1、航海专业数学基础

1、第一章 航海专业数学根底第一节 球面三角一球面几何1球面和球面上的园1球面和球球面 spherical surface ：半个圆周绕其直径旋转 360 而成的旋转面称球面。 球：球面所包围的几何体称球。球的半径：球的直径：2球面上的圆1大圆 great circle：过球心的平面和球面相截的截痕。 2小圆 small circle：不过球心的平面和球面相截的截痕。 过球面上不在同一直径两端的任意两点，只能有一个大圆，却能作无数个小圆。 一个球面上不可能有两个大圆平行，两个大圆的平面的交线是他们的直径，并 且两个大圆互相平分。2球面角和球面距离1 轴、极、极距、极线1轴 axis ：垂直于任一圆

2、面 大圆或小圆 的球直径。2极 pole ：轴与球面相交的两点。3 极距 polar distance：从大圆弧或小圆弧上的一点到极的大圆距离，又 称该圆的球面半径。球面半径并非球的半径。4极线：极距为 90 的大圆弧又称为极线或称为赤道 equator 。2球面角及其度量1 球面角 spherical angle：球面上由两个大圆弧所构成的角。其交点叫做球面角的顶点。2球面角的三种度量方法： 切于顶点的大圆弧的切线的夹角。 顶点的极线被其两边大圆弧所截的弧长。 极线上的弧所对应的球心角。3球面距离的距离和最近距离1球面距离：连接球面上两点的大圆弧长，以大圆弧所对应的球心角用度、 分、秒来度量

3、。2 球面上两点间的最近距离：过球面上两定点间小于180o 的大圆弧 劣弧。4 圆心角相等的大圆弧与小圆弧的长度关系。厶力血；&和晶份别相尊的小恻瓠长和大 團號怕T其美廉品；肌快就-总依恥., U- P因为Pi4口长度又因为肌长度 g丄M即口肌隹度月月C任JO XPa AB JO XAa结论：地球纬度圈与赤道的长度关系：ab长度Ab长度 cos例题见教材。二.球面三角形1 球面三角形spherical triangle1 球面三角形及其六要素球面三角形：在球面上由三个大圆弧所围成的三角形称为球面三角形。 球面三角形六要素：构成球面三角形的三个角和三个边。航海上研究的是六个要素均大于Oo而小于1

4、80 0的欧拉球面三角形。天文定位实质上就是解天文球面三角形。2球面三角形的分类 1 球面等腰三角形和球面等边三角形。两边或两角相等的三角形称球面等腰三角形。 三边或三角都相等的三角形称球面等边三角形。2 球面直角三角形和球面直边三角形。至少有一个角为90o的球面三角形称为球面直角三角形。至少有一个边为90o的球面三角形称为球面直边三角形。 3球面初等三角形 primary triangle 。 三个边相对于其球半径来说非常小的球面三角形称为球面小三角形 三个角 不会很小 ；只有一个角及其对边均甚小的球面三角形称为球面窄三角形； 而球面小三角形和球面窄三角形统称为球面初等三角形。4球面任意三角

5、形。 凡不具有特殊条件的球面三角形称为球面任意三角形。3球面三角形的关系1球面全等三角形。 在同球或等球上，边角对应相等，且排列顺序相同的三角形。2球面相似三角形。 在半径不同的球面上，边角度数对应相等的三角形。3球面对称三角形 从球面三角形的三顶点作直径与球面交得另外三个顶点，相连得到另一球 面三角形。 4球面极线三角形 polar triangle 。 球面三角形的三个顶点的极线所构成的三角形，称为球面三角形的球面极 线三角形。4球面三角形的性质 1球面三角形与三面角的关系2球面三角形的每一边必大于Oo而小于1800,三边之和大于 Oo而小于3600 3球面三角形两边之和大于第三边，两边之

6、差小于第三边4 球面三角形的每一角必大于00而小于1800,三个角的和大于 1800而小于 540o5 球面三角形三角之和超出1800的局部称为球面盈角。6 球面三角形两角之和减去第三角小于1800 7球面三角形的外角小于相邻的两内角之和而大于它们之差。5 球面三角形的成立条件 1当给定了球面三角形的三个边时： 任一边应大于 00,小于 1800； 三边之和大于 00,小于 3600； 二边之和大于第三边或二边之差小于第三边。 2当给定了球面三角形的三个角时： 任一角应大于 00,小于 1800； 三角之和大于 1800,小于 5400； 二角之和减去第三角小于180。(3) 假设给定球面三角

7、形的两个角及其夹边或两个边及其夹角，那么仅需满足每一个角和每一个边大于叽小于180。的条件，球面三角形都成立。(4) 假设给定球面三角形的两个角及其一个角的对边，或两个边及其一边的对 角，那么该三角形是否成立，情况比拟复杂。2.解球面三角形(1)余弦公式(cosine formula):边的余弦公式是：cosa=cos bcosc+sin bsinc cosAcosb=cos acosc+sin asin ccosB cosc=cos acosb+sin asin bcosC一个边的余弦等于其它两边余弦的乘积加上这两边正弦及其夹角余弦的乘积。 角的余弦公式是：cosA=-cos BsosC+s

8、in Bsin CcosacosB=-cosGbosA+sin Csin AcosbcosC=cosAcosB+sin Asn Bcosc一个角的余弦等于其它两角余弦的乘积冠以负号加上这两角正弦及其夹边余弦 的乘积。(2 )正弦公式(sine formula) :各边的正弦与其对角的正弦成比例。sin asinbsinesin Asin BsinC(3) 余切公式即四联公式 (four parts formula) :ctg asin b=ctg As in C+cosCcosbctg asin c=ctg As in B+cosBcoscctg bsin a=ctg Bsin C+cosCc

9、osactg bsin c=ctg B+cosAcoscctg csin a=ctg Csin B+cosBcosactg csin b=ctg Csin A+cosAcosb外边余切内边正弦的乘积等于外角余切内角正弦的乘积加上内边内角余弦的乘 积。四联公式可以转化，例：ctg asin b=ctg As in C+cosbcosC 可转化成：ctg A=ctg asin bcscC-cos bctg C3球面直角三角形公式和球面直边三角形公式：(“大字法那么)1) 球面直角三角形(right-angled triangle)公式：任一要素的正弦，等于相邻二要素正切的乘积或等于相隔二要素余弦的

10、乘积。 假设a和b,求c。按任一要素的正弦等于与其相隔二要素余弦乘积的法 那么，可得：sin(90 o- c)=cos acosbcosc=cosacosb又假设 A和B,求c。按任一要素的正弦等于与其相邻二要素正切乘积的法 那么,可得：sin(90 o- c)=tg(90- A)tg(90- B)cosc=ctg Actg B2) 球面直边三角形 (quadrantal triangle) 公式： 任一要素的正弦,等于相邻二要素正切的乘积或等于相隔二要素余弦的乘积。假设等式右边的正切和余弦的乘积中,遇有两个要素都是边或都是角时,那么在乘积之前 冠以负号。4球面初等三角形1) 球面小三角形其特

11、点是：A 三边相对球半径甚小；B 三角不会很小；C 三角和接近 180；D 其面积接近平面面积。一般可将球面小三角形视为平面三角形进行近似计算。2) 球面窄三角形其特性是：A. 边a相对球半径甚小；B. 小边的对角 A也很小；C. 另外两边的差很小(两边近似相等b-c);D. 小边的邻角等于另一邻角的外角，B- C外。3) 解球面窄三角形，小边a与其邻角B及边c,而需要求角 A及边bo ( 1)求 b 边的第一近似公式和第二近似公式；(c b)1acosB(c b)2a sin B 2acosB 2 coses inb( )2 sin c(c b)i2asin 2 Bctgccosc2求角A第

12、一近似值和第二近似值公式a sin BAisi nc在第一近似值不能满足高精度要求时，可求第二近似值。sin 2 Bctgccosca sinB a sinBacosBctgc A1 si ncsi nc4度与弧度的换算关系如下：3602210017453 弧度360咖3601 弧度57 .334382某一角，其值用度或分制单位表示为x或x，用弧度制单位计量，那么它们之间的关系为：rXXX弧度一57 .33438arc11=1。的弧度值0.01745弧度57 .3arc11=(1 的弧度值)=0.00029弧度3438上式那么可写成：x弧度x arc1 =x arc1 5 球面三角形的解法1

13、画图法：根据该三角形的条件，画出示意图，求出未知量 例： a=50 ,b=70 ,C=120 画图求 c A B解：在球上取 B、C两点，使BC=a= 50 ,过C点作与BC夹角120的大圆弧在大圆弧上取 CA=70=b用大圆弧连接BA那么三角形ABC即为所求球面三角形 在此三角形上量出 c=105 ,A=75 ,B=702 公式法：根据条件，选择适宜的公式，求出未知量。有以下几种解法： 三角函数对数表法已经淘汰。查表法天文中讲。计算器解算法用得最多，这里只讲此方法。第二节观测误差一、观测误差的种类、性质与处理方法1观测 定义：观测也称测量。它是将所求量与作为测量单位的同类量作比拟而得出测定

14、值，是一个较复杂的过程。按观测条件及观测结果的质量， 分类：等精度观测和非等精度观测。2误差：观测值与所观测量的真值之间的差值。1 误差 = 观测值 - 真值2产生观测误差的主要原因有： 人为过失 测量仪器的不完善 测量方法不准确 测者感观上的缺陷 环境条件的影响 所用的计量单位不能量尽被测量的量3误差的种类观测误差按其性质可分为：1粗差 mistake ： 由于观测方法的谬误或者由于观测者的粗心大意等过失而产生的误差。如看错 物标，读错读数，以及测量方法上的错误等等。2系统误差 systematic error：它服从于一定的函数关系。在同一条件下反复观测时，它不改变数值和符号；在条件变化时

15、，误差或保持不变，或按一定 的规律变化着。如存在于罗经中的基线误差或罗经差、六分仪中的指标差、计 程仪改正率、以及天体高度改正等都属于系统误差。3偶然误差 随机误差 ,random error ： 其个别值不服从任何一定的函数关系。在同一观测条件下，它不断地改变数值 和符号。随着观测次数增多，它产生的原因是临时性的、偶然性的和随机性 的。从总体上看，呈现出统计学上的规律，观测次数越多，这种规律性越明 显。如测量值中的观测误差和凑整误差、航向不稳而引起的误差，船舶摇摆而 引起的观测误差等都属于偶然误差。根本特征：A 在一定的观测条件下，偶然误差的数值有一个限度；B绝对值小的误差出现时机比绝对值大

16、的误差出现时机较多；C绝对值相等的正误差与负误差，其出现的时机相等。D当观测次数无限增多时，误差的算术平均值趋于零。4 误差的处理方法观测误差的消除和削弱的方法，是根据误差的种类不同而不同。1粗差：一般用重复观测或检核计算的方法来发现和消除它，对观测者来说应该尽可能 地防止发生和排除粗差的产生。2 系统误差的消除，通常采用以下两种方法：A解系统误差的规律，针对既定情况，将它求出或测出，然后对观测结果加以 改正消除它。如仪器的零点差、某地区的磁差、一定航向上的自差、计程仪 的误差、天体高度天文蒙气差等等。B直接求出该系统误差，而是采用适当的测量方法和步骤，将它的影响消除 掉。如三方位陆标定位时，

17、就是消除系统误差的方法。3偶然误差：对偶然误差性质的了解、规律的掌握和由此所采取的相应措施，可使我们在一 定程度上削弱它的影响。二、观测的最概率值及其精度1 .偶然误差的概率分布 偶然误差服从正态分布密度函数(2m 2式中：一一偶然误差值；m 该观测组的均方误差sta ndard error从函数分析可知：1f为偶函数，在=0处，曲线有一顶峰=-2，由顶峰向两边对称下降，其拐点位置在=m处，下降到两端趋于平缓，并以横轴为渐近线。这曲线反映了观测偶然误差的根本特征。2当观测值的均方误差改变时，曲线的峰值、形状也随着改变。m减小峰值增加，但曲线以下面积仍等于 1，所以曲线两边很快趋近横轴 如图1-

18、2-2所示。m值愈小，表示 观测组中绝对值小的误差愈多，那么观测愈精确。2、观测误差尺度及其概率1误差尺度的选择衡量的几种尺度：(1)误差的算术平均值 一-利用高斯符号表示 ，不能作为衡量误差的尺度。nn(2)误差绝对值的算术平均值(称为平均误差)，比拟正确反映了观测的精确n度，可以用来作为衡量观测误差的尺度。(3 )均方误差m=均方误差(或称标准误差)正确地反映了观测组的精确度，更加如实地反映了观测组 误差如下的本质： 它不等于零，因为绝对不含误差的观测是不可能的； 它与诸 i的符号无关，因为误差的符号对观测组精确度的评定并无实际意义; 较大误差的影响能更明显地反映岀来； 它比拟稳定，在观测

19、次数足够多的情况下，任意多一次或少一次，均方误差变动 不大。观测组的均方误差也称为单一观测的均方误差。2)偶然误差概率的计算令t=,标准正态分布密度函数mf(t)=误差值式中:t=m=均方误差显然误差落在-tm、+tm区间的概率tmtm1.22 dt正态分布函数为偶函数P tmtmI2dt极限误差二3m大于3m的误差那么视为粗差，其观测值剔除不用。但在要求较高的观 测中也有用2m作为极限误差，以确保观测结果的准确性。概率等于50%的误差界称为或然误差或中央误差，即误差绝对值大于或然误差或小于或然误差的时机均为50%。t=0.6745时其概率恰为50%,所以或然误差与均方误差的关系为：2 =0.