初二数学--勾股定理讲义

1、初二数学勾股定理【知识点归纳】1直角三角形的两边，求第三边勾股定理 2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1勾股数的应用勾股定理 勾股定理的逆定理 2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题1面积问题2、求长度问题 宀5“亠f 3、最短距离问题4、5、6、航海问题网格冋题图形问题考点一：勾股定理1对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c,那么一定有a2 b2 c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。2结论: 有一个角是30的直角三角形，30角所对的直角边等于斜边的一半。 有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形。 直角三角形斜边的中线等于

2、斜边的一半。3勾股定理的验证ba例1直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。1在 Rt ABC 中，/ C=90 假设a=5, b=12，那么c=; 假设a=15, c=25，那么b=; 假设c=61 , b=60,那么a=; 假设a : b=3 : 4, c=10那么Rt ABC的面积是=2如果直角三角形的两直角边长分别为 n21 , 2nn1，那么它的斜边长是A、2nB、n+1C、n2- 1D、n2 13在Rt ABC中，a,b,c为三边长，那么以下关系中正确的选项是2.2 2 2 2.2A. a b c b. a c b2 . 2 2C. c b a D.以上都有可能4一个直角三角形的两

3、边长分别为3和4,那么第三边长的平方是A、25B、14C、7D、7 或 25例2:直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。1直角三角形两直角边长分别为5和12,那么它斜边上的高为 。2RtAABC 中，/ C=90，假设 a+b=14cm, c=10cm，那么 Rt ABC 的面积是2 2 2 2A、24 cmB、36 cmc、48 cmD、60 cm3x、y为正数，且|x2-4 I + y2-32=0 ,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为D、15B、25张老师例3:探索勾股定理的证明有四个斜边为c、两直角边长为

4、 a,b的全等三角形，拼成如下列图的五边形，利用这个图形证明勾股定理。imH C考点二：勾股定理的逆定理1勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2 b2c2，那么这个三角形是直角三角形。2常见的勾股数：3n,4n,5n,(5n,12n,13n) , (8n,15n,17n) , (7n,24n,25n) , (9n,40n,41 n)n为正整数3直角三角形的判定方法： 如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2 b2c2，那么这个三角形是直角三角形。 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 两内角互余的三角形是直角三角形。 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角

5、形是直角三角形。例题：例1：勾股数的应用1以下各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是A. 4, 5, 6B. 2 , 3, 4C. 11, 12, 13D. 8, 15, 172假设线段a,b, c组成直角三角形，那么它们的比为A、2 : 3 : 4B、3 : 4 : 6C、5 : 12 : 13 D、4 : 6 : 7例2:利用勾股定理逆定理判断三角形的形状1下面的三角形中: 厶 ABC中，/ C=Z A-Z B; 、ABC中，Z A:Z B:Z C=1: 2: 3; 厶 ABC中，a： b: c=3: 4： 5; 厶ABC中，三边长分别为 8, 15, 17.其中是直角三角形的

6、个数有.A. 1个 B . 2个C . 3个 D . 4个2假设三角形的三边之比为2 ：二：1，那么这个三角形一定是2 、2A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形3a, b, cABC三边，且满足a2- b2a2+b2- &= 0，那么它的形状为A.直角三角形B.等腰三角形C. 等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是A.钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D.等腰三角形5假设 ABC 的三边长 a,b,c 满足 a2 b2 C 200 12a 16b 20c,试判断 ABC 的形状。6 ABC的两边分

7、别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，那么 c应为，此三角形为 。例3:求最大、最小角的问题1假设三角形三条边的长分别是7,24,25 ,那么这个三角形的最大内角是 度。2三角形三边的比为 1: ,3 : 2,那么其最小角为 。考点三：勾股定理的应用例题：例1:面积问题1以下列图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，假设正方形 A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,那么最大正方形 E的面积是 说明三个半圆的面积关系，可得A. S什 S2 S3B. S什 S2= S3C. S2+S3 SiD.以上都不是2如下列图，分别以直角三角形的三边向外

8、作三个正三角形，其面积分别是Si、S2、S3,那么它们之间的关系是A. Si- S2= S3B. Si+ S2= S3C. S2+S3 SiD. S2- S3=Si例2:求长度问题1小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。20m处的池塘A处;2在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 另外一只爬到树顶 D处后直接跃到 A夕卜，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高?例3:最短路程问题一 一 2 一1如图1,圆柱体底面圆的半径为，高为2, AB，CD分别是两底面的直径， A

9、D，BC是母线，假设一只小虫从 A点出发，从侧面爬行到 C点，那么小虫爬行的最短路线的长度是 。结果保存根式2如图2,有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为 图1例4:航海问题图21一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距 海里.2深圳如图1,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的C在北偏东60的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时C岛周围9海里的区域内有暗礁，假设继续向正东M处，在点A处测得某岛又测得该岛在北偏东 30

10、的方向上，在方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。3如图2,某沿海开放城市 A接到台风警报,图2在该市正南方向 260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，城市 A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从 B点移到D点？如果在距台风中心 30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?例5:网格问题1如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，那么网格上的三角形 ABC中，边长为无理数的边数是A . 0 B . 1 C. 2D . 32如图，正方形网格中的 ABC，假设小方格边长为 1

11、,那么 ABC是A.直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形D.以上答案都不对3如图，小方格都是边长为 1的正方形，那么四边形ABCD的面积是A .25B. 12.5 C. 9 D. 8.57BCR17B-、AD图3图1图2例6:图形问题1如图1,求该四边形的面积22021四川宜宾如图2,在厶ABC中，/ A= 45 AC= J2, AB= 頁+1，那么边 BC的长为.12D13图2图13某公司的大门如下列图，其中四边形AECD是长方形，上部是以AD为直径的半圆，其中AB =2.3 m, BC =2m ,现有一辆装满货物的卡车，高为2.5m，宽为1.6m，问这辆卡车能否通过公司的大门？并说明你的理

12、由24 cm的筷子置于地面直径为子露在杯子外面的长为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，设筷h cm,那么h的取值范围【中考链接】1. 2021广西钦州市如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC= 6 cm、BC= 8 cm,现将 ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为 DE,那么BE的长为A4 cm B5 cm C6 cm D10 cmB2. 2021山东荷泽此题总分值 8分如下列图，在 Rt ABC中，/ C= 90,/ A = 30,BD是/ ABC的平分线，CD = 5 cm,求 AB的长.3. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按以下

13、要求画三角形： 使三角形的三边长分别为 3、. 8、-一 5在图甲中画一个即可 使三角形为钝角三角形且面积为4在图乙中画一个即可.4.5.2021广东湛江A.1 , 2, 32021四川泸州A .锐角三角形以下四组线段中，可以构成直角三角形的是B. 2, 3, 4C.3, 4, 5D. 4, 5, 6在ABC中，AB=6 , AC=8 , BC=10，那么该三角形为B 直角三角形C. 钝角三角形D 等腰直角三角形6.2021辽宁丹东市 ABC是边长为1的等腰直角三角形，以 Rt ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 Rt ACD再以Rt ACD的斜边 AD为直角边，画第三个等腰Rt Aa c bBa be ccabDc b a& 2021湖北孝感此题总分值10分问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把数形关系