工科微积分下学期第九章级数习题课

1、级数习题课一、数项级数¥11111å=1+L+L（1）p-级数p2 p3p4 pn pnn=1当p>1时收敛，当p1时发散。¥å aqn = a + aq + aq 2 + L+ aqn + L（2）等比级数n=0当| q |< 1收敛,且其和为 a,当| q |³ 1 等比级数发散1- q¥1 .正项级数åun³ 0 。, unn=1)比较判别法¥¥设åun , åvn是两个正项级数,且存在自然数N,n=1n=1使当 n>N 时有 unkvn(k>0

2、为常数) 成立, 则¥¥(1) 若强级数 åvnn=1¥收敛, 则弱级数 åunn=1¥也收敛 ;(2) 若弱级数 åunn=1发散, 则强级数 åvnn=1也发散 。）比较判别法的极限形式¥¥unåå= l,设两正项级数ulimn®¥,v满足则有nnvnn=1n=1两个级数同时收敛或发散 ;(1) 当 0 < l < 时,¥¥(2) 当 l = 0 且åvn 收敛时,n=1åun 也收敛;n=1

3、5;¥ån=1ån=1u也发散。v 发散时,(3) 当 l =且nn) 正项级数比值判别法 ( Dalembert 判别法)lim un+1 = r ,¥åu设为正项级数,且则nun;n®¥n=1当 r < 1 时,当 r > 1 或(1)级数收敛= ¥ 时,(2)级数发散 。¥)根值判别法 ( Cauchy判别法) 设 åun为正项级数,n=1= r ,且 limunn则n®¥(2) 当 r > 1时,级数发散。(1) 当 r < 1时,级数收敛;设

4、非负函数f (x)在 0, +)上单调减少,)判别法¥+¥则正项级数 å f (n) 与反常f ( x)dx 的敛散性相同。ò1n=12.交错级数散敛性的判别法设 un>0, n=1, 2, , 则各项符号正负相间的级数¥å(-1)n-1u称为交错级数。nn=1(Leibnitz判别法) 若交错级数满足条件:(n = 1, 2 , L) ;2） lim un = 0 ,³ un+11)unn®¥¥则级数 å(-1)n-1u收敛,且其和 0Su,余和满足1nn=1£ un

5、+1 。rn二、幂级数¥¥å aå a( x - x)nxn,nn0n=0n=01）收敛半径，收敛域：¥lim an+1其中an , an+1是幂级数 å= r ,xna如果的nan®¥n=0n相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径为：1 ,ìr ¹ 0 ,r = 0 ,r = +¥ .ïanrR = lim。R =或直接计算í+ ¥ ,0 ,an®¥ïn+1î开区间(-R , R)叫做幂级数的收敛区间。由幂级数在x=

6、±R处的收敛性质就可以决定它的收敛域是如下四个区间之一：-RR 、-RRR) 、(-R(-RR) 、,2）初等函数的麦克劳林展开式：¥1L=+ å xn ,x| <（1）=+|111- xn=0¥1-|,x| <L=å+( 1-)n xn1（2）=-n11+ xn=0常常利用等比级数将函数f(x)展为幂级数（间接法）。(-1)n(-1)n¥¥sin x = ån=0cos x = åx2n+1 ,x2n ,(2n +1)！(2n)！n=0¥xnåx Î(-

7、5; , ¥)e=x,n!n=0(-1)n-1¥x Î(-1, 1x Î-1, 1)ln (1+ x) = åxn,nn=1¥xnln (1- x ) = -å,nn=1(-1)n¥x Î-1, 1arctan x = åx2n+1 ,2n +1n=0m (m -1)L(m - n +1) xnn!¥= ån=0(1+ x)mx Î(-1,1)三、Fourier级数设f (x)是周期为 2p 的周期函数, 且能展开成三角级数,¥f ( x) = a0+ &

8、#229;(acos nx + b sin nx)nn2n=1右端级数可逐项,则有= 1p-p(n = 0 , 1, L)òaf (x) cos nx d xìpníî1pf ( x)sin nx d x(n = 1, 2 , L)= p ò-pbn收敛定理(展开定理)设 f (x) 是周期为2p的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有¥a0( asin nx )å+cos nx

9、 + bnn2n=1f (x) ,x 为连续点ì=í f ( x - 0) + f ( x + 0)î,x 为间断点2其中an, bn为 f (x) 的傅里叶系数 。作图：作出-, 上以及左、右各半区间上的图像计算Fourier级数的系数= 1ppò(n = 0, 1, L)(n = 1, 2, L)af (x) cos nx d xnp-= 1ppòbf (x) sin nx d xnp-Fourier级数的和函数S(x)为：f ( x) ,x 为连续点ì¥a + å( acos nx + b sin nx )

10、= í f ( x - 0) + f ( x + 0)02nn,îx 为间断点x 为连续点n=12¥ f ( x) = a0 + å( a cos nx + b sin nx )nn2n=1定义域为(-, +)除去第一类间断点。展成Fourier级数的基本步骤周期为 2p 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为正弦级数,它的傅里叶系数为(n = 0 , 1 , 2 , L)an = 0= 2pf ( x)sin nx d x(n = 1 , 2 , 3 ,L)òbnp0周期为2p的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系

11、数为= 2pf ( x)cos nx d x(n = 0 , 1 , 2 ,L)(n = 0 , 1 , 2 ,L)òanp0bn = 0设周期为2l 的周期函数 f (x)在区间-l, l上满足收敛性定理条件, 则它的傅里叶展开式为cos np x + b sin np x ö¥+ åæ af ( x) = a0çn÷n2n=1 èllø(在 f (x) 的连续点处)1lf ( x)cos np x d xl(n = 0, 1, 2 ,L )(n = 1, 2 ,L )a=ònl-lf ( x

12、)sin np x d x其中= 1lòbnll-l1é f ( x0 - 0) + f ( x0+ 0)ùf (x)在的间断点 x 处, 傅里叶级数收敛于2 ëû01éë f (-l + 0) + f (l - 0)ùû2f (x)在 x=±l处, 傅里叶级数收敛于如果 f (x) 为奇函数, 则有sin np x¥f ( x) = åb(在 f (x) 的连续点处)nln=1f ( x)sin np x d x= 2l(n = 1 , 2 , L)òb其中nll

13、0如果 f (x) 为偶函数, 则有¥np xa0+ åf (x) =(在 f (x) 的连续点处)an cos2ln=1f ( x)cos np x d x2ll(n = 0, 1, 2,L)òa=其中nl0在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数收敛于无论哪种情况 ,1 éë f ( x - 0) + f ( x + 0)ùû21.问下面的结论是否正确, 若正确, 给出证明; 若不正确, 给出反例。(1) 若两级数¥¥¥ååå(u)222u,v+ v收敛，

14、则收敛。nnnnn=1n=1n=1¥¥¥(2) 若 å uåå× v22u,v收敛，则均收敛。nnnnn=1n=1n=1¥u³ 1 。(3) 若 åu(u> 0)发散，则有nnnnn=1¥¥(4) 若级数 åvn 收敛 , 且unvn , 则级数 åun 收敛 。n=1n=1解 (1) 结论成立。(u)2+ v= u2 + v2 + 2u v因为(u而nnnnnn)2£ u2 + v22u v+ v£ 2u2 + 2v2nnnnn

15、nnn¥å(u)2+ v为正项级数,则由比较判别法和已知条件，由于nn知其收敛。n=1¥¥¥(2) 若å uåå× v22u ,v收敛， 则均收敛。nnnnn=1n=1n=1(2) 结论不一定成立。 例如, 取un=0,则对于任意的vn满足条件,则结论显然不一定成立。¥u³ 1 。(3) 若 åu(u> 0)发散，则有nnnnn=1= 1 -1> 0 ,(3) 结论不一定成立。 例如, 取 u级数nn2n¥å¥¥=å

16、; 1 -åu< 1 。1u,即nnn2nnn=1n=1n=1为发散级数与收敛级数和，故必发散。满足条件但结论不成立。¥¥(4) 若级数 åvn 收敛 , 且unvn , 则级数 åun 收敛 。n=1n=1(4) 结论不一定成立。要注意的是,只有正项级数,比较判别法才成立,而此题并未说明是正项级数,例取vn=0, un=-1满足条件。¥åun2.已知级数收敛,则下面正确的是（）n=1¥¥uåå()2nn×(B)u-1n(A)必收敛必收敛×nn=1n=1

17、65;¥(D) å(u2n-1- un ) 必收敛(C) å(un+1+ un ) 必收敛n=1n=1(-1)n=(A) 取 un,¥ån=1则由莱布尼兹判别法可知,交错级数解ln n(-1)n¥1¥ån=1u= ån=1(-1)n n收敛,而正项级数发散。n ln nnln n(-1)n=(B) 取 un,则由莱布尼兹判别法可知,交错级数n(-1)n¥¥¥1nån=1ån=1u= å2收敛,而正项级数发散。nnn=1¥¥&#

18、215; (D) å(u2n-1n=1- un ) 必收敛(C) å(un+1n=1+ un ) 必收敛(-1)n+1=un,则由莱布尼兹判别法可知,交错级数(D) 取n(-1)n+1¥ån=1收敛,而级数n¥å(u2n-1- un )n=1= (1-1) + æ 1 + 1 ö + æ 1 - 1 ö + æ 1 + 1 ö +L+ æ1+ 1 ö +Lç 32 ÷ç 53 ÷ç 74 ÷

19、31; 2n -1n ÷èøèøèøèø¥1n= å发散。n=2¥¥¥å(un+1+ un ) = åun+åun+1(C)n=1n=1n=1收敛级数+收敛级数必收敛。¥nnnn考虑级数 ån=0由比值判别法，得lim3.计算(n!)2n®¥ (n!)2(n +1)n+1(n +1)!)2(n +1)n+1(n!)2(n +1)n-1= lim= 0= limlimn®

20、5; (n +1)!)2nnnnn®¥nn(n!)2n®¥nn¥nn= 0lim un =故级数ån=0lim收敛。从而n®¥ (n!)2(n!)2n®¥n tan psin p ,å n!+1 (2nååå)4.的收敛性。2n级数,a > 2 ,10n2n2nann +1= lim n +1 = +¥由于 lim 10n+1所以 å n!比值解 (1)发散。n1010nn®¥n®¥10n+

21、12n2a2n+ 1< 1 (a > 2)å=由于lim收敛。根值所以n(2)nnaan®¥n tan pp2nnp2n所以å n tan与 å2n= 1敛散性相同lim(3)由于比较npn®¥2n= 1 < 1np2nnpn tan på 2nå而 limn收敛, 故级数收敛。2n®¥2nsin pp2n× på 2n= åp发散。比较(n),(4) 由于而2n2nsin på2n所以发散。2n( )f xxæ

22、46;1å= 0 ,5.设f(x), 且lim二阶连续可微ç÷ 收敛。证明fè n øx®0 f ( x) x= 0 能推出 lim f ( x) = f (0) = 0 。lim解 由x®0x®0于是又有lim f ( x) =lim f ( x) - f (0) =f ¢(0) = 0xxx®0x®0因此利用麦克劳林公式有f æ 1 ö =f ¢¢(0) 1 + o æ 1 ö ,å f æ 1 

23、46; =æ f ¢¢(0) 1 + o æ 1 ööåç n ÷ç n ÷ç÷çç÷÷n22èøèøènø22nè nøøèf ¢¢(0) 1 + o æ 1 öç n2 ÷ n21èø ®åf ¢¢(0)

24、,æöå1, 故ç÷ 绝对收敛。n收敛f1n2èøn2¥6. 已知 ånax在x=x 处条件收敛 , 问该级数收敛半径是多少 ?n0n=0答:根据Abel 定理可知, 级数x <x0收敛 ,x >x0时发散。 故收敛半径为 R=x0。2 + (-1)n¥7. 在幂级数 åxn中,2nn=03 ,21 ,6n 为奇数2 + (-1)n+112a×= n+1an2 + (-1)nn 为偶数能否确定它的收敛半径不存在 ?xx2 + (-1)nlimn®

25、5;u(x)=n= lim×答: 不能。n因为n22n®¥当x<2时级数收敛 ,【注】 比值判别法成立x>2时级数发散 ,所以 R=2。根值判别法成立。+ (-1)n2n¥å( x -1)n8.求幂级数的收敛域。nan+1n=0limalim均不存在, 故应该用n分析由于和nan®¥n®¥n其他方法, 即+ (-1)n(-1)n¥å2n2n¥å¥å( x -1) +n()( x -1)nnx -12n=nnnn=0n=0n=0解 由于

26、 lim n= 1所以 R = 1 ,2n+121n®¥2¥n +1¥2nn2nn 1nå(-1)n=01212时， ån=0( x -1)n=收敛;而当 x = 1-=¥¥1n13ån=0å( x -1)n=当 x = 1+=时，22发散,nn=0¥ån=02né 13 ö()nx -1的收敛域为÷ø,。ên22ë1lim n= lim n +1 = 1所以R =1。由于21nn®¥n®

27、;¥n +1(-1)n¥¥1n( x -1)n = ån=0ån=0发散,而当x=1-1=0时,n(-1)n¥¥1n( x -1)n = å(-1)n=0ån=0n收敛;而当x=1+1=2时,n(-1)n¥( x -1)n 的收敛域为 (0, 2。故 ån=0n+ (-1)n2né 13 öé 1ë 23 ö¥ån=0( x -1)n 的收敛域为0 , 2 =I,÷。总之÷êê

28、ë 22 ø2 øn2f分别展成x的幂级数和 x-19.将的幂级数解：fx - 3 A x +1 B6 x -2(x) =+)x (- 3)x+ 1x -3( )( )-+ A x3 Bx1=(x)+ 1x (- 3)x(3 -)+ B(+1x) =6 -Ax 2令x=-1, 得A=2, 令x=3, 得B=4。4则fx - 3¥1L+= å xn ,|n=0x| <（1）=+111- x1-¥, x| <( 1-)n x|nå+n=01=-n=1L（2） 1+ x2¥2 å(-1)n1=| x

29、 |< 1xn ,x +14n=0æ x ön¥43x4åç= -3 x <|,< 1= -|÷x3n=0 è 3 øx - 33 1-3¥énê2 (-1)ùnú x ,|- 4 f (x) = åx| <1所以3n+1 ûn=0 ë222 + ( x -1)1=x -1 < 11+ x -1x +1221 ön¥æå( x -1)n=-| x -1|< 2&

30、#231;÷n=0 è2ø144( x -1) - 2= -2=1- x -1x - 32n= å(-2)æ x -1 ö¥| x - 1 |< 2,ç÷è2øn=0éæ 1 ù(1 ön¥= å)f (x)nêç-ú x - 1| x - 1 |< 2÷2n -1 úûn =0 êëè2 ø¥x2nn)&

31、#165;110.求级数2 + å 2(ån=1的和。,的和函数进一步计算出级数()2n !n=11R = lim 2( n) ! = lim (n +1) = +¥解 首先1n®¥®n¥2( (n + 1)!收敛域为(-,+)。¥x2nx6å()Sx= 2 += 2 +其次,设4!6 !L()2n !2! n=17xS¢( x) =x +L3!5 !7 !5xS¢¢( x) = 1+L= -1+ S ( x)2! 4! 6 !从而，和函数S(x)满足二阶常系数非齐次微分方程

32、S¢¢( x) - S ( x) = -1S¢(0) = 0 , S (0) = 2S¢¢( x) - S ( x) = -1S¢(0) = 0 , S (0) = 2r 2-1 = 0 ,其特征根为: r=±1。特征方程为:相应的齐次微分方程的通解为:S ( x) =c e- x+ c e-x ,12可得出c = c = 1 。由 S¢(0) = 0 , S (0) = 2122S* ( x) = 1, 又非齐次微分方程的一个特解为:所以有e- x + e- xe- x+ e- x¥x2nån

33、=1S ( x) =2 +=+1, +1, 即()2n !2S (1) =2e-1+ e+1, 从而特别地2= e-1+ e -¥ån=11(2n) !( ) -=S 121。2æ anö¥bn11.求级数 åç+n2 xnnx÷的收敛域(a, b>0)。nn=0 èø分析显然级数可视为¥bnæ anö¥åan¥åbn+ å+÷ =xnxnç2nn xn2 xnnnn=1 è

34、48;n=1n=11= yx而后一级数对于x而言并不是幂级数,而言,而对于则为¥1 X n ,nån=1若取X=ax,则第一个级数即为幂级数幂级数。若取bx¥1= Y , 则第二个级数即为幂级数 åY n。n2n=1¥1 X nnå的收敛域为X=ax-1, 1),即幂级数解 易得n=1¥ån=1ané11 önxx Î ê-ë,÷。的收敛域为naa ø¥å= b Î-1 Y n¥ån=1bn的收敛

35、域为 Y1, 1 ,即级数n2xn2 xnn=1æùé 1 , + ¥ ö。1x Î-¥, -U的收敛域为ç÷b úê bèûëøæ anö¥bnåç+n2 xnnx÷的收敛域(a, b>0)为：下面讨论级数nn=0 èøé1 ùé 11 ö1ëê- a , - b úû U,。&#

36、247;当a<b时,êëbaø1a当a=b时, x = -当a>b时, 空集。;-1 < x £ 00 < x £ 1ìx ,( x) = í12.设f(x)是周期为2的周期函数 fî 1+ x2 ,¥a0å( acos nx + b sin nx ) ,+且f(x)的Fourier展开式为则其中的nn2n=11¥a0系数a =+ å(an cos n + bn sin n ) = 2n=1 ;0。2解 因周期为2, 所以2l=2, 得l=1。561213+ x2 )=d x=+11f ( x)d xò-+1a =0-1012 + (-1)2() ()¥a0- 0 + f 12+ 0f 1ån=