数学必修五第一章解三角形单元质量评估

1、第一章单元质量评估(一)一、选择题(每小题5分，共60分)1在ABC中，a7，b14，A30°，则此三角形解的情况是()A一解B两解C一解或两解 D无解解析：因为absinA，故该三角形有一解答案：A2边长为2,4,2的三角形的最大角与最小角的和是()A90° B120°C135° D150°解析：由已知条件可知，该三角形是直角三角形，而且最小角为30°，所以最大角与最小角的和是120°.故选B.答案：B3在ABC中，AB，A45°，C75°，则BC等于()A3 B.C2 D3解析：AB，A45°

2、;，C75°，由正弦定理得，即.BC3.答案：A4在ABC中，AB3，AC2，BC，则·等于()A BC. D.解析：根据余弦定理，得cosA.于是，·AB·ACcosA3×2×.答案：D5.某市在“旧城改造”工程中，计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这种草皮需要()A450a元 B225a元C150a元 D300a元解析：草皮的面积为×20×30×sin150°150(m2)答案：C6在ABC中，已知sin2Asin2Bsin2C，且sinA

3、2sinBcosC，则ABC的形状是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：由sin2Asin2Bsin2C及正弦定理可知a2b2c2A为直角；而由sinA2sinBcosC，可得sin(BC)2sinBcosC，整理得sinBcosCcosBsinC，即sin(BC)0，故BC.综合上述：BC，A.答案：D7在ABC中，A>B，则以下不等式正确的个数为()sinA>sinBcosA<cosBsin2A>sin2Bcos2A<cos2BA0个 B1个C2个 D3个解析：由题意知，sinA>sinB，cosA<cosB均正确，由

4、sinA>sinB>0可知sin2A>sin2B，cos2A<cos2B.故正确个数为3个，选D.答案：D8.在ABC中，A15°，B30°，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且b1，则ABC的面积为()A. B.C. D.解析：由，得c，又sin15°sin(45°30°)，所以SABCbcsinA×1××.答案：C9飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10 000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标C的

5、距离为()A5 000米 B5 000米C4 000米 D4 000米解析：如图，在ABC中，AB10 000米，A30°，C75°30°45°.根据正弦定理，BC5 000(米)答案：B10甲船在岛B的正南方A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A.分钟 B.分钟C21.5分钟 D2.15分钟解析：设t小时后，甲、乙两船相距l千米，此时甲离B岛(104t)千米，乙离B岛6t千米根据余弦定理，l2(104t)2(6t)2

6、2(104t)×6tcos120°28t220t100.当t小时分钟时，甲、乙两船相距最近答案：A11在ABC中，若2···，则ABC是()A等边三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D直角三角形解析：由已知得2·()·2··0，即，故三角形是以角C为直角的直角三角形答案：D12.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成该八边形的面积为()A2sin2cos2Bsincos3C3sincos1D2sincos1解析：每个等腰三角形的底边为2sin，底

7、边上的高为cos，所以该八边形的面积为4×·2sin·cos4sin22sin2cos2.答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)13在ABC中，a5，b3，C120°，则sinA_.解析：由余弦定理得c2a2b22abcosC，c7.由正弦定理有sinA.答案：14若3ab2c,2a3b3c，则有sinAsinBsinC_.解析：解方程组abc357，sinAsinBsinCabc357.答案：35715在锐角ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若B2A，则的取值范围是_解析：CAB3A，<A<.由正弦定理得2cosA(，)答

8、案：(，)16代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将持续_小时解析：设台风中心开始时的位置为P，移动后(A码头受到台风影响时或影响结束时)的位置为Q，记PQx，由题意得35024002x22x·400cos60°，解得x150或250，则A码头从受到台风影响到影响结束时台风中心移动的距离为100千米，需时间2.5小时答案：2.5三、解答题(共70分)17(本小题10分)(2010年全国卷)

9、ABC中，D为边BC上的一点，BD33，sinB，cosADC，求AD.解：由cosADC>0知B<，由已知得cosB，sinADC，从而sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB××.由正弦定理得，所以AD25.18(本小题12分)如图所示，在四边形ABCD中，AC平分DAB，ABC60°，AC7，AD6，SACD，求AB的长解：在ACD中，SACDAC·ADsin1，sin1，sin2.在ABC中，BC5且cos2，BC2AB2AC22AB·ACcos2，即25AB24911AB，(AB8)·

10、;(AB3)0，AB8或AB3.19(本小题12分)已知：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B45°，b，cosC.(1)求边a的长；(2)设D为AB的中点，求CD的长解：(1)cosC，sin2Ccos2C1,0<C<，sinC.B45°，ABC，sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC××.由正弦定理，得a3.(2)方法1：在ABC中，由余弦定理得c2b2a22abcosC()2(3)22××3×4，即ABc2，BDAD1.在DBC中，CD2BD2BC22BD·BCco

11、sB12(3)22×1×3×13，CD.方法2：延长CD到E点，使CDDE，连接AE，BE，则四边形ACBE为平行四边形(2CD)2BE2BC22BE·BCcos(ACB)()2(3)22××3×()52，CD.20(本小题12分)在ABC 中，内角A，B，C对应的边长分别是a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面积等于，求a，b；(2)若sinB2sinA，求ABC的面积解：(1)由余弦定理，得c2a2b22abcosC，整理得a2b2ab4，又因为ABC的面积等于，所以absinC，得ab4.联立方程组解得a2，b2

12、.(2)由正弦定理，sinB2sinA可转化为b2a，联立方程组解得a，b.所以ABC的面积SabsinC.21(本小题12分)如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°方向，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°方向，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在ABC中，BC30海里，B30°，ACB135°，A15°.由正弦定理知，即，AC15()(海里)于是，A到BC所在直线的距离为：ACsin45°15()×15(1)40.98(海里)它大于38海里，所以船继续向南航行没有触礁