版高中数学第二章函数2.1.2第1课时函数的表示方法学案新人教B版必修1

1、2. 1.2 第1课时函数的表示方法【学习目标】1. 了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法3尝试作图并从图象上获取有用的信息.问题导学知识点一列表法思考 在街头随机找 100人，请他们依次随意地写一个数字设找的人序号为x , x =1,2,3，100.第x个人写下的数字为 y,那么x与y之间是不是函数关系？能否用解析式 表示？梳理列表法：通过列出与的表来表示函数关系的方法叫做列表法.知识点二 图象法思考 要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？梳理 图象法：用“图形表示函数的方法叫做图象法.知识点三解析法思考一次函数如何表示？梳理 解析法

2、：用(或)来表示函数的方法叫解析法.函数三种表示法的优缺点:题型探究类型一解析式的求法 例1根据以下条件，求f(x)的解析式.(1) f(f(x) = 2x 1,其中 f (x)为一次函数;1 2 1f(x +彳=x +疋；2(3) f (x) + 2f ( x) = x + 2x.反思与感悟 (1)如果函数类型，可以用待定系数法. 如果f (g(x)的表达式，想求f (x)的解析式，可以设 t = g(x)，然后把f (g(x)中 每一个x都换成t的表达式.如果条件是一个关于 f ( X)、f ( X)的方程，我们可以用 x的任意性进行赋值如把每 个x换成一X，其目的是再得到一个关于 f(x

3、)、f( x)的方程，然后消元消去 f ( X) 跟踪训练1根据以下条件，求f(x)的解析式.(1) f (x)是一次函数，且满足 3f(x+ 1) f(x) = 2x+ 9;2 f(x + 1) = x + 4x+ 1;1(3)2 f(x)+ f(x) = x(xm0) 类型二图象的画法及应用命题角度1画函数图象例2试画出函数y=1 x y = x + 2x, x 2,2.的图象.反思与感悟描点法作函数图象的三个关注点 画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.(2) 图象是实线或实点，定义域外的局部有时可用虚线来衬托整个图象.(3) 要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标

4、轴的交点等.要分清这些关键点是 实心点还是空心点.跟踪训练2作出以下函数的图象并求出其值域.(1) y = 2x + 1, x 0,2;2 y = x，x 2 ,+R);命题角度2函数图象的应用例3f(x)的图象如下图，那么 f(x)的定义域为 ，值域为1 Vh曽一1寻求最优解.反思与感悟 函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质,跟踪训练3函数f (x) = x2- 4x + 3( x >0)的图象与y= m有两个交点，求实数m的取值范围.类型三列表法及函数表示法的选择例4下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.测试序号成绩姓名第1次

5、第2次第3次第4次第5次第6次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6(1)选择适宜的方法表示测试序号与成绩的关系； 根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析.反思与感悟 函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示.跟踪训练4假设函数f(x)如下表所示：当堂训练x0123f(x)32101. 函数f(x)由下表给出，那么f(f(3)等于()x1234f(x)3241A.1 B . 2 C . 3 D . 42. 如果二次函数的图象开口向上

6、且关于直线x = 1对称，且过点(0,0)，那么此二次函数的解析式可以是()2A. f (x) = x -12B. f(x) =- (x- 1) + 12C. f (x) = (x 1) + 12D. f(x) = (x 1) 13. 正方形的边长为x,它的外接圆的半径为 y，那么y关于x的解析式为(22164某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为)25.画出y= 2x - 4x 3, x 0,3的图象，并求出 y的最大值，最小值.规律与方法 1. 如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法那么f的本质与特点对应法那么就是对自变

7、量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域.主 要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法消元法.2. 如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步： 列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域， 再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等.3. 如何用函数图象常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题.合案精析问题导学知识点一思考 对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x, y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示

8、.这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系.梳理自变量对应函数值知识点二思考一图胜千言.知识点三思考 y= kx + b(k 丰 0).梳理代数式解析式题型探究例1解由题意，设f(x) = ax+ b(a0),/f (f (x) = af (x) + b= a( ax+ b) + b2=a x + ab+ b= 2x- 1,a = 2,由恒等式性质，得ab+ b=- 1,a= 2,b = 1 'J 2a=- 2, b= 1 + 寸2.所求函数解析式为f(x) = . 2x+ 1 ,2或 f(x) = . 2x + 1+ ,2. 1 2 1 解 f(x+ -) = x +

9、-2xx1 2 =(x+x) f(x) = x 2, x ( a, 2 U 2 ,+s).，2 f (x) = x 2.1 亠 1又 xm0,.°. x + _>2 或 x + _< 2,xx11-f (x)中的x与f (x+ 一)中的x + 一取值范围相同, xx2解 f(x) + 2f ( - x) = x + 2x,将 x 换成一x，得 f ( - x) + 2f (x) = x2- 2x,联立以上两式消去f( -x),2得 3f (x) = x - 6x,1 2 f (x) = 3X - 2x.跟踪训练1(1)解 由题意，设f (x) = ax + b(a0),V

10、f (x + 1) - f (x) = 2x + 9,3 a( x + 1) + 3b ax b= 2x+ 9,即 2ax+ 3a+ 2b = 2x+ 9,2a= 2,由恒等式性质，得3a+ 2b= 9,- a= 1, b= 3.所求函数解析式为f (x) = x+ 3. 解 设x+ 1 = t，那么x = t 1,2f(t) = (t - 1) + 4(t - 1) + 1,即 f(t) = t2+ 2t - 2.所求函数解析式为f (x) = x2 + 2x 2.1 1解 f(x) + 2fQ = x，将原式中的x与x互换,1 1得 f(x)+ 2f(x) = x.于是得关于f(x)的方程

11、组r 1f x+ 2f-= x,x11f -+ 2fx =-,xx P2 x解得 f(x) = 3x-gxM0)-例2解 由1 - x2>0解得函数定义域为1,1当x=±1时，y有最小值0.当x = 0时,y有最大值1.x=± 1 时，y冷.利用以上五点描点连线,即得函数y= ,'1- x2的图象如下:跟踪训练2解列表:x0121322y12345当x 0,2时，图象是直线的一局部,观察图象可知，其值域为1,5列表:x23451212y325当x 2 ,+时，图象是反比例函数y = 2的一局部，观察图象可知其值域为x(0,1列表:x21012y01038画图象，图象是抛物线 y = x2 + 2x在一2< xW2之间的局部. 由图可得函数的值域是1,8.例 3 2,4 U 5,8 4,3跟踪训练3 解 f(x) = x2 4x + 3( x > 0)图象如图,f(x)与直线y = m图象有2个不同交点，由图易知一1<mc 3.例4解(1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜.在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：I 24 Fi 6 x(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比拟稳定而且成绩优秀张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于班级