北京市西城区届高三上学期期末考试数学理试题-Word版含答案

1、北京市西城区2022 2022学年度第一学期期末试卷高三数学理科第I卷选择题共40分、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 设集合A x|0 x2 , B x|x| <1，那么集合 APlBA(0,1)B(0,1 C(1,2)D1,2)2 .复数z满足z=-,那么z的虚部为1iA1Bi3.在 ABC中，角 A, B,C所对的边分别为a那么c A4B、154 执行如以下图的程序框图，输出的S值为AD1C1Dib, c假设 a 3 , b12 , cos(A B)3C3D17_结束5.圆C :(x I 1)2 I (y 1)2 -1与x

2、轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M,那么过点M的圆C的切线方程是Ay 一 x I 22Cy x 2 2Dy X I 126假设曲线ax2 by2 1为焦点在X轴上的椭圆，那么实数 a, b满足Aa2 b2D0 b a7 .定义域为R的函数f (x)满足f(x 1)2f (x)，且当 x (0,1时，f (x)x2 x，那么当 x 2, 1C0 a b时，f (x)的最小值为A116D08.如图，正方体ABCDABC1D1的棱长为2 3，动点P在对角线BB上，过点P作垂直于BB的平面，记这样得到的截面多边形含三角形的周长为 y,设BP x.那么当x 1,5时，函数yf (x)的值域

3、为A2 ,6,6、一6B2.6,18C36,18D3、6,6 .6第 n卷非选择题共110分、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30 分.9.在平面直角坐标系xOy中，点A(1,3) , B( 2,k)，假设向量 OA AB，那么实数k10 假设等差数列an满足a11,a4a625 ,那么公差da2 a4 a6a?。侧(左)视图实习单位中恰有1个相同的选法种数是用数字作答13.如图，B,C为圆0上的两个点,P为CB延长线上一点,PA为圆0的切线，A为切点假设PA 2 , BC 3，那么PBACABP11 一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧左视图如以下图,那么此三棱柱正主视图的面积为 12.甲

4、、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，那么两人所选的y>0,y<0,所表示的平面区域为D .在映射2y < 2x14 .在平面直角坐标系 xOy中，记不等式组x2xT : U % y,的作用下，区域 D内的点(x, y)对应的象为点(u,v).v x y1在映射T的作用下，点(2,0)的原象是 ;2由点(u,v)所形成的平面区域的面积为 .三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.15.本小题总分值13分函数f (x) J3cos x , g(x) sin( x n)(0)，且g(x)的最小正周期为 n3I假设f( ),

5、 n, n，求的值；2n求函数y f(x) g(x)的单调增区间.16.本小题总分值13分以下茎叶图记录了甲、 乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以I假设甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求n求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；a表示.a的值；川当a 2时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为 X，求随机变量 X的分布列和数学期望.甲组82 2乙组890117.本小题总分值14分如图，在多面体 ABCDE冲，底面ABCD是边长为2的菱形， BAD 60 ,四边形BDEF是矩形，平面

6、BDEF丄平面 ABCD, BF=3, H是CF的中点.I求证：AC丄平面BDEF;n求直线 DH与平面BDEF所成角的正弦值;川求二面角 H BD C的大小.18.本小题总分值13分函数f(x) (x a)ex，其中e是自然对数的底数，a R .I求函数f (x)的单调区间；n当a 1时，试确定函数g(x) f (x a) x2的零点个数，并说明理由19.本小题总分值14分代B是抛物线 W:y x2上的两个点，点 A的坐标为1,1，直线AB的斜率为k,O为坐标原点.I假设抛物线 W的焦点在直线 AB的下方，求k的取值范围；设C为W上一点，且AB AC，过B,C两点分别作 W的切线，记两切线的

7、交点为D，求0D的最小值20.本小题总分值13分设无穷等比数列an的公比为q,且an 0n N*,表示不超过实数a.的最大整数如2.5 2丨，记bn an，数列佝的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为人1I假设 C1 = 4, q，求 Tn ；22 n假设对于任意不超过 2022的正整数n,都有一2 n 1,证明：一2022 q 1.3川证明：Sn=Tn n =1,2,3，丨的充分必要条件为 印厂N, qN'.北京市西城区2022 2022学年度第一学期期末高三数学理科参考答案及评分标准、选择题:本大题共8小题,每题5 分. 共40分.1.B2.C3. D4. B5.A6.C7. A8

8、. D、填空题:本大题共6小题,每题5 分. 共30分.9.410.155211.2 312.2413.1214.(1,1)n注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分15.本小题总分值13分I解：因为gxsin(n30的最小正周期为冗，解得f()，得 3 cos 2cos2所以因为n,n ,所以7 n n n 7 n T, s,8,T.解：函数y f(x) g(x) .3 cos2x sin(2x n).3cos2x sin 2xcos- cos2xsin 31 3sin 2x cos2x210sin(2x16

9、.I2k n解得kn所以函数本小题总分值玉x< kn12解：依题意,f (x)13分小n2k n27C12g(x)的单调增区间为kn5 n ,k127tZ).111213(88 9292)-90391(90 a),解得a 1.解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩为事件依题意a 0,1,2,9，共有10种可能.由I可知，当a 1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P(A) 10川解:当a 2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3 39种，它们是：(88,90),(88,91) , (88,92) , (92,90) , (

10、92,91) , (92,92),(92,90),(92,91),那么这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0,1,2,3,4 .102因此 P(X 0), P(X 1)92 19 'P(x 2) 3 'P(x3)19 P(x4)11所以随机变量 X的分布列为:X01234P221119939912(92,92),17.本小题总分值14分I证明：因为四边形ABCD是菱形,132211所以X的数学期望E(X) 0 - 1 2 2 13丄49939所以 AC BD .因为平面BDEF平面ABCD，且四边形BDEF是矩形,所以ED 平面ABCD ,又因为AC 平面ABCD ,所以

11、ED AC . 3分因为 EDBD D ,所以 AC 平面BDEF . 4分解：设AC门BD O，取EF的中点N，连接ON ,因为四边形BDEF是矩形，O, N分别为BD,EF的中点，所以 ON/ED，又因为 ED 平面ABCD，所以 ON 平面ABCD，由AC BD，得OB,OC,ON两两垂直.所以以O为原点，OB,OC,ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系.5分因为底面ABCD是边长为2的菱形,所以A(0,.3,0)，B(1,0,0)，D(F(1,0,3)，c(0, 3。)，H(2,|)因为AC 平面 BDEF，所以平面BDEF的法向量AC (0,2. 3,0).设直

12、线DH与平面BDEF所成角为 ，由DH/33 3、(,)，2 2 21,0,0)，E( 1,0,3)，6分7分BAD 60 BF得sin|cos DH , AC |DH ilACDH AC I所以直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为3330 2 3 2 2 221 2七277设平面BDH的法向量为n ，乙),所以nBH 0,nDB 0,分即.3y 3z0,2x10,令Z11得 n (0,3,1)11由ED 平面ABCD，得平面BCD的法向量为ED (0,0,3),贝y cos n ,EDn ED 0 0 (、3) 0 nlED1 ( 3)13由图可知二面角BD C为锐角,所以二面角HBDC的

13、大小为60 .14分18. 本小题总分值13分I解：因为 f(x) (x a)ex, x R ,所以 f (x) (x a 1)ex. 2分令 f (x)0,得 x a 1 . 3分当x变化时，f (x)和f (x)的变化情况如下:x(,a 1)a 1(a 1,)f (x)0f(x)/ 5分故f(x)的单调减区间为(,a 1)；单调增区间为(a 1,) 6n解：结论：函数g(x)有且仅有一个零点.分理由如下：由 g(x) f (x a) x2 0，得方程 xex a x2，显然x 0为此方程的一个实数解.所以x 0是函数g (x)的一个零点.分当x 0时，方程可化简为ex a x .设函数 F

14、(x) ex a x，那么 F (x) ex a 1，令 F (x)0 ,得 x a当x变化时，F (x)和F (x)的变化情况如下:x(,a)a(a,)F (x)0F(x)/即F(x)的单调增区间为(a,)；单调减区间为(，a) 所以F(x)的最小值F(x)min F(a) 1 a.分因为a 1,所以 F(x)minF(a) 1 a 0,所以对于任意x R , F(x) 0,因此方程ex a x无实数解.所以当x 0时，函数g(x)不存在零点综上，函数g (x)有且仅有一个零点分19. 本小题总分值14分2 1I解：抛物线y x的焦点为(0,-).4分由题意，得直线 AB的方程为y 1 k(

15、x 1),分令x 0，得y 1 k,即直线AB与y轴相交于点(0,1 k).分因为抛物线W的焦点在直线AB的下方，1所以1k1,42 解得k -.4分n解：由题意，设 B(x1,x), C(x2,x|), D(x3,y3),、 y 1 k(x 1),2联立方程2消去y，得x kx k 1 0 ,y x ,由韦达定理，得1为 k,所以x1 k 1.分、 1 1 同理，得AC的方程为y 1 (x 1) , x21 .kk分对函数y x2求导，得y 2x ,所以抛物线y x2在点B处的切线斜率为2x ,所以切线BD的方程为y X： 2xj(x x1),即y 2XjX x1.同理，抛物线 y x2在点

16、C处的切线CD的方程为y 2x2x xf 12),1 ,y3X1X2k,kk112),k).kk11联立两条切线的方程丿y解得X37 l(k2 21所以点D的坐标为(-(k2分c22x<|X x1 ,22x2x x2,因此点D在定直线2xy 20 上.因为点0到直线2x y 20的距离d所以0D，当且仅当点5D(125，得k1 265|2 0 0 2|汴自时等号成立.验证知符合题意13所以当k50D有最小值142.5520. 本小题总分值13分1I解：由等比数列aJ的a1 4 , q=-,得 a 4, a22,爲 1,且当 n3 时，0"二&二1.所以 b| 4, p

17、2, R 1，且当 n.：；3时，虬aj0. 2分4,n 1,即 Tn6,n 2, 37, n > 3.分n证明：因为 Tn2n 1(n<2022),所以b|T13,STn Tn 12(2< nw 2022).4分因为bn _ an，所以弓3,4),an 2,3)(2 <nw 2022).5分由q生，得q1.6a1分因为2022c ca2022a2q2,3)，所以2022 、 2q >2a23所以2 2022 -q12 ，即(2)2022q 1.833分川证明:充分性因为印匚N ,qN ,所以n 1 厂 n fanaqN ,所以d 一耳a对一切正整数n都成立.因为Sn=ai比an,Tn=b3i+ t2d,必要性因为对于任意的 n e N , S =Tn,当 n 1 时，由 ai = S , b =，得 ai = bi ；当 n>2 时，由 an Sn Sni，bn