比较二次根式大小的巧妙方法

1、.比较二次根式大小的巧妙方法二次根式是初中数学中的根底知识，也是初中数学学习中的重点内容;而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种根本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差、“做商、“有理化、“取倒数、“平方等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最适宜?解答这类题目时缺少方法与对策，以致于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。一、挪动因式法此法好学，适

2、用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。例1：比较的大小。解：>∴>二、运用平方法两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的根据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大;两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。例2：比较与的大小。解：，>0，>0∴<三、分母有理化法此法是先将各自的分母有理化，再进展比较。例3：比较与的大小。解：∴>四、分子有理化法此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。例4：比较与的大小解：&g

3、t;∴>五、求差或求商法求差法的根本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当<0时，<当时，;当>0时，>来比较与的大小。求商法的根本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“同号：当>1时，>=1时，;<1时，<。异号：正数大于负数 来比较与的大小。例5：比较的大小。解：<∴<例6：比较的大小。解：>1∴>六、求倒数法先求两数的倒数

4、，而后再进展比较。例7：比较的大小。解：>∴<七、运用媒介法此法是借助中间量定量或变量巧妙转换到达直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。例8：，试比较的大小。解：设，那么，<，∴<，即<八、设特定值法假如要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在答应的条件下设定特殊值来进展比较。例9：比较与的大小。解：设，那么：=1，=<1，∴>九、部分缩放法假如要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取部分缩放法，以

5、确定它们的取值范围，从而到达比较大小的目的。例10：比较的大小。解：设，7<<8，即7<<8，8<<9，即8<<9∴<，即<例11：比较与的大小。解：>∴>十、“结论推理法通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“>>>0，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小结论证明见文末。例12：比较1与的大小。解：，由>>

6、>0可知：>即>又>∴>，即1>总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的根本性质和运算法那么上进展，要根据问题的特征，二次根式的构造特点，多角度地探究考虑，做到详细问题详细分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能到达纯熟而又快捷，运用自如的程度。附：“>>>0的证明。证明：，>&

7、amp;there4;>>>0【典题新练】：1、比较与的大小;2、比较与的大小;3、比较与的大小;4、比较与的大小;5、比较与的大小;6、比较与的大小其中为正整数7、设，试比较它们的大小;8、比较与的大小;9、比较与的大小;10、 比较与的大小;11、比较与的大小;12、比较的大小;13、比较与的大小;14、 比较与的大小;15、假设为正整数，试比较的大小;16、比较的大小;17、比较与的大小。【典题新练参考答案】：1、提示：，∴<2、提示：平方后再进展比较。∴>3、提示：可利用&

8、amp;gt;>>0。>，即>4、提示：分母有理化后再进展比较。，<，∴<5、提示：分子有理化后再进展比较。>，∴<，即<6、提示：，其中为正整数， ∴>故<7、提示：设，那么：，<∴<，∴<8、平方后再进展比较。又>，∴>&there

9、4;<，∴<9、提示：2<<3，7<<8，∴<5<∴<10、提示：分子有理化后再进展比较。因为，而>所以<，故<11、提示：分别求其倒数后，再进展比较。>，∴<12、提示：，而7<<8，∴的整数部分为7 。同样可得的整数部分为8，∴&l

10、t;13、提示：>∴>14、提示：平方后再比较大小。∴<15、提示：由偶次根式的定义得，∴<2020，∴<0，∴>0，<0，∴>16、提示：由，设>，那么>4，两边平方得：>16，∴>4，这与<=4相矛盾，宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的老师称谓皆称之为“教谕。

11、至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习。到清末，学堂兴起，各科老师仍沿用“教习一称。其实“教谕在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者那么谓“教授和“学正。“教授“学正和“教谕的副手一律称“训导。于民间，特别是汉代以后，对于在“校或“学中传授经学者也称为“经师。在一些特定的讲学场合，比方书院、皇室，也称老师为“院长、西席、讲席等。∴假设不成立，故<。其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记之后会“活用。不记住那些根底知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正进步学生的写作程度,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从根底知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的成效。17、提示：可在方格纸或坐标纸上作折线图。，例如如以下图：，;。由图可知：>