2016年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

1、2016年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）（解析版）2016年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1 .设全集U=R,集合A=x|Ovxv2,B=x|xv1,则集合（？UA）nB=（）A.（-8,0）B.（-8,0C.+8）D.2,+8）2,若复数z满足z+z?i=2+3i,则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3 .在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin（A+B）=1,a=3,c=4,则sinA=（）A.等B.iC.总D.片4 .某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）I

2、N/I.jfi'iI_-.i._Z._r.I*ZX1i1工l门tjIns例1"）荏用A.2B.小C.3D,2/25.aa,b,c,d成等差数列"是"a+d=b+c"的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f行取包,已知某家庭今年前三个月的煤气费如表月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元7.如图，点A,B在函数y=log2x+2的

3、图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若4ABC为等边三角形，且直线BCIIy轴，设点A的坐标为（m,n）,则m=（）殳1一叱A.2B.3C.正D.例8.设直线l:3x+4y+a=0,圆C：(x-2)2+y2=2,若在圆C上存在两点P,Q,在直线l上存在一点M,使得/PMQ=90。，则a的取值范围是()A.18,6B.656，6+5&C.-16,4D,-6-5+-6+啊二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分)9 .在二项式&弓J的展开式中，常数项等于10 .设x,y满足约束条件3人则z=x+3y的最大值是.11 .执行如图所示的程序框图，输出的S值为u1*M/前:HS

4、/工口12 .设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=±苧X,则其离心率为;若点（4,2）在C上，则双曲线C的方程为.13 .如图，4ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BD/AC,过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F,若AB=AC=4,BD=5,贝惨;AE=.14 .在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有部优秀

5、影片.三、解答题(共6小题，满分80分)15 .已知函数f(x)=(1+tanx)cos2x.(1)若a为第二象限角，且sina等，求f(a)的值；(2)求函数f(x)的定义域和值域.16 .某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为5组：0,10),10,20),20,30),30,40),40,50,并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)写出a的值;(2)试估计该校所有学生中，阅读时间不小

6、于30个小时的学生人数；(3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.17.如图，正方形ABCD的边长为4,E,F分别为BC,DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得/DFA=60°,设G为AF的中占(1)求证：DGLEF;(2)求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；(3)设P,Q分别为线段DG,CF上一点，且PQ/平面ABEF,求线段PQ长度的最小值.fi£2119.已知椭圆C：f+3=1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为(1)求椭圆C的方程；(2

7、)设过点B(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点，点B关于原点的对称点为D,若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围.20.已知任意的正整数n都可唯一表示为n=a0?2k+a/"1+-+ak-i'21+ak?20,其中a0=1,a1,a2,，aK0,1,kGN.对于nGN*,数歹！Jbn满足：当a。，a1,，ak中有偶数个1时，m=0；否则8=1,如数5可以唯一表示为5=1X22+0X21+1X2°,则b5=0.(1)写出数列bn的前8项；(2)求证：数列bn中连续为1的项不超过2项；(3)记数列Jbn的前n项和为吩,求满足&=1

8、026的所有n的值.(结论不要求证明)2016年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分)1.设全集U=R)集合A=x|0vxv2)B=x|x<1,则集合(？UA)nB=()A.(一°°)0)B.(一°°)0C.(2)+8)D.2,+8)【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】根据全集U=R求出A的补集，再求A的补集与B的交集即可.【解答】解：:.全集U=R,集合A=x|0vxv2=(0,2),B=x|x<1=(-°°51).？uA=(-00)0U2)+°

9、°);.(?uA)AB=(-00,0.故选：B.2 .若复数z满足z+z?i=2+3i,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由z+z?i=2+3i,得召，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内z对应的点的坐标，则答案可求.【解答】解：由z+z?i=2+3i,用|2+3L12电)力,L彳寸z1H=(1+i)(1-i)-2折，则在复平面内z对应的点的坐标为：戏，上)，位于第一象限.故选：A.3 .在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin(A+B)=1,a=3,c=4,则sinA

10、=()A.等B.iC.总D.旨【考点】正弦定理.【分析】由内角和定理及诱导公式知sin(A+B)=sinC=氏再利用正弦定理求解.【解答】解：.A+B+C=it,.sin(A+B)=sinC=g,又a=3)c=4)smAsinC）*A即品#:，sinA=1,故选B.4.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）I门1.1睨阳保yl阳期愕赛国A.2B.乘C.3D,2【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长.【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，ADLAB

11、、AD/BC,AD=AB=2、BC=1,PAL底面ABCD,且PA=2,该四棱锥最长棱的棱长为PC=Vpa2+ac2=J22+22+i2=3,故选：C.5 ."a,b,c,d成等差数列"是"a+d=b+c”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】由a,b,c,d成等差数列，可得：a+d=b+c,反之不成立：例如a=0,d=5,b=1,c=4.即可判断出结论.【解答】解：由a,b,c,d成等差数列，可得：a+d=b+c,反之不成立：例如a=0,d=5,b=1,c=4.“

12、a,b,c,d成等差数列”是“a+d=b+c”的充分不必要条件.故选：A.6 .某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=；b：，Ma，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为()A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元【考点】函数的值.【分析】根据待定系数法求出A、B、C的值，求出f(x)的表达式，从而求出f(20)的值即可.【解答】解：由题意得：C=4,将(25,14),(35,19)代入f(x)=4+B(x-A),得：f4+B(25-A)=

13、14，口俨=5解得,%0<x<5，f(x)=4号(l5),故x=20时：f(20)=11.5,故选：A.7 .如图，点A,B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若AABC为等边三角形，且直线BC/y轴，设点A的坐标为(m,n)则m=()A.2B.3C.退D,g【考点】对数函数的图象与性质.【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BC/y轴，ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出m、n的值，计算出结果.【解答】解：根据题意，设B(xo,2+log2x0),A(m,n),C(xo)log2x0) 线段BC/y轴，AABC是等边三角形，

14、BC=2)2+log2m=n, .m=2n2,.4m=2n；又x。m二行，.m=x。一气 =x0=m+E；又2+log2x。-n=1) .log2x0=n-1,x0=2n1;，m+/3=2n1；2m+2=2n=4m)/.m=V35故选：D.8.设直线l:3x+4y+a=0,圆C:(x2)2+y2=2,若在圆C上存在两点P,Q,在直线l上存在一点M,使得/PMQ=90。，则a的取值范围是()A.18,6B,65万,6+56C,16,4D.65叫6+5码【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C(2,0)到直线l的距离小于或等于2,再由点到直线的距离公式得到关于a的

15、不等式求解.【解答】解：圆C:(x2)2+y2=2,圆心为：(2,0),半径为在圆C上存在两点P,Q,在直线l上存在一点M,使得/PMQ=90°,在直线l上存在一点M,使得M到C(2,0)的距离等于2,只需C(2,0)到直线l的距离小于或等于2,r./,-|3X2+4X04a|立rytzt/心.故-Vg+ie&2,斛佝-16&a<4,故选：C.二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分)9 .在二项式K)'的展开式中，常数项等于一160.【考点】二项式定理.【分析】展开式的通项为丁田纤-峥要求常数项，只要令6-2r=0可得r,代入即可求【解答】解：展开

16、式的通项为(1，4?=令6-2r=0可得r=3常数项为2=160故答案为：16010 .设x,y满足约束条件什1）则z=x+3y的y+l>0最大值是孑.【考点】简单线性规划.【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最大值即可.【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示:由匕蓑，解得A力由z=x+3y得：y=-x+y,显然直线过A时，z最大，z的最大值是z4+3xH,故答案为：i.11 .执行如图所示的程序框图，输出的S值为一5rT.JI!【考点】程序框图.【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果.【解答

17、】解：模拟执行程序，可得i=2,S=1S=3,i=3满足条件i<10,执行循环体，i=5,S=h需=|,i=6满足条件i<10,执行循环体，i=11,Sx11-15.ii+i=而）i=12不满足条件i<10,退出循环，输出S的值为翁.故答案为：乳12 .设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为炉吗x,则其离心率为J;若点（4,2）I22在C上，则双曲线C的方程为年-（二】,【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据双曲线渐近线和a,b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求入，即可得到结论.【解答】解：二.双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=土当x,=

18、63;即5H宁=e2-1卷则e2嘲,则e=r,设双曲线方程为9-y2=入，入0,若点（4,2）在C上,人=y22=8-4=4,即双曲线方程为v-y2=4,暗一91,故答案为：当召江13 .如图，4ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BD/AC,过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F,若AB=AC=4,BD=5,则黑=;AE=6Z_:L【考点】与圆有关的比例线段.【分析】利用平行线的性质，求出哙；利用弦切角定理、切割线定理，求AE.【解答】解：7BD/AC,AC=4,BD=5.AF_AC_AFD=ED=5由弦切角定理得/EAB=/ACB,又因为，AB=AC,所以/EAB=/

19、ABC,所以直线AE/直线BC,又因为AC/BE,所以是平行四边形.所以BE=AC=4.由切割线定理，可得AE2=EB?ED=4X(4+5)二36,所以AE=6.故答案为：2；6.14 .在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有10部优秀影片.【考点】进行简单的合情推理.【分析】记这10部微电影为A-A7设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1

20、的点播量A2的点播量，且A2的专家评分A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部，以此类推可知：这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部.【解答】解：记这10部微电影为A1-A10,设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量A2的点播量，且A2的专家评分A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部；再考虑3部电影的情形，若A1的点播量A2的点播量A3的点播量，且A3的专家评分A2的专家评分A1的专家评分，则优秀影片最多可能有3部.以此类推可知：这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部.故答案为：10.三、解答题(共6小题，满分80分)15 .已知函数f(x)=(1+tanx)cos2

21、x.(1)若a为第二象限角，且sina=,求f(a)的值；(2)求函数f(x)的定义域和值域.【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域.【分析】(1)由a为第二象限角及sina的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosa及tana的值，再代入f(a)中即可得到结果.(2)函数f(x)解析式利用二倍角和辅助角公式将f(x)化为一个角的正弦函数，根据x的范围，即可得到函数值域.【解答】解：为第二象限角，且sina=F,cosa=-吼tana=-a/5.f(a)=(1+6tana)coga=3(2)函数f(x)的定义域为x|x#kTt+)kGZ,化简f(x)=sin(X+r)+,

22、x#k7t+SkGZITV卬兀 .2x+,2kTt+-kGZ兀，-Ksin(2x+r)w1 *f(x).f(x)的值域为16.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为5组：0,10),10,20),20,30),30,40),40,50,并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)写出a的值；(2)试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；(3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中

23、随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差.【分析】(1)根据频率频率直方图的性质，可求得a的值；(2)由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和；(3)分别求得，初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出X的取值及概率，写出分布列和数学期望.【解答】解：(1)由频率直方图的性质，(0.005+0.02+a+0.04+0.005)X10=1,a=0.03,(2)由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，初

24、中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为(0.03+0.005)X10=0.25,，所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25X1800=450人，同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为(0.03+0.005)X10=0.035,学生人数约为0.35X1200=420人，所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420=870,(3)初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005X10=0.05,样本人数为0.05X60=3人，同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005X10X40=2,故X的可能取值为：1,2,3,，卜田3jC宗C；3

25、P(X=1)=甘=而，P(X=2)=TT=P(X=3)p3C31=碣二元).X的分布列为：X123P.三：3319，E(X)=1XIF+2XM+3X岗=区.17.如图，正方形ABCD的边长为4,E,F分别为BC,DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得/DFA=60°,设G为AF的中占(1)求证：DGLEF;(2)求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；(3)设P,Q分别为线段DG,CF上一点，且PQ/平面ABEF,求线段PQ长度的最小值./:-/【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算.【分析】(1)由矩形性质得出EFXDF,EFXAF,故E

26、FL平面AFD,得出EFXDG;(2)证明DGL平面ABEF,以G为原点建立空间直角坐标系，求出前和平面BCF的法向量7的坐标，则GA与平面BCF所成角的正弦值为|cosv盛，n>|(3)设P(0,0,k)(0wkw4),而二人前(0入01),求出国的坐标，令而而=0得出k与入的关系，得出|画关于人的函数，根据人的范围求出函数的最小值.【解答】(1)证明：.E,F分别正方形ABCD的边BC,DA的中点，EFXDF,EFXAF,又DF?平面ADF,AF?平面ADF,DFHAF=F,.EFL平面ADF,DG?平面ADF,DGXEF.DF=AF,/DFA=60°,.ADF是等边三角形

27、，.G是AF的中点，.DGXAF.又EFXDG,EF,AF?平面ABEF,AFnEF=F,.DG,平面ABEF.设BE中点为H,连结GH,则GA,GD,GH两两垂直，以G为原点，以GA,GH,GD为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则G(0,0,0),A(1,0,0),B(1,4,0).C(0,4,，F(1,0,0).，房=（1）0）0）氤=（1）0）6）丽=（一2）-4,0）.设平面BCF的法向量为的（x）yz）则鸣:-。-2算一 4y=0令 z=2 得口=（2工2).，.=2 ；11；| = i | =1./. COSV 1；GA > =2后19 直线GA与平面BCF所成角的正弦值为吟（

28、3）设P（0,0,k）（0WkwM）,而=入标（0w入w1）,则而=（1,0,k）,辰二（1,4,痛），.,.而=（入）4入，仍入）, 笆二丽-祚=（入1,4入，也入k）.DGL平面ABEF,，而=（0,0,6）为平面ABEF的一个法向量. .PQ/平面ABEF,.而工瓦，.丽而=（6人一片）二0,.二k=6入.|=1'-二1W一告）党.，当入=今时，|画取得最小值誓.18.设aGR,函数f(x)=.(1)若函数f(x)在(0,f(0)处的切线与直线y=3x-2平行，求a的值；(2)若对于定义域内的任意xi,总存在X2使得f(x2)vf(x1),求a的取值范围.【考点】导数在最大值、最

29、小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出f(x)的导数，求得切线的斜率，解方程可得a的值；(2)对于定义域内的任意，总存在x2使得f(x2)vf(x1),即为f(x)在xw-a不存在最小值，讨论a=0,a>0,a<0,求得单调区间和极值，即可得到a的范围.丫m【解答】解：(1)函数f(x)=叠干的导数为y3a.lx(x)=7，x*a,可得函数f(x)在(0,f(0)处的切线斜率为由题意可得洋3,解得a=±1；(2)对于定义域内的任意x1,总存在X2使得f(X2)vf(x1),即为f(x)在XW-a不存在最小值，a=0时，f(x)4无最小值，显然

30、成立；a>0时，f(x)的导数为f'(x)=丁亍,可得f(x)在(-oo,-a)递减；在(-a,3a)递增，在(3a,+8)递减，即有f(x)在x=3a处取得极大值，当x>a时)f(x)>0;x<a时)f(x)<0.取x1va,x2#a即可)当x1<-a时)f(x)在(-a)递减)且x1vx1*|x1+a|v-a,f(x1)>f(x1+x1+a。故存在x2=x1尚x1+a|,使得f(x2)Vf(x1);同理当-a<x1va时，令x2=x1-|x1+a|,使得f(x2)vf(x1)也符合；则有当a>0时，f(x2)vf(x1)成立;当

31、a<0时，f(x)在(-巴3a)递减；在(3a,a)递增，在(-a,+°°)递减，即有f(x)在x=3a处取得极小值，当x>a时)f(x)>0;xva时)f(x)<0.f(x)min=f(3a)当x1=3a时)不存在x2,使得f(x2)<f(x1).综上可得，a的范围是0,+8).19.已知椭圆C:4+4=1(a>b>0)的两个a.D焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4叵.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点B(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点，点B关于原点的对称点为D,若点D总在以线段E

32、F为直径的圆内，求m的取值范围.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.【分析】(1)由题意列出方程组求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.(2)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0,|EF|=2,点B在椭圆内，由叵/得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出m我取值范围.【解答】解：(1)由题意，得忆又a2=b2+c2,解得a=&，b=1,c=1,椭圆C的方程为(2)当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0,此时，E,F为椭圆的上下顶点，且|EF|=2,点D总在以线段EF为直径的圆内，且m>0,0vmv

33、1,点B在椭圆内，由方程组3+2得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,I27"直线l与椭圆C有两个公共点，.=(4km)2-4(2k2+1)(2m22)>0,-4km9th2-2设E(X1,y1),F(X2,y2),则3工严示“上用禾T，设EF的中点GO,y»IIIo2kz+l-2kmmG(2k2+l?2k2+l)腐4r+12k加,1.|DG|=乙氏1XZ.XL1J.|EF|=也斗士词（工14立）2-4町2持1卬2Zk2+1，| DG| V吟对于k G R恒成立,.4kJizJ+d. 2k.i2k2+l点D总位于以线段EF为直径的圆内,化简，得2m2k2+7m2k2+3m2v2k4+3k2+1,整理，得-2<jC±lIII JkS3而 g (k)k'+3=1 2k2+3当且仅当m2号）k=0时，等号成立，由m>0）.解得0vmv与.m的取值范围是（020.已知任意的正整数n都可唯一表示为a?,akG0,1,kGN.n=a0?2k+a -111+a 5M+ak?2其中a0=1对于nGN*,数歹Ubn满足：当a。，a<）ak中有偶数个1时，bn=0；否则b=1,如数5可以唯一表示为5=1X22+0X2+1X2°,则b5=0.（1