常微分方程习题及答案.[1]

1、第十二章常微分方程A、是非题1 任意微分方程都有通解。2 微分方程的通解中包含了它所有的解。3 .函数y 3sinx 4cosx是微分方程y y 0的解。4. 函数y x2 ex是微分方程y 2y y 0的解。1 25. 微分方程xy In x 0的通解是y - In x C C为任意常数。26. y siny是一阶线性微分方程。7. y x3y3 xy不是一阶线性微分方程。8. y 2y 5y 0的特征方程为r2 2r 50。9. 型1 x y2 xy2是可别离变量的微分方程。dx、填空题1. 在横线上填上方程的名称 y 3 ln xdx xdy 0 是 xy2 xdx y x2ydy 0是

2、。 xdy y lny 是。dxx xy y x2 sinx 是。y y 2y 0是。2. ysin xy x cosx的通解中应含个独立常数。3. y e2x的通解是。4. y sin2x cosx的通解是。5. xv2x2v2 x3v x4 1 是阶微分方程。6.微分方程y yy 60是阶微分方程。7. y丄所满足的微分方程是 。x8. y 2y的通解为。x9. 巴型0的通解为。y x10. 屯空 x 12，其对应的齐次方程的通解为dx x 111. 方程 xy1 x2 y 0 的通解为。12. 3 阶微分方程 y x3的通解为。三、选择题1 .微分方程xyy xy 3 y4 y 0的阶数

3、是。A.3B. 4C.5D.22 .微分方程yx2y x5 1的通解中应含的独立常数的个数为A.3B. 5C.4D.23 .以下函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解。A.y2xB .yx2C.y2xD . y x24 .微分方程y3y3的一个特解是。3323A .yx1B .yx2 C .yx C D. y C 1 x5 .函数y cosx是以下哪个微分方程的解。A .yy0B .y2y 0 C .yny 0D . y y cosx，其中G , C2为任意常数A.通解B .特解C .是方程所有的解D .上述都不对6 . y C1ex C2e x 是方程 y y 0 的7 . y y满足

4、y lx 0 2的特解是。xA . y ex 1 B . y 2ex C . y 2 e2 D . y 3 ex8 .微分方程y y sinx的一个特解具有形式。A . y* a si nxBy a cosx*C. y x asinx bcosx Dy acosx bsinx9.以下微分方程中，A. y 2y 0BC. 5y 4x 0D是二阶常系数齐次线性微分方程。y xy 3y20y 2y 1010.微分方程yy 0满足初始条件y01的特解为A.exB . ex 1C .ex 1 D .2 ex11.在以下函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是。A.y1 B . yx C. y si

5、n xD .yex12 .过点1,3且切线斜率为2x的曲线方程y y x应满足的关系是。A .y2x B . y2xC . y 2x, y 13D. y 2x , y 1313 .以下微分方程中，可别离变量的是。A.鱼dxy eB.x鱼kx dxa b y ( k, a, b 是常数)C.矽sin y xD.y xy2xy edx14 .方程y 2y 0的通解是)0A.ysin x B . y 4 e2xC . yC e2x D .xy edx15 .微分方程坐dyx0满足y |x 34的特解是。yA. x2 y225B .3x 4y CC . x2y2C D . x2y2716 .微分方程d

6、y1y0的通解是y () odxxA . C B.Cx C.-CD . x Cxx17 .微分方程yy 0的解为0A . ex B.ex Cxx.e eD .ex18 .以下函数中，为微分方程xdx ydy 0的通解是()。2 2 2A . x y C B . x y C C . Cx y 0 D . Cx y 0A.y2x C B.yxC C .y xC D.y x C20.微分方程cos ydysin xdx的通解是)0A.sin xcosy CB.cosysin xCC.cosxsin y CDcosxsin yC21.y ex的通解为y ()。A.x eB . e y4 .求微分方程

7、y y x的特解。y |x 1 2解：y2 2x2 lnx 2。5 .求微分方程y y cosx e sinx的通解。解：y e slnxx CC.ex C1x C2 D.exC1x C222.按照微分方程通解定义,ysin x的通解是)。A.sinx C1x C2Bsinx:C1C2C.sin xC1x C2Dsi nxC1 C219.微分方程2ydy dx 0的通解为0四、解答题1. 验证函数y C e3x e2xC为任意常数是方程巴 e 2x 3y的通解,dx并求出满足初始条件y|x。0的特解。2 22. 求微分方程xy 1dx y1 x dy 0的通解和特解。y Ixo 1解：Jy C

8、 , 2x2 y211 x3. 求微分方程 鱼 tan'的通解。dx x x解：sin y Cx。x6.求微分方程dyysinx的通解。dxx解:1 .ysin xxx cos xC7.求微分方程x1 y72y x门0的特解。y |xo 12解：y x33 1 212- x 138.求微分方程y2/x满足初始条件xx 10, y 1, y3的特解。解：y x3 3x 19.求微分方程y 2yy满足初始条件x0, y 1 , y2的特解。解: arcta nyx 或 y tan x 4410 .验证二元方程x2 xy y2C所确定的函数为微分方程x 2y y 2x y 的解。11 求微分

9、方程ex y exdxex y eydy 0的通解解：ex 1 ey 1 C12求y tanx secx , y |x 0 0的特解。dx解：y cosx13. 验证yr cos x , y2 sin x都是y 2y 0的解，并写出该方程的通14. 求微分方程y 2y x的通解。x解：y Cx2 x21nx15. 求微分方程y丄y ex 0满足初始条件y1 0的特解。解：yex16求微分方程dy y x 13的通解dx x 12 x 1 2 解：y x 1C217.求微分方程xdxy-dy 0满足条件1y1 x解: 2 y3x33 y2 2x518.求微分方程yy2y0的通解。解：y C1ex

10、C2e2x19.求微分方程y2y5y0的通解。解：y e x C1 cos2x C2 sin2x20.求微分方程y4y4y0的通解。y0解：yC1C2x e2x1的特解。Y21.试求y x的经过点M 0,1且在此点与直线y -1相切的积分曲线21 3 1解：y -x x 16 2B、是非题1 .可别离变量微分方程不都是全微分方程。2 .假设y1 x , y2 x都是y P x y Q x的特解，且y1 x与y2 x线性无关，那么通解可表为y x y1 x C y1 x y2 x 。3.函数y e1x e2x是微分方程y12 y 1 2y 0的解。4. 曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的

11、平方，那么曲线所满足的微分方程是y x2 CC是任意常数。15 微分方程y e2x y，满足初始条件y|x。0的特解为ey肓e2x 1。、填空题1. cosx与y2 sinx是方程y y 0的两个解，那么该方程的通解为2. 微分方程 y 2y 3y 0的通解为3. 微分方程 y 2y y 0的通解为<4 .微分方程ye2x的通解是。5 .微分方程y y'的通解是6 .微分方程dy 2xy的通解是dx三、选择题1. 微分方程y 4y 4y 0的两个线性无关解是A. e2x 与 2 e2B . e 2x 与 x e 2x C2x2xe 与x eD . e 2x 与 42x e2 .以

12、下方程中，不是全微分方程的为A. 3x2 6xy2 dx 6x2y 4y2 dyeydxx ey2y dyC. y x 2y dx x2dy 0y dxxdy3.以下函数中，哪个函数是微分方程g的解12gt4.以下函数中，是微分方程y 7y12y0的解x2 C . y3x e2xy e5.方程 1 x2 y xy0的通解是A . y C .1 x2 BC.y Tx2+ 3 Cx1 2xCxe 26.微分方程y In xdxx ln ydy 满足 y |x1 1的特解是A. In2xln2 y.In2x ln2y 1C. In 2 xln2 yln2 x ln2 y 17.微分方程1 x2dyy

13、2 dx 0的通解是A. arctan xarctan yC B .tan xtan yCC. Inx In yCDcotx cot yC8 .微分方程ysin x的通解是。A. ysinxBy sinxC.ysinx C1xC2D .y sinxC1 xC 29.方程xy y3的通解是。A. yC门3C .CcC3b . yCy -3 D . y3xxxx四、解答题1.求微分方程y 9y24x 6cos3x2si n3x的通解。解：yC1xcos3xC2 2x2x sin x3x2求微分方程y 7y 6y sinx的通解。1解：y C1eQx C2ex7cosx 5si nx743.求微分方

14、程3x2 2xy y2 dx x2 2xy dy 0的通解。解：y2 xy x2 CxC、是非题1.只要给出n阶线性微分方程的n个特解，就能写出其通解。2 .二阶线性齐次方程 y P x y Q x y 0的一个非零解y，即可 求出它的通解。二、填空题1. 微分方程y 4y 5y 0的通解是。2. y 1, y x , y x2某二阶非齐次线性微分方程的三个解，那么该方程的通解为。3. 微分方程 y 2y 2y e 的通解为。、选择题1 .微分方程y yA. arctanx C B.1 arctan xx1C . arctanxxC D . arctanx2.微分方程y y1的通解是1一r的通

15、解为x x 1A . y C ex B .3.ly03的解是A . y 3 1 -B.y 31x微分方程dy 丫tan-的通解为dx xxA . sin - CxB .y 1 sinxx Cx微分方程yP x5y x 14.C .5.o()x Cx sin yCxx si n y1Cx的一个特解为72，那么此微分方程的通解是7 一 21X2 - 32cXXZ1121cX2T X c7 -2TX2 - 32TX7-2 7-26.微分方程y1的一个特解应具有形式式中a , b为常数A . aexB . axexC . aex bx D .axex bx四、解答题1.设y ex是微分方程xy pxy

16、 x的一个解，求此微分方程满足条件 y|xln2 0的特解。解：代入y ex到方程xypxy x中，得p x xe x x原方程为xy xex x y xy ex 1 C ee x , yex 1 y 11 X In 2 , y 0 /. C e 2。2 .y1 xex e2x, y2 xex e x, y3 xex e2x e x是某二阶线性非齐次 微分方程的三个解，求此微分方程。解：y1 y3 e x， y3 y2 e2x 2e x均是齐次方程的解且线性无关。Gex C2 e2x 2e x是齐次方程的通解。当G 2，C? 1时，齐次方程的 特解为e2xe x、e2x都是齐次方程的解且线性无

17、关。 Gex C2e2x是齐次方程的通解。由此特征方程之根为-1，2,故特征方程r 1 得全微分方程：ex ex x - ydx ex x 1 dy 0 r 20。相应的齐次方程为y y 2y 0故所求的二阶非齐方程为yy 2y f xy1是非齐次方程的特解代入上式得f x1 2x ex所以y y 2y 1 2x ex为所求的微分方程。13 .f 0 -，试确定f x，使ex f x ydx f x dy 0为全微分方程，并 求此全微分方程的通解。解：Pxe f:xy，Qfx，由QP得xyfxx efx，即fxf xx e fxedxxe edxCx e xC f01C) * *f xx e1

18、 x -22解得u x, yx0dx0故此全微分方程的通解为ex x 1 y C第十二章微分方程(A)、是非题1.X； 2.X； 3. V; 4.x； 5.V; 6.X； 7.x； 8.V; 9."、填空题1.在横线上填上方程的名称可别离变量微分方程；可别离变量微分方程；齐次方程；2. 3；3.1 e2xx C 2 ；4 .1sin 2xcosxC1x C25. 3;446. 2；7.y2y0 ； 8.y Cx2 ；9 . x2 2yC ；10. yCx12 ；11 . yx2Cxe2 ；12. y1x6 GxC2XC3 o120选择题1. D2 .A；3. E3; 4 . B；5.

19、 C； 6.A; 7.B； 8.C; 9. A;10. A; 11.12. C；13.B；14.C； 15. /； 16. B;17. B；18. B；19. A;20.3; 21.一阶线性微分方程；二阶常系数齐次线性微分方程。C；C；22. A.四、解答题1. 验证函数y C e3x e2xC为任意常数是方程鱼 e 2x 3y的通解,dx并求出满足初始条件y|xo的特解。2 22. 求微分方程xy 1dx y1 x dy 0的通解和特解。y Ixo 1解：C , 2x2 y21o1 x3. 求微分方程 虫 'tan'的通解 dx x x解：sin 丫 Cx。xx y4 求微分

20、方程y勺x的特解。y |x i 2解：y2 2x2 lnx 2 。5 .求微分方程y y cosx e sinx的通解解：y e slnx x C6.求微分方程3 sinx的通解dx x1解：ysinx xcosx C。x7.求微分方程7x 1 y 2y x 1至0的特解。 ylx。1解：y - x31 2x 1。38.求微分方程y 孕冬满足初始条件x 0 , y 1 , y 3的特解。x 1解：y x3 3x 1。9 .求微分方程y 2yy满足初始条件x 0 , y 1 , y 2的特解。解: arctany x 或 y4tan x10 .验证二元方程x2xy y2 C所确定的函数为微分方程

21、x 2y y 2x y 的解。解：略。11. 求微分方程ex y ex dx ex y ey dy 0的通解解：ex 1 ey 1 C 。12. 求 dy y tanx secx , y |x 00 的特解。dx解: y 。cosx13. 验证y1 cosx , y2 sin x都是y 2y 0的解，并写出该方程的通解：略14.求微分方程解:y Cx2 x15.求微分方程解:x e yexx16.求微分方程解:y x 1 2y0xdydx2y 也丄的通解。2 In x o0满足初始条件y10的特解。2x1 221yx 1 3的通解。17.求微分方程xdxy dy 0满足条件1y1 x解: 2

22、y3x33 y2 2x5。18.求微分方程yy2y 0的通解。解：y C1exC2e2x。19.求微分方程y2y5y 0的通解。解：y e x C1 cos2x C2sin2x。20.求微分方程y4y4y 0的通解。oyo解:C2x e 2x。yC11的特解。21.试求yx的经过点M 0,1且在此点与直线y2 1相切的积分曲线。解:2x 1。(B)、是非题1.x；2.V;3.V;4.x； 5.Xo、填空题1 2x4. y -e8C1x2C2xC3；5. yGexC2 6. yex21. C; 2. C;3.C; 4. C;5.D; 6. A; 7.A; 8. C; 9解答题1.求微分方程y9y24x6cos3x 2sin3x 的通解。解:y G xcos3xC22x2x sin x3x。2.求微分方程y7y6ysinx的通解。解:y C1e6xC2e原方程为xy17 cos x745sinx。3.求微分方程3x2 2xy y2dxx2 2xy dy0的通解。解:y2 xy x2C。xA.四、(C)是非题选择题1.x；填空题2.V;1. y2