231直线与平面垂直的判定

1、2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定基础达标1 已知直线m， n是异面直线， 则过直线n且与直线m垂直的平面()A有且只有一个B至多一个C有一个或无数个D不存在解析若异面直线 m、n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在答案B2给出下列说法：若平面的两条斜线段 PA，PB 在内的射影长相等，那么 PA，PB 的长度相等；已知 PO 是平面的斜线段，AO 是 PO 在平面内的射影，若 OQPO，则必有 OQAO；与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；平面内有两条相交直线 a，b 都与另一个平面平行，则.其中不正确的是()ABCD答案B3空间四边形 ABCD 的四

2、边相等，则它的两对角线 AC、BD 的关系是()A垂直且相交B相交但不一定垂直C垂直但不相交D不垂直也不相交解析取 BD 中点 O，连接 AO，CO，则 BDAO，BDCO，BD面 AOC，BDAC，又 BD、AC 异面，选 C.答案C4如图所示，PA平面 ABC，ABC 中 BCAC，则图中直角三角形的个数有_解析PA平面 ABCBC平面 ABCPABCACBCPAACABC平面 PACBCPC，直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC.答案45在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持 APBD1，则动点 P 的轨迹是_解析BD1平面

3、B1AC，平面 B1AC平面 BCC1B1B1C，所以 P 为 B1C 上任何一点，均有 APBD1.答案B1C6在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 A1B1的中点，则 AE 与平面 ABC1D1所成角的余弦值为_解析如图， 取 CD 的中点 F， 连接 EF 交平面 ABC1D1于 O， 连接 AO.由已知正方体易知 EO平面 ABC1D1，所以EAO 为所求 在 RtEOA 中， EO12EF12A1D22，AE1221252，sinEAOEOAE105.所以直线 AE 与平面 ABC1D1所成的角的正弦值为105.答案1057某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面

4、均是正方体，侧面是全等的等腰梯形的四棱台 A1B1C1D1ABCD， 上部是一个底面与四棱台的上 底 面 重 合 ， 侧 面 是 全 等 的 矩 形 的 四 棱 柱ABCDA2B2C2D2.求证：直线 B1D1平面 ACC2A2.证明四棱柱 ABCDA2B2C2D2侧面是全等的矩形，AA2AB，AA2AD.又 ABADA.AA2平面 ABCD.连接 BD，BD平面 ABCD，AA2BD.因为底面 ABCD 是正方形，所以 ACBD.根据棱台的定义知，BD 与 B1D1共面又已知平面 ABCD平面 A1B1C1D1，且平面 ABCD平面 BB1D1DBD，平面 BB1D1D平面 A1B1C1D1

5、B1D1.所以 BDB1D1，于是，由 AA2BD，ACBD，BDB1D1，可得 AA2B1D1，ACB1D1.又 AA2ACA，所以直线 B1D1平面 ACC2A2.能力提升8如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11， 则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 ()A.63B.2 65C.155D.105解析如右图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， 连接 A1C1、B1D1，交于 O 点，连接 OB，由已知 A1B1C1D1是正方形，A1C1B1D1.又BB1平面 A1B1C1D1，OC1平面 A1B1C1D1，OC1BB1.而 BB1B1D1B1，O

6、C1平面 BB1D1D.OB 是 BC1在平面 BB1D1D 内的射影C1BO 是 BC1与平面 BB1D1D 所成的角在正方形 A1B1C1D1中，OC112A1C1122222 2.在矩形 BB1C1C 中，BC1 BC2CC21 41 5.sinC1BOOC1BC125105.答案D9如图所示，在矩形 ABCD 中，AB1，BCa(a0)，PA平面 AC，且 PA1，若 BC 边上存在点 Q，使得PQQD，则 a 的取值范围是_解析因为 PA平面 AC，QD平面 AC，所以 PAQD.又因为 PQQD，PAPQP，所以 QD平面 PAQ，所以 AQQD.当 0a2 时，由四边形 ABCD

7、 是矩形且 AB1 知，以 AD 为直径的圆与BC 无交点，即对 BC 上任一点 Q，都有AQD90，此时 BC 边上不存在点 Q，使 PQQD；当 a2 时，以 AD 为直径的圆与 BC 相切于 BC 的中点 Q，此时AQD90，所以 BC 边上存在一点 Q，使 PQQD；当a2时， 以 AD为直径的圆与BC相交于点Q1， Q2， 此时AQ1DAQ2D90，故 BC 边上存在两点 Q(即 Q1与 Q2)，使 PQQD.答案2，10如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点试确定点 F 的位置，使得 D1E平面 AB1F.解连接 A1B，CD1，则 A1BAB1，A1D1AB1，又 A1D1A1BA1，AB1面 A1BCD1，又 D1E面 A1BCD1，AB1D1E.于是 D1E平面 AB1FD