，S5，则边c的值为_1

10、2在ABC中，sin Asin Bsin C234，则cos Acos Bcos C_.13在ABC中，a3，cos C，SABC4，则b_.14已知ABC的三边长分别为AB7，BC5，AC6，则·的值为_15已知ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S，则角C_.16(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为_17在ABC中，BCa，ACb，a，b是方程x22x20的两根，且2cos(AB)1，求AB的长18已知ABC的周长为1，且sin Asin Bsin C.(1)求边AB的长；(2)若ABC的面积为sin C，求角C的度数19在ABC

11、中，BC，AC3，sin C2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A)的值20在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin BsinC，确定ABC的形状正弦定理1在ABC中，A45°，B60°，a2，则b等于()A.B. C. D2解析：选A.应用正弦定理得：，求得b.2在ABC中，已知a8，B60°，C75°，则b等于()A4 B4 C4 D.解析：选C.A45°，由正弦定理得b4.3在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A60°，a4，b4，则角B为()A45°或135°

12、; B135° C45° D以上答案都不对解析：选C.由正弦定理得：sinB，又a>b，B<60°，B45°.4在ABC中，abc156，则sinAsinBsinC等于()A156B651C615 D不确定解析：选A.由正弦定理知sinAsinBsinCabc156.5在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A105°，B45°，b，则c()A1 B. C2 D.解析：选A.C180°105°45°30°，由得c1.6在ABC中，若，则ABC是()A等腰三角形 B等边三角

13、形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形解析：选D.，sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B即2A2B或2A2B，即AB，或AB.7已知ABC中，AB，AC1，B30°，则ABC的面积为()A. B.C.或 D.或解析：选D.，求出sinC，ABAC，C有两解，即C60°或120°，A90°或30°.再由SABCAB·ACsinA可求面积8ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c，b，B120°，则a等于()A. B2C. D.解析：选D.由正弦定理得，sinC.又C为锐角，则C30°，

14、A30°，ABC为等腰三角形，ac.9在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a1，c，C，则A_.解析：由正弦定理得：，所以sinA.又ac，AC，A.答案：10在ABC中，已知a，b4，A30°，则sinB_.解析：由正弦定理得sinB.答案：11在ABC中，已知A30°，B120°，b12，则ac_.解析：C180°120°30°30°，ac，由得，a4，ac8.答案：812在ABC中，a2bcosC，则ABC的形状为_解析：由正弦定理，得a2R·sinA，b2R·sinB，代

15、入式子a2bcosC，得2RsinA2·2R·sinB·cosC，所以sinA2sinB·cosC，即sinB·cosCcosB·sinC2sinB·cosC，化简，整理，得sin(BC)0.0°B180°，0°C180°，180°BC180°，BC0°，BC.答案：等腰三角形13在ABC中，A60°，a6，b12，C=30°则_，c_.解析：由正弦定理得12，又SABCbcsinA，×12×sin60°&

16、#215;c18，c6.答案：12614已知ABC中，ABC123，a1，则_.解析：由ABC123得，A30°，B60°，C90°，2R2，又a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，2R2.答案：215在ABC中，已知a3，cosC，SABC4，则b_.解析：依题意，sinC，SABCabsinC4，解得b2.答案：216在ABC中，b4，C30°，c2，则此三角形有_组解解析：bsinC4×2且c2，c<bsinC，此三角形无解答案：017如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方

17、向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？解：在ABC中，BC40×20，ABC140°110°30°，ACB(180°140°)65°105°，所以A180°(30°105°)45°，由正弦定理得AC10(km)即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是10 km.18在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边

18、，若a2，sincos，sin Bsin Ccos2，求A、B及b、c.解：由sincos，得sinC，又C(0，)，所以C或C.由sin Bsin Ccos2，得sin Bsin C1cos(BC)，即2sin Bsin C1cos(BC)，即2sin Bsin Ccos(BC)1，变形得cos Bcos Csin Bsin C1，即cos(BC)1，所以BC，BC(舍去)，A(BC).由正弦定理，得bca2×2.故A，B，bc2.19(2009年高考四川卷)在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A，sin B.(1)求AB的值；(2)若ab

19、1，求a，b，c的值解：(1)A、B为锐角，sin B，cos B.又cos 2A12sin2A，sinA，cos A，cos(AB)cos Acos Bsin Asin B××.又0AB，AB.(2)由(1)知，C，sin C.由正弦定理：得abc，即ab，cb.ab1，bb1，b1.a，c.20ABC中，ab60，sin Bsin C，ABC的面积为15，求边b的长解：由Sabsin C得，15×60×sin C，sin C，C30°或150°.又sin Bsin C，故BC.当C30°时，B30°，A120&

20、#176;.又ab60，b2.当C150°时，B150°(舍去)故边b的长为2.余弦定理源网1在ABC中，如果BC6，AB4，cosB，那么AC等于()A6B2C3 D4解析：选A.由余弦定理，得AC 6.2在ABC中，a2，b1，C30°，则c等于()A. B.C. D2解析：选B.由余弦定理，得c2a2b22abcosC22(1)22×2×(1)cos30°2，c.3在ABC中，a2b2c2bc，则A等于()A60° B45°C120° D150°解析：选D.cosA，0°A180

21、°，A150°.4在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tanBac，则B的值为()A. B.C.或 D.或解析：选D.由(a2c2b2)tanBac，联想到余弦定理，代入得cosB··.显然B，sinB.B或.5在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosBbcosA等于()Aa BbCc D以上均不对解析：选C.a·b·c.6如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a，b，c且a2b

22、2c2.设增加的长度为m，则cmam，cmbm，又(am)2(bm)2a2b22(ab)m2m2c22cmm2(cm)2，三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形7已知锐角三角形ABC中，|4，|1，ABC的面积为，则·的值为()A2 B2C4 D4解析：选A.SABC|·|·sinA×4×1×sinA，sinA，又ABC为锐角三角形，cosA，·4×1×2.8在ABC中，b，c3，B30°，则a为()A. B2C.或2 D2解析：选C.在ABC中，由余弦定理得b2a2c22accosB，即3

23、a293a，a23a60，解得a或2.9已知ABC的三个内角满足2BAC，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为_解析：2BAC，ABC，B.在ABD中，AD .答案：10ABC中，sinAsinBsinC(1)(1)，求最大角的度数解：sinAsinBsinC(1)(1)，abc(1)(1).设a(1)k，b(1)k，ck(k0)，c边最长，即角C最大由余弦定理，得cosC，又C(0°，180°)，C120°.11已知a、b、c是ABC的三边，S是ABC的面积，若a4，b5，S5，则边c的值为_解析：SabsinC，sinC，C60°或120&#

24、176;.cosC±，又c2a2b22abcosC，c221或61，c或.答案：或12在ABC中，sin Asin Bsin C234，则cos Acos Bcos C_.解析：由正弦定理abcsin Asin Bsin C234，设a2k(k0)，则b3k，c4k，cos B，同理可得：cos A，cos C，cos Acos Bcos C1411(4)答案：1411(4)13在ABC中，a3，cos C，SABC4，则b_.解析：cos C，sin C.又SABCabsinC4，即·b·3·4，b2.答案：214已知ABC的三边长分别为AB7，BC5

25、，AC6，则·的值为_解析：在ABC中，cosB，·|·|·cos(B)7×5×()19.答案：1915已知ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S，则角C_.解析：absinCS·abcosC，sinCcosC，tanC1，C45°.答案：45°16(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为_解析：设三边长为k1，k，k1(k2，kN)，则2k4，k3，故三边长分别为2,3,4，最小角的余弦值为.答案：17在ABC中，BCa，ACb，a，b是方程x22x20的两

26、根，且2cos(AB)1，求AB的长解：ABC且2cos(AB)1，cos(C)，即cosC.又a，b是方程x22x20的两根，ab2，ab2.AB2AC2BC22AC·BC·cosCa2b22ab()a2b2ab(ab)2ab(2)2210，AB.18已知ABC的周长为1，且sin Asin Bsin C.(1)求边AB的长；(2)若ABC的面积为sin C，求角C的度数解：(1)由题意及正弦定理得ABBCAC1，BCACAB，两式相减，得AB1.(2)由ABC的面积BC·AC·sin Csin C，得BC·AC，由余弦定理得cos C，所以

27、C60°.19在ABC中，BC，AC3，sin C2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A)的值解：(1)在ABC中，由正弦定理，得ABBC2BC2.(2)在ABC中，根据余弦定理，得cos A，于是sin A.从而sin 2A2sin Acos A，cos 2Acos2 Asin2 A.所以sin(2A)sin 2Acoscos 2Asin.20在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin BsinC，确定ABC的形状解：由正弦定理，得.由2cos Asin Bsin C，有cosA.又根据余弦定理，得cos A，所以，即c2b2c2a2，所以ab.又因为(abc)(abc)3ab，所以(ab)2c23ab，所以4b2c23b2，所以bc，所以abc，因此ABC为等边三角形