2016年全国2卷高考文科数学试卷及答案

1、2016年普通高等学校招生全统一考试文科数学本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共24题，共150分、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)已知集合A="2,3,B=1xx2<9则APlB=(2)(3)(4)(5)(6)(A) -2,-1,0,123(B)-1,0,1,2)设复数z满足z+i =3i ,则z =(A) -1 +2i(B) 1 -2i(C) 3 2i函数y = Asin（x +平）的部分图像如图所示，则一 .一 冗、(A) y =2sin(2x -)(B) y = 2sin(2x-) 3(C)

2、(D)"1,2,3?3-2i(D)七,2(C) y =2sin(2x ) 6(D) y = 2sin(2x+) 3体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为(A) 12n32(B) 二3(C) 8二(D)设F为抛物线C :1 (A)一2圆 x2 , y2(A) 32ky2=4x的焦点，曲线y = （k A0）与C交于点P x(B) 13（C）2 2x8y+13=0的圆心到直线ax+ y1=0的距离为1,（B）4(C) 3(D) 2右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(A)20 71(B)24兀(C)28兀PF _L x 轴,(D) 2(D)3

3、2兀(8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15秒才出现绿灯的概率为(A)5(B)-8(D)(9)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x = 2 , n =2,依次输入的a为2, 2, 5,则输出的s =(A) 7(B) 12(C) 17(D) 34(10)下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y =101gx的定义域和值域相同的是x1(A) y=x(B)y =1gx(C)y=2(D)y= ix冗(11)函数 f (x) =cos 2x+6cos (二-x)的最大值

4、为 2(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(12)已知函数 f (x) (x w R)满足 f (x) = f (2 x),若函数 y = x2 - 2x - 3 与my = f(x)图像的交点为(xi, y1),(x2,y2),，(xm,ym),则 Z xii 1(A) 0(B) m(C) 2m(D) 4m第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)(24)题为选考题，考生根据要求作答。、填空题：本题共4小题，每小题5分。(13)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a/b,则m=.工x-y1-0,(14)若x,y满足约束条件x

5、+y3至0,则z=x2y的最小值为、x-3<0,4一5(15)ABC的内角A,B,C的对边分力1J为a,b,c,右cosA=，cosC=，a=1/lb=513(16)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是.、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)等差数列lan中，且a3+a4=4,a5+a7=6.(i)求An)的通项公

6、式；(n)记bn=口口求数列依的前10项和，其中IX】表示不超过x的最大整数，如b.9】=0,12.6】=2.(18)(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数01234至5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了设该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:出险次数01234>5概数605030302010(I)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(n)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基

7、本保费的160%'.求P(B)的估计值;(m)求续保人本年度平均保费的估计值.(19)(本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(I)证明：AC_LHD(n)若AB=5,AC=6,AE=5,OD'=2J2,求五棱锥D'ABCFE的体积.4(20)(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x+1)lnxa(x1).(i)当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程;(n)若当xw(1,+=c)时，f(x)>0,求a的取值范围.(21)(本小题

8、满分12分)22已知A是椭圆E：土+L=1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E43上，MA_NA.(I)当AM=|AN时，求4AMN的面积；(n)当2AM=AN时，证明：v3<k<2.请考生在第(22)(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，在正方形ABCD中，E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合)，且DE=DG,过D点作DF1CE,垂足为F.(I)证明：B,C,G,F四点共圆;(n)若AB=1,E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.AB(23)(本小题满分10分)选修4

9、-4:坐标系与参数方程22_在直角坐标系x0y中，圆C的方程为(x+6)+V=25.(I)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；xtcosot(n)直线l的参数方程是3x,(t为参数)，l与C交于A,B两点，AB=J10,求l的斜率.y=tsina,(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲11、一已知函数f(x)=x-/+x+5，M为不等式f(x)<2的解集.(I)求M;(n)证明：当a,bwM时，a+b<|1+ab.2016年全国卷n高考数学(文科)答案A(4) A D(6) AC(10) D(11) B(12) B(15) 21(16) 1

10、 和 3131 .选择题(1) DC(3)C(8)B(9)2 .填空题(13) -6(14)-5三、解答题(17)(本小题满分12分)(I )设数列an的公差为2d,由题意有2al5d=4,a15d=3解得a11,d,5所以an的通项公式为an(n)由(i)知bn=12nl3当n=1,2,3时，1M2n3<2,bn=1；52n3当n=4,5时，2<<3,bn=2；5当n=6,7,8时，3<2n3<4,bn=3;52n3当n=9,10时，4<-<5,bn=4,所以数列bn的前10项和为1父3+2父2+3父3+4父2=24.(18)(本小题满分12分)(I

11、 )事彳A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为60 50200= 0.55 ,1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于 1且故P(A)的估计值为0.55.(II)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于小于4的频率为30+30=0.3,200故P(B)的估计值为0.3.(m)由题所求分布列为:保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查200名续保人的平均保费为0.85aX0.30+ax0.25+1.25a父0.15+1.5a黑0.15+1.75a父0.30+2ax0.10=1.1925a,因此，

12、续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.(19)(本小题满分12分)(I)由已知得，AC_BD,AD=CD.AECF又由AE=CF得CE=CF,故AC/EF.ADCD由此得EF_LHD,EF_LHD',所以AC/HD:.OHAE1(II)由EF/AC得OH=.DOAD4由AB=5,AC=6得DO=BO=JAB2-AO2=4.所以OH=1,DH=DH=3.于是OD”十OH2=(272)2+12=9=D'H2,故OD'_LOH.由(I)知AC_LHD',又AC_LBD,BDnHD'=H,所以AC_L平面BHD:于是AC-LOD:又由OD'_LOH

13、,ACpOH=O,所以，OD'_L平面ABC.又由EFACDHDO得 EF =9.211969五边形ABCFE的面积S=父6父8父一父3=.2224一.169-23.2所以五棱锥D'-ABCEF体积V=1:空*2，2=旦工.342(20)(本小题满分12分)(I)f(x)的定义域为(0,十比).当a=4时，1一.f(x)=(x+1)lnx4(x1),f(x)=lnx+3,f(1)=-2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1)处x的切线方程为2x-y-2=0.(II)当xW(1,+g)时，f(x)>0等价于lnx-a(x1)>0.x1令g(x)=lnx-a(x

14、,则x12a(x 1)2x2 2(1 -a)x 12x(x 1),g(1) = 0(i)当a£2,xw(1,")时，x2+2(1a)x+1之x22x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在xw(1,依)上单调递增，因此g(x)>0；(ii)当a:>2时，令g'(x)=0得x1a1-J(a"J-1,x2=a-1+J(a-1)?_1,由x2A1和x1x2=1得x1<1,故当xw(1，x2)时，g'(x)<0,g(x)在xw(lx2)单调递减，因此g(x)：二0.综上，a的取值范围是(-馅,21(21)(本小题满

15、分12分)(I)设M(x,y1)，则由题意知y1>0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为；，又A(2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.22将x=y2代入±+L=1得7y2_12y=0,431212解得y=0或y=所以y1=y11212144因此AAMN的面积S於MN=2父1父上乂上二144.A2774922(II)将直线AM的方程y=k(x+2)(kA0)代入圣十2-=1得4322_2_2(34k2)x216k2x16k2-12=0.由 x1 ( -2)=16k2 -123 4k2得x1 =2(3 -4k2)3 4k2，故 | AM |= 1 k2|Xi 2|=1

16、2.1 k23 4k2由题设，直线1 .AN的万程为y = (x + 2),故同理可得k|AN尸12k 1 k24 3k2,r2kr32由21AMHAN|得2=2,即4k36k2+3k8=0.34k243k2设f(t)=4t36t2+3t8,贝Uk是f(t)的零点，f'(t)=12t212t+3=3(2t1)2之0,所以f(t)在(0,+oc)单调递增，又f(73)=15乔-26<0,f(2)=6A0,因此f(t)在(0,+/)有唯一的零点，且零点k在(J3,2)内，所以J3<k<2.(22)(本小题满分10分)(I)因为DF1EC，所以ADEF-ACDF,则有.GD

17、F=.DEF=.FCB,=CFCDCB所以ADGFACBF,由此可得ZDGF=NCBF,由此ZCGF+/CBF=180°，所以B,C,G,F四点共圆(II)由B,C,G,F四点共圆，CG_LCB知FG_LFB,连结GB,由G为RtADFC斜边CD的中点，知GF=GC,故RtBCGRtBFG,因此四边形BCGF的面积S是AGCB面积S居CB的2倍，即S -2S,GCB11=2122(23)(本小题满分10分)(I)由x=Pcose,y=Psin8可得C的极坐标方程P2+12Pcos8+11=0.(II)在(I)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为e=ot(PwR)由A,B所对应的极径分别为R,%,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得P212Pcos：；11=0.于是：1P2=-12cos;，：1P2=11,|ABHR-：2|=,(R：2)2-4：1：2-144cos21-44,由|AB|=>/10得cos2a=3,tana=±,83所以i的斜率为W5或一装.33(24)(本小题满分10分)1111(I)先去掉绝对值，再分x<2，-2Ex=2和xA/三种情况解不等式，即可得M；(II)采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a,bwm时，a+b<1+ab.-2x,x<-,2一11试题斛析