初三中考复习二次函数最值问题

1、二次函数之最值问题根本解题步骤:1审题读懂问题，分析问题各个量之间的关系；2 列数学表达式用数学方法表示它们之间的关系，即写出变量与常量之间的二次函数关系式；23.求值.利用二次函数关系式的顶点坐标公式,4aC_或配方法求得最值；2a 4a配方法：将二次函数 y ax2 bx c转化为y a(x h)2 k的形式，顶点坐标为h,k，对称轴为x h .当a 0时，y有最小值，即当x h时，y最小值=k ；当a 0时，y有最大值，即当x h时，y最大值=k 4 检验检验结果的合理性.函数求最值需考虑实际问题的自变量的取值范围解题策略实际问题 转化 数学问题 解学 解 检验问题答案关键在如何将实际问

2、题转化为数学问题利润最值问题：此类问题一般先是运用“总利润=总售价-总本钱或"总利润=每件商品的利润 销售数量建立利润与价格之间的函数关系式，再 求出这个函数关系式的顶点坐标，顶点的纵坐标即为最大利润.特殊地，这里要考虑实际问题中自变量的取值范围，数形结合求最值.例1例2线段和或差或三角形周长最值问题：此类问题一般是利用轴对称的性质和 两点之间线段最短确定最短距离，这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公 式求解.特殊地，也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题.最短距离和找法：以动点所在的直线为对称轴，作一个点的对称点，连结 另一个点和对称点的线段，与对称轴交于一点，这一点即为

3、所求点.线段 长即为最短距离和.口诀：“大同“小异求最值.“大同：求差的最大值，把点移动到直线的同侧.“小异：求和的最小值，把点移动到直线的两侧.几何最值较多例3例4例5线段长最值问题：根据两点间距离公式|xi X2I把线段长用二次函数关系式表示 出来求最值.几何面积最值问题：此类问题一般是先运用三角形相似，对应线段成比例等性质或者用“割补法或者利用平行线得到三角形冋底等高进行面积转化写出图形的面积y与边长x之间的二次函数关系，其顶点的纵坐标即为面积最值.例6例7例8动点产生的最值问题：数形结合求解，把路程和转化成时间和，当三点共线时 有最值.例9例10利润最值问题例1、一玩具厂去年生产某种玩

4、具，本钱为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件今年方案通过适当增加本钱来提高产品的档次，以拓展市场假设今年这种玩具每件的本钱比去年本钱增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，那么预计今后年销售量将比去年年销售量增加x倍此题中0 x 1.1用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的本钱为 元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为元.2求今年这种玩具每件的利润y元与x之间的函数关系式；3设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=每件玩具的出厂价一每件玩具的本钱X年销售量.解：110+

5、7x ; 12+6X ;2y=12+6x-10+7x, y=2 -x 0v x< 11；3/ w=2 1+x?y=2 1+x 2-x=-2x 2+2x+4 , w=-2 x-0.5 2/ -2 v 0 , 0 v x< 11, w有最大值，当x=0.5 时，w最大=4.5 万元.答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元.例2、新星电子科技公司积极应对2022年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期本钱高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程公司对

6、经营的盈亏情况每月最后一天结算1次.公司累积获得的利润y万元与销售时间第 x月之间的函数关系式即前 x个月的利润总和y与x之间的关 系对应的点都在如以下图所示的图象上该图象从左至右，依次是线段0A曲线AB和曲线BC,其中曲线AB为抛物线的一局部，点 A为该抛物线的顶点，曲线 BC为另一抛物线y 5x2 205x 1230的一局部， 且点A, B, C的横坐标分别为 4, 10, 12.1求该公司累积获得的利润 y万元与时间第 x月之间的函数关系式；2直接写出第x个月所获得S万元与时间x月之间的函数关系式不需要写出计算过程；3前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？解：

7、1设直线0A的解析式为y=kx ,点 0 0 , 0，A 4, -40在该直线上， -40=4k ,解得k=-10 , y=-10x ;点 B 在抛物线 y=-5x 2+205x-1230 上,设 B 10, m，那么 m=320 .点B的坐标为10 , 320.点A为抛物线的顶点，设曲线AB所在的抛物线的解析式为y=a x-42 -40 , 320=a 10-42-40 ,解得a=10 ,即 y=10 x-42-40=10x 2-80x+120.二 y=i=皿(皐二 1、2. 3. 4)102c2-80bt+120(JE = 5. 6、1、S. 9)；-5.x24-205x-12JO(x=1

8、Q> 11、12)(2) 利可用第x个月的利润应该是前x个月的利润之和减去前x-1个月的利润之和：A-1 Ox-l0Ct-;l)Rr= 1 > 2s 3、4)10.x 2 -S0x-L20-I0(x-l)2 -SO(x-l)-i-12O(x = 5. <5、 7； 8、9)-5jc 2 +05j123D-(-5(x-1>2 -205(jc1)-1230)(x=10. 11% 12) -1O(X=1 C，4?20x-90( = 5, 6, 7P S, 9) ?-lQx+210(=10IB 12>(3)由2知当x=1 , 2, 3 , 4时，s的值均为-10 ,当 x

9、=5 , 6, 7, 8, 9 时，s=20x-90 ,即当x=9时s有最大值90,而在 x=10 , 11 , 12 时，s=-10x+210,当x=10时，s有最大值110 ,因此第10月公司所获利润最大，它是110万元.试一试：1、某水果批发商销售每箱进价为40元的的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现,假设每箱以50元的价格销售，平均每天销售 90箱，价格每提高1元，平均每天少销售 3箱.1求平均每天销售量 y箱与销售价x元/箱之间的函数关系式.2求该批发商平均每天销售利润w元与销售价x元/箱之间的函数关系式.3当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是

10、多少？解：1设 y=kx+b ,把45 , 105， 50 , 90代入得，45fc+i = 105h50Vir = 90 解得；J r 故平均每天销售量y箱与销售价x元/箱之间的函数关系式为：y=-3x+240;2水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，销售价x元/箱，该批发商平均每天的销售利润w元与销售价x元/箱之间的函数关系式为：W= x-40-3X+240=-3x 2+360x-9600.3W=-3x2+360x-9600=-3 x-602 + 1200 ,/ a=-3 v 0 , 抛物线开口向下.又/对称轴为x=60 , 当x v 60 , W随x的增大而增大，由于50< x&l

11、t; 55, 当x=55时，W的最大值为1125元.当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润，为1125元.2、我市 某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为：每. 1 2投入x万元，可获得利润 P 一 x 6041 万元.当地政府拟在“十二五规划中加快开发该特100产的销售，其规划方案为：在规划前后对该工程每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路， 两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售.在外地销售的投资收益为：每投入x万元,

12、可获利润Q竺100100160万元.1假设不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少?2假设按规划实施，求5年所获利润扣除修路后的最大值是多少?3根据1， 2，该方案是否具有实施价值?1 n_ k-60 1 万兀解 : 1每投入x万元，可获得利润 100当x=60时，所获利润最大，最大值为41万元，假设不进行开发，5年所获利润的最大值是：41 X 5=205 C万元；2前两年：0W x< 50,此时因为P随x的增大而增大，所以x=50时，P值最大，即这两年的获利最大为2X 1C5(| CC ) 2+41=8(J (万元)WO后三年：设每年获利y ,设当地投资额为a ,那么外地投资额为100

13、-a ,99 - 7Q499 r 9413 0- ( 1 0 0-a)忙+ 1 DO- ( 1 Ci-a ) 4-1 60 = -+ -a+160'100 510051 ,99294-,/.y=p+Q= - ( a-0 )匚+414-包+1弓口二-子+弓口才1弓£=- ( a-30 ) + 1 065 f1001005当a=30时，y最大且为1065 ,这三年的获利最大为1065X 3=3195万元， 5年所获利润扣除修路后的最大值是：80+3195- 50X 2=3175万元.线段和或三角形周长最值问题复习：如图，正方形ABCD勺边长为4，点P在DC边上且DP=1,点Q是A

14、C上一动点，那么DQ+P啲最小值为 例1、二次函数 y x2 bx c的图象过点A 3,0和点B 1,0，且与y轴交于点C, D点在抛物线上且 横坐标是 2.1求抛物线的解析式；2抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA PD的最小值.解：(1 )将山(-3 > 0 )0 )代入尸二舁“+b宾°得f9_3i_c=),l-5+c = 0f I.-解得 -*尸雄+玄- 3 f(S) y=x2+2x-3= <x+l ) 2-4二对称轴又/ A j B关于对称袒对称，几连接ED与对称牯的交点和药所求F点.过D彳乍DF丄工轴于Fx-2Ay=x2+2x-3 i那么y=4-4-3=-3 D

15、 ( - 2 j 3 )Rt ABDF+ +VPA=FBj/DF=3. BF=1- (-2 ) =3例2、如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线yx 2分别交x轴、y轴于C、A两点.将射线 AM绕着3点A顺时针旋转45。得到射线 AN.点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点 C在/ MAN勺内部.1求线段AC的长;2当AM/ x轴，且四边形 ABCD为梯形时，求 BCD的面积;3求厶BCD周长的最小值；4当厶BCD的周长取得最小值，且 BD 或 时， BCD的面积为3-1O12 3 45 a-2-鰭：1-盲线产-丰工7与童轴、产釉分别交于C 、 A两点，自:的坐标为2苗，0，点A的坐标芮0

16、- 2上 AC=4 2当 AD# BCHit *依题宜，可知ZDAE二4丁，A ZAB0=45s .AQE=0A=2*T 0C = 2 二仏日 c D冷BO 0A= 2 JI-2 当ABDC时RJWSABCD=S2XACD +设肘线AN交k轴于点E，T ADxtts花四边母AECD对平行四边形二 SAAEC=SAACD' s6GL>=sZiAEC=5Et0A=2J_2-3作点C关于射钱机的对称点c歎关于射线翊的对称点5 由紬对称的性质，可知QWGIH CB=C2B-<CE+BDKDC2B+BD+C1D-C1C2SSAC1、皿、可得 ZCiAD=ZCAD-上匚牡$二 ZCAE

17、，C1=C2=AC=4 .-0：2=304 连接GS +/*之间銭段最疤，代当E、D两点与斜、匚2在同一棗直纯上时，山肚D的爲云最小1最小值药绫殿匚代龙的长-" AECDKffi长的最小值加1匹川 根据时的作圉可知四边H沁H的対角互补，其*ZDAB = 45° -因曲，ZC2C C135°V ZB CC2+TC匚 t+ZBCD二 135。 ， EC2C+ZDC1C-bZBCC24-ZDCC1 + ZBCD= 1 80 * ，ZBC2C=ZBCC2ZDCC1=ZDC1C f/ ZBCD = 90° .二 2CB<D二 S 弓C'ACD = &

18、#165;例3、，如图，二次函数y ax2 2ax 3a a 0图像的顶点为 H,与x轴交于A、B两点B在A点右 侧，点H B关于直线I : y x品对称.31求A B两点坐标，并证明点 A在直线I上;2求二次函数解析式；3过点B作直线BK/ AH交直线I于K点，M N分别为直线AH和直线I上的两个动点，连接HN NMyMK求HN NM MK和的最小值.解:；1依题意，3a= 0 0 j解得常 = 7*慕旷1 点在A点右侧，亠点坐标为 J3I，B点坐标为1叮， 晋；，B两点坐标分别是"3, 口八1 ' 0> - 证明；盲线"$=¥工一収，当时-了时，

19、！- JSA在亘蜷1上.g 丁点廿关于过盅点的直绒"y=x-JJ3対称,二 AH-AB=4，过顶点II作HC丄ABAB于匚点，那么且C二|jE = 2, HC=23,顶点凤-1, 2t优入二次函數解析式，解潯。二£，二二次函数解祈式为f=£界炉+芈>答：二次超數解析式为y=-£芒片芈3nAH的解析式加二 fiBK的餡析式劝匸暮r-JI，3 =_|=3解得2L1严苗 即疋3, 2j3?那么BK=q- 点H、B矣于直EJUK对称-K 3* 2$八 /-EIN4MN最小值是血， jQK作KD丄X轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连援Q3交lAH于E，

20、 那么QMn 0E-EK=2* 竝丄QK，人根拥两点之间绒段最短SffiEK+MK的显小值是BQ =即EQ的慎是HN十UM+MK的最小值V0K；/ AH> /- ZBKQ=ZHEQ=9D<> )Bi：rOK1 =护-QJI-2 鼻宅 1-HN+NM+MK的最小值拘阳试一试：1、抛物线 y ax2 bx 1经过点A 1,3和点B 2,1 .1求此抛物线解析式；2点C D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形 ABCD周长的最小值；3过点B作x轴的垂线，垂足为 E点点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点，再沿FE到达E点，假设P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速

21、度的 2倍，试确定点F的位置，使得点P按照上述要求到达 E点所用的时间最短.要求：简述确定 F点位置的方法，但不要求证明y A3 -0 二次函数中字母替换k4例1、如图， A a, mB 2a, n是反比例函数 y (k 0)与一次函数y x b图像上的两x3个不同的交点，分别过 A、B两点作x轴的垂线，垂足分别为 C、D。连结OA 0B假设1 a 2，那么 求S oab的取值范围。0的交点例2、点A(1,c)和点B(3,d)是直线y Kx b和双曲线y 呂k2x1过点A做AMx轴，垂足为 M，连接BM ,假设AM BM，求点B的坐标2假设点P在线段AB上，过点P做PE x轴，垂直为E,并交双

22、曲线y 电k20于点N ,当空xNE如圈，JBB (3 - d)代入y=ZlBk2=3d.Xi jr仮比例西数的解析式Sy=x扌巴A ( 1 * 3d> x B ( 3 - d)代入jr二ki梵十b偉，疋-台二3占，解潯3血1 -b-d*宜线蛊B的昭析：S>y=-±t+4 d j 设P (t » -dt+1d) » WIN <t ?9< 'AT 翌 当靠取最大值时t=2*3寸lit 8PN=dt -1-4 d- ' r 2孑扌/- 2d+4 d = 一 *2 2-4- d= 1 j二反比例函数的解析式対尸二JT解：1由题意，

23、可设所求抛物线对应的函数关系式为y Zx -2 m 1分32四边形ABCD!菱形:.BC=Ct=DA=AB=5CD两点的坐标分别是5,4、2, 0.5分6分5时,2时,2323522210 5310 23D在所求抛物线上.3设直线CD对应的函数关系式为点C和点5k2k解得:7分yN4护834x3 MIN/ y轴，M点的横坐标为tN点的横坐标也为- y那么yM ft2N41L10一 32XL2 - 38 - 3XL4 - 3yM2O237 - 21m3分6所求函数关系式为：2( y (x1 2 2x10x 44分326 332在 RtA ABC中, 0A3,CB=4,5 AB ,OA2 OB2.27 .30 ,当 t时，1最大322此时点M的坐标为7 1? 丿12 分2 22、：抛物线 y ax2 bx c a 0的对称轴为x 1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中A 3,0 ,C 0, 2 .1求这条抛物线的函数表达式；2在对称轴上存在一点P,使得 PBC的周长最小.请求出点 P的坐标；3假设点D是线段0C上的一个动点不与点 O点C重合，过点D作DE/ PC交x轴于点E,连结PD P