4．23　直线与圆的方程的应用

1、4.2.3直线与圆的方程的应用基础达标1在圆 x2y22x6y0 内过点 E(0，1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为()A5 2B10 2C15 2D20 2解析圆的方程化为标准形式为(x1)2(y3)210，由圆的性质可知最长弦 AC2 10，最短弦 BD 恰以 E(0，1)为中点，设点 F 为其圆心，坐标为(1，3)故 EF 5，BD2 10（ 5）22 5，S四边形ABCD12ACBD10 2.答案B2一束光线从点 A(1，1)出发经 x 轴反射到圆 C：(x2)2(y3)21 上的最短距离是()A4B5C3 21D2 6解析圆 C 的圆心坐标为(2

2、，3)，半径 r1.点 A(1，1)关于 x 轴的对称点 A的坐标为(1，1)因 A在反射线上，所以最短距离为|AC|r，即2（1）23（1）214.答案A3若O：x2y25 与O1：(xm)2y220(mR)相交于 A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是_解析两圆圆心分别为 O(0，0)，O1(m，0)且 5|m|3 5，又OAO1A，m2( 5)2(2 5)225，m5，AB25 2054.答案4二、填空题4已知圆 O：x2y25 和点 A(1，2)，则过点 A 与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_解析点 A(1，2)在圆 x2y25 上，

3、过点 A 与圆 O 相切的切线方程为 x2y5，易知切线在坐标轴上的截距分别为 5、52，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为254.答案2545集合 A(x，y)|x2y24，B(x，y)|(x3)2(y4)2r2，其中 r0，若 AB 为只有一个元素的集合，则 r 的值为_解析由题意 AB 为只有一个元素的集合，则圆 x2y24 与圆(x3)2(y4)2r2的位置关系为相切：内切或外切由条件知两圆连心线的长为|C1C2|32425，当两圆内切时，|C1C2|r1r2|，即 5|2r|，又 r0，得 r7.当两圆外切时，|C1C2|r1r2|，即 5|2r|，又 r0，得 r3.答案3 或

4、76从原点向圆 x2y212y270 作两条切线，则这两条切线的夹角等于_度解析圆的方程可化为 x2(y6)29，圆心为 P(0，6)，半径为 3， 过原点 O 作圆 P 的两条切线、 切点为 A、 B(如图)在 RtPAO 中，|OP|6，|PA|3，AOP30，故两切线的夹角为 60.答案60三、解答题7已知C：(x3)2(y4)21，点 A(1，0)，B(1，0)，点 P 是圆上一动点，求 d|PA|2|PB|2的最大、最小值及对应的 P 点坐标解设点 P 为(x0，y0)，则 d(x01)2y20(x01)2y202(x20y20)2，欲求d 的最大、最小值，只需求x20y20的最大、

5、最小值，此即求C 上点到原点距离之平方的最大、最小值设直线 OC 交C 于 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则min(|OC|1)216|OP1|2，此时 OP1P1C4，dmin34，对应 P1坐标为125，165 ，同理可得 dmax74，对应 P2坐标为185，245 .能力提升8过点 P(2，3)向圆 C：x2y21 上作两条切线 PA，PB，则弦 AB 所在的直线方程为()A2x3y10B2x3y10C3x2y10D3x2y10解析弦 AB 可以看作是以 PC 为直径的圆与圆 x2y21 的交线，而以 PC为直径的圆的方程为(x1)2y322134.根据两圆的公共弦的求法，可

6、得弦AB 所在的直线方程为：(x1)2y322134(x2y21)0，整理可得 2x3y10，故选 B.答案B9函数 yx2x1 x2x1的值域为_解析显然函数的定义域为 R，yx12234x12234设 P(x，0)，A12，32 ，B12，32 为平面上三点，则|PA|x12234 x2x1，|PB|x12234 x2x1.y|PB|PA|.|PB|PA|AB|，且|AB|1，|y|1，即1y1，故函数的值域为(1，1)答案(1，1)10圆 M：x2y24x2y40.(1)若圆 M 的切线在 x 轴上的截距是 y 轴上的截距的 2 倍，求切线的方程；(2)从圆外一点 P(a，b)，向该圆引切线 PA，切点为 A，且|PA|PO|，O 为坐标原点求证：以 PM 为直径的圆过异于 M 的定点，并求该定点的坐标解(1)当切线过原点时，由题意可设切线为 ykx，由|2k1|1k21，得 k43，k0(舍)当切线不过原点时，设切线为x2mym1.即 x2y2m，由|222m|51，得 2m4 5，所以 x2y4 5.所以所求的切线方程为 y43x，x2y4 5.(2)由条件|PA|PO|，即|PA|2|PO|2，得(a2)2(b1)21a2b2，得 2a