课时跟踪检测(十八)简单的线性规划问题_1

1、课时跟踪检测（十八）简单的线性规划问题j（0y层级一学业水平达标1 设变量x, y满足约束条件则目标函数z = x + 6y的最大值 为（）A 3B 4C 18D. 40解析：选C 由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.X>1 y>xx+jr-3<0作直线x+6y = 0并向右上平移，由图可知，过点 A（0,3）时z= x + 6y取得最大值，最大值为18.2 .某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2 的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的羊 毛料和1 m2的

2、丝绸料，做一条裤子的纯收益是 20元，一条裙 子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子 x 条，裙子y条，利润为z,则生产这两种服装所满足的数学关 系式与目标函数分别为（）A. z = 20x + 40yB. z = 20x + 40yC. z = 20x + 40yD. z = 40x + 20y解析：选A由题意知A正确.3已知变量x, y满足约束条件则的取值范围是（）A.B. U 6 ,+比）a矗）&C. （ w, 3 U 6 ,+比）D （3,6解析：选A 作出可行域，如图中阴影部分所示，可理解为可 行域中一点与原点的连线的斜率，又 B, A（1,6），故的取值范 围是

3、.4 某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件 100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使 剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为（）A 2,4B 3,3C. 4,2D 不确定解析：选B 设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为 z元，贝U求z= 800 - 100x - 160y取得最小值时的整数解(x, y)，用图 解法求得整数解为(3,3).5 .已知若z= ax + y的最小值是2，则a的值为()A. 1B . 2C. 3D . 4解析：选B作出可行域，如图中阴影部分所示，又z = ax + y的最小值为2，若a> 2，则(1,0)为最优解，所以

4、a = 2;若 a<-2，则(3,4)为最优解，解得a =-，舍去，故a = 2.6 若点P(m，n)在由不等式组所确定的区域内，贝In m的最 大值为.解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐 标分别为A(1,3)，B(2,5)，C(3,4)，设目标函数为z = y-X，则 y = x + z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2,5)时，n m的最大值为3.答案：37已知x, y满足约束条件则x2 + y2的最小值是.解析：画出满足条件的可行域（如图），根据表示可行域内一点 到原点的距离，可知x2 + y2的最小值是|AO|2.由得 A（1,2），所以 |AO|2 =

5、 5.答案：5&铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排 放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab（万吨）c（白力 元）A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为 （百万元）.N解析：设购买铁矿石A, B分别为x, y万吨，购买铁矿石的费 用为z(百万元),则目标函数z= 3x + 6y.由得记P(1,2),画出可行域，如图所示当目标函数 z= 3x + 6y过点P(1 , 2) 时，z取到最小值，且最小值为 zmin = 3X 1 + 6X 2=5.答案：159若x，y满足约束条件(1)

6、求目标函数z= x y+的最值；(2) 若目标函数z= ax + 2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取 值范围.解：(1)作出可行域如图，可求得 A(3,4)，B(0,1)，C(1,0) 平移初始直线x y + = 0，过A(3,4)取最小值一2，过C(1，0) 取最大值1.zZ勺最大值为1，最小值为一 2.直线ax + 2y = z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知1< <2，解得4<a<2.故所求a的取值范围为(一4,2).10 某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种

7、规格每张2 m2，可做文字标牌2 个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得 总用料面积最小.I p I/ -p/解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x + 2y)个，绘画标牌(2x + y)个，由题意可得所用原料的总面积为z= 3x + 2y，作出可行域如图.在一组平行直线3x + 2y = z中，经过可行域内的点且到原点距 离最近的直线.过直线2x + y = 5和直线x + 2y = 4的交点(2,1)，最优解为x = 2， y = 1，使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.层级二应试能力达标1 设变量x, y满足约束条件则目标函数z

8、 = 3x y的取值范围是（）A. B.C. 1,6 D.解析：选A 作出可行域如图所示.目标函数z= 3x y可转化为y = 3x z,作10: 3x y = 0，在 可行域内平移10，可知在A点处z取最小值为，在B点处z 取最大值为6.2已知实数x, y满足条件若目标函数z = mx y（m 0）取得最 大值时的最优解有无穷多个，则实数 m的值为（）A 1 B.r-2jC D 1解析：选A作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分（包含 边界）所示，由图可知当直线y = mx z（m半0）与直线2x 2y + 1 =0重合，即m = 1时，目标函数z= mx y取最大值的最优 解有无穷多个，故

9、选A.3 已知实数x, y满足：z= |2x 2y 1|，贝U z的取值范围是 （）A. B. 0,5i-y+l<4(x y+l>2C. 0,5） D.解析：选C作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所 示令u = 2x 2y 1，当直线2x 2y 1 u = 0经过点 A（2， 1）时，u = 5，经过点 B 时，u =,则一W u<5,所以z = |u| 0,5），故选4. x, y满足约束条件若z= y 2ax取得最大值的最优解不唯 一，则实数a的值为（）A.或17 二211B . 1 或 C. 2 或 1D.2或一1解析：选B作出可行域，如图中阴影部分所示由 z =

10、 y 2ax，得 y = 2ax + 乙当 2a = 2 或 2a = 1，即 a = 1 或 a =时，z=y 2ax取得最大值的最优解不唯一，故选 B.5 在平面上，过点P作直线I的垂线所得的垂足称为点P在 直线I上的投影.由区域中的点在直线 x + y 2 = 0上的投影构 成的线段记为AB，则|AB|=.2 1解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 过点C，D分别作直线x + y 2 = 0的垂线，垂足分别为A， B，则四边形ABDC为矩形，又C(2， 2)，D( 1,1)，所以 |AB| = |CD| = = 3.答案：36.某公司计划用不超过50万元的资金投资A，B

11、两个项目， 根据市场调查与项目论证，A，B项目的最大利润分别为投资 的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要 求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资 A项目 元，投资B项目 元.解析：设投资者对A，B两个项目的投资分别为x，y万元，则 由题意得约束条件为即投资者获得的利润设为z,则有z = 0.8x + 0.4y.作出可行域如 图所示，由图可知，当直线经过点 B时，z取得最大值.解得 B(10,40).所以，当x= 10, y = 40时，获得最大利润，最大利润为 24万 元.答案：10407.某运输公司每天至少要运送180 t货物，公司有8辆载重为6 t的

12、A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车，且有10名驾 驶员.A型卡车每天可往返4次，B型卡车每天可往返3次， 每辆A型卡车每天花费320元，每辆B型卡车每天花费504 元，如何合理调用车辆，才能使公司每天花费最少？解：设每天调用A型卡车x辆，B型卡车y辆，每天花费z元.则即目标函数z= 320x + 504y.作出可行域，如图中阴影部分所 示.当直线320x + 504y = z经过直线4x + 5y = 30与x轴的交点(7.5,0)时，z有最小值.又(7.5,0)不是整点，由分析知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是直线320x +504y = 2 560，经过的整点是(8,0)

13、，它是最优解.所以要使公司每天花费最少，每天应调用A型卡车8辆，B型卡车0辆.&关于x的方程x2 + ax + 2b = 0的两根分别在区间(0,1)与 (1,2)内，求的取值范围.松1)解：可以转化为点(a, b)与M(1,2)连线的斜率由题知x2 + ax + 2b = 0两根在(0,1)与(1,2)内，可令f(x) = x2 + ax + 2b必满足 f(0)>0 , f(1)<0，f(2)>0，即画出可行域如图中阴影部分所示， 由线性规划可知，点M(1,2)与阴影部分连线的斜率k的取值范 围为 kAMvkvkBM,v A( £,1)，B( - 1,0

14、)，二 <<1,即的取值范围为.课时跟踪检测(十八)简单的线性规划问题层级一学业水平达标1 .设变量x，y满足约束条件则目标函数z= x+ 6y的最大值为() 解析：选C由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.C. 18D. 40X>1 y>x+jr-3<0作直线x + 6y = 0并向右上平移，由图可知，过点 A(0,3)时z= x+ 6y取得最大值，最大值为18.2. 某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的

15、羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是 20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使 收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系 式与目标函数分别为()A. z = 20x + 40yB. z = 20x + 40yC. z = 20x + 40yD. z = 40x + 20y解析：选A由题意知A正确.3. 已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是()A. B. U 6 ,+C. ("，3 U 6 ,+ D . (3,6解析：选A 作出可行域，如图中阴影部分所示，可理解为可行域中一点与原点的连线的斜率，又B，A(1,6)，故的取值范围是.

16、4. 某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元, 两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为()A. 2,4 B . 3,3C. 4,2D .不确定解析：选B设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则 求z = 800 - 100x - 160y取得最小值时的整数解(x, y)，用图解法求得整数解为(3,3).则a的值为(解析：选B作出可行域，如图中阴影部分所示，又z二ax + y的最小值为2,若a>-2，则(1,0)为最优解，所以a = 2 ；若aw2，则(3,4)为最优解，解得a二，舍去，故a = 2.6.若

17、点P(m，n)在由不等式组所确定的区域内，则n m的最大值为.解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,5)，C(3,4)，设目标函数为z二y x，则y二x + z,其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2,5) 时，n m的最大值为3.答案：37 .已知x, y满足约束条件则x2 + y2的最小值是.解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2 + y2的最小值是|AO|2.由得 A（1,2），所以 |A0|2 = 5.答案：58 铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的C02的排放量b及每万吨铁矿石的价格c 如下表

18、：ab（万吨）c（白力兀）A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求C02的排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最 少费用为（百万元）解析：设购买铁矿石A，B分别为x, y万吨，购买铁矿石的费用为z（百万元），则目标函数z = 3x + 6y.由得记P（1,2），画出可行域，如图所示当目标函数z二3x + 6y过点P（1，2）时，z取到最小值，且最小值为zmin = 3X 1 + 6X 245.答案：159 若x，y满足约束条件（1）求目标函数z二x y +的最值；解：(1 )作出可行域如图，可求得 A(3,4) , B(0,1) , C(1,0).平移初始直线x

19、 y + = 0，过A(3,4)取最小值2，过C(1 , 0)取最大值1.z的最大值为1，最小值为2.直线ax + 2y = z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知1< <2，解得4<a<2.故所求a的取值范围为(一4,2).10 某人承担一项业务，需做文字标牌 4个，绘画标牌5个现有两种规格的原料，甲种规格 每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘 画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小.解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x + 2y)个，绘画标牌(2x + y)个, 由题

20、意可得所用原料的总面积为z二3x + 2y，作出可行域如图.在一组平行直线3x + 2y= z中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线.过直线2x + y= 5和直线x + 2y = 4的交点(2,1)，最优解为x = 2，y = 1，使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.层级二 应试能力达标1 .设变量x，y满足约束条件则目标函数z= 3x y的取值范围是()A.B.C 1,6D.解析：选A 作出可行域如图所示.目标函数z = 3x y可转化为y= 3x z，作10: 3x y= 0，在可行域内平移10，可知在A点处 z取最小值为-，在B点处z取最大值为6.2.已知

21、实数x, y满足条件若目标函数z = mx y（m0）取得最大值时的最优解有无穷多个， 则实数m的值为（）A. 1 B.C . D . 1解析：选A 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分 （包含边界）所示，由图可知当直线y=mx z（mM 0）与直线2x 2y + 1 = 0重合，即m = 1时，目标函数z = mx y取最大值的最优 解有无穷多个，故选A.3 .已知实数x，y满足：z = |2x 2y 1|，则z的取值范围是（）A. B. 0,5i-y+l<4（x y+l>2C. 0,5） D.解析：选C 作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示.令u二2x 2y 1，当直

22、线2x 2y 1 u = 0 经过点 A（2， 1）时，u = 5，经过点 B 时，u =，则一w u<5，所以z=|u| 0,5），故选4. x，y满足约束条件若z = y 2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数 a的值为（）A.或1 B . 1 或C . 2 或 1 D . 2 或1解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示.由z = y 2ax，得y = 2ax +乙当2a = 2或2a =一 1，即a= 1或a =一时，z = y 2ax取得最大值的最优解不唯一，故选 B.5. 在平面上，过点P作直线I的垂线所得的垂足称为点P在直线I上的投影.由区域中的点 在直线x + y 2

23、= 0上的投影构成的线段记为 AB，则|AB| =.2 1解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点 C, D分别作直线x + y2 =0的垂线，垂足分别为A, B，则四边形ABDC为矩形，又C(2 , 2), D( 1,1)，所以|AB| =|CD| = = 3.答案：36. 某公司计划用不超过50万元的资金投资A，B两个项目，根据市场调查与项目论证，A，B项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求 资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资 A项目 元，投资B项目元.解析：设投资者对A，B两个项目的投资分别为x，y万元，则