数学必修五第三章单元质量测试

1、第三章单元质量测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若a<b<0，则()A. <B. 0<<1C. ab>b2 D. >解析a<b<0，两边同乘b得ab>b2，故选C.答案C2不等式(x)(x)0的解集是()A. x|xB. x|x或xC. x|<x<D. x|x<或x>解析由(x)(x)0得(x)(x)0，所以解集为x|x答案A3不等式2的解集为()A. 1,0) B. 1，)C. (，1 D. (，1(0，)解析原不等式变形为20，即x

2、(1x)0，且x0，解得x1,0)答案A4若x>0，y>0，且xy4，则下列不等式恒成立的是()A. B. 1C. 2 D. 1解析由xy4得，2，所以1.答案B5函数ylog2(x5)(x>1)的最小值为()A. 3 B. 3C. 4 D. 4解析x>1，x1>0，ylog2(x5)log2(x16)log2(26)log283.答案B6若不等式ax22ax4<2x24x对任意实数x恒成立则实数a的取值范围是()A. (2,2)B. (2,2C. (，2)2，)D. (，2解析当a2时，成立，当a2时，不等式ax22ax4<2x24x即(2a)x22

3、(2a)x4>0对任意实数x恒成立，则，解得2<a<2，综上可知2<a2.答案B7. 2013·郑州模拟把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为()A. 4 B. 8C. 16 D. 32解析设截成的两段铁丝长分别为x,16x,0<x<16，则围成的两个正方形面积之和为S()2()28，当且仅当，即x8时，等号成立故两个正方形面积之和的最小值为8，故选B.答案B8设x表示不超过x的最大整数，又设x，y满足方程组，如果x不是整数，那么xy的取值范围是()A. (35,39) B. (49,51)C. (71,75)

4、 D. (93,94)解析x3x3，解，得x20，y73，x不是整数，20<x<21，93<xy<94.答案D9某种电热器的水箱盛水是200升，加热到一定温度即可浴用浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按10.9毫升/秒2的匀加速度作自动注水(即t分钟自动注水2t2升)，当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供几人洗浴()A. 3 B. 4C. 5 D. 6解析设t分钟时水箱内有y升水，由题意得，y2002t234t.当t时，水箱中水最少，×34÷65>4，但是小于5，故选B.答案B10

5、如下图，不等式(x2y1)(xy3)0表示的平面区域正确的是()解析由(x2y1)(xy3)<0得或，利用点判断可知A符合条件答案A11已知且x2y24x4y8，则的最小值为()A. B. C. D. 解析(x2)2(y2)2，点(x，y)在如下图所示的阴影部分，由已知，得(x2)2(y2)2()2，则，min，故选B.答案B12在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A(x，y)|xy1，且x0，y0，则平面区域B(xy，xy)|(x，y)A的面积为()A. 2 B. 1C. D. 解析令xym，xyn，则x，y，所以即画出其所表示的平面区域(如右图所示的阴影部分)所求面积S×

6、2×11.答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13函数f(x)的定义域为_解析所求定义域由不等式组确定，即从而解得x(1,2)(2,3)答案(1,2)(2,3)14设x、y满足约束条件则使得目标函数z6x5y取得最大值的点(x，y)是_解析在坐标平面上画出与约束条件对应的可行域，如右图，找出与直线6x5y0平行且与可行域有公共点且使6x5y最大的点，由图可知，此点是(2,3)答案(2,3)15若对任意x0,1，恒有2x2(a1)xa(a1)<0，则a的取值范围是_解析令f(x)2x2(a1)xa(a1)由可得即从而求出a的取值范围答案

7、a<1，或a>316若实数x、y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_解析xy(xy)2，1x2y2xy(xy)2xy(xy)2(xy)2(xy)2，(xy)2，xy，当xy时，xy取得最大值.答案三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)解不等式组.解10x2,6)，2x2x1>0(2x1)(x1)>0x(，)(1，)，所以，原不等式组的解为x2，)(1,6)18(本小题满分10分)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)证明：函数f(x)在R上是减函数；(3)若对任意的tR，不等式f(t

8、22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范围解(1)解：因为f(x)是奇函数，且定义域为R，所以f(0)0，所以0，解得b1，所以f(x).又因为f(1)f(1)，所以，解得a2.所以a2，b1.(2)证明：由(1)知f(x)，设x1，x2R，且x1<x2，则0<2x1<2x2，2x22x1>0，所以f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上是减函数(3)解：因为f(x)是奇函数，不等式f(t22t)f(2t2k)<0等价于f(t22t)<f(2t2k)f(k2t2)因为f(x)在R上是减函数，所以t22

9、t>k2t2，即3t22tk>0对任意的tR恒成立，所以412k<0，解得k<.19(本小题满分12分)解关于x的不等式>0.解当a0时，原不等式等价于x2x2<0，解得1<x<2.当a>0时，原不等式等价于(x)(x2x2)>0(x)(x1)(x2)>0.当a时，x>1且x2；当0<a<时，x>或1<x<2；当a>时1<x<或x>2.当a<0时，原不等式等价于(x)(x1)(x2)<0.当a1时，x<2且x1；当1<a<0时，x<或

10、1<x<2；当a<1时，x<1或<x<2.综上所述，当a<1时，原不等式的解集为x|x<1或<x<2；当a1时，解集为x|x<2且x1；当1<a<0时，解集为x|x<或1<x<2；当a0时，解集为x|1<x<2；当0<a<时，解集为x|x>或1<x<2；当a时，解集为x|x>1且x2；当a>时，解集为x|1<x<或x>220(本小题满分12分)某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各产品生产量不少于15 t已知生产甲产品1 t需煤9

11、t，电力4 kW·h，劳力3个；生产乙产品1 t需煤4 t，电力5 kW·h，劳力10个；甲产品每吨利润7万元，乙产品每吨利润12万元；但每天用煤不超过300 t，电力不超过200 kW·h，劳力只有300个问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？解设每天生产甲、乙两种产品分别为x t，y t，利润总额为z万元，那么作出以上不等式组的可行域，如下图所示目标函数为z7x12y，整理得yx，得到斜率为，在y轴上截距为，且随z变化的一组平行直线由图可以得到，当直线经过可行域上点A时，截距最大，即z最大，解方程组得点A的坐标为(20,24)，所以zmax7&

12、#215;2012×24428(万元)即生产甲、乙两种产品分别为20 t、24 t时，利润总额最大21(本小题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元(1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当mn时，价值损失的百分率最大(注：价值损失的百分率×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)解(1)由题意可设价值与重量的关系式为：ykx2，3克拉的价值是54000美元，54000k·32，解得k6000，y6000x2，所以此钻石的价值与重量的函数关系式为y6000x2.(2)若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6000(mn)2，现有价值是6000m26000n2，价值损失的百分率为×100%×100%，当且仅当mn时取等号所以当mn时，价值损失的百分率最大22(本小题满分12分)(1)设函数f(x)mx2mx1.若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)已知函数y(k24k5)x24(1k)x3对任意的实数x，函数值恒大于0，求k的取值范围解(1)要mx2mx1<0恒成立，若m0，显然1<