小学的奥数之容斥原理

1、标准实用容斥原理（一）【例题分析】例1.有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图放在桌面上, 求这两个图形盖住桌面的面积？分析与解：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的面积 是：4x3-2= 6 （平方厘米）方法一：8x6+ 52- 6 = 67 （平方厘米）方法二：2x6-6+5=67 （平方厘米）方法三：53 - 6+8x 6 = 67 （平方厘米）答：盖住桌面白面积是67平方厘米。例2.六一班参加无线电小组和航模小组的共 26人，其中参加无线电小组的有 17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？分析与解：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两

2、次，所以 减去总人数，就是两组都参加的人数17 + 14-26 = 5 （人）。也可以这样解：门一（26-14） = 5 （人）或 14-（26-17） = 5 （人）答：两组都参加的有5人。例3.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既 会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人， 从中减去会骑车 或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。19+25-7 = 37 （人）46-37 = 9 （人）答：既不会骑车又不会游泳的有9人。例4.某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术

3、小组有 20 人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小 组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有 6人，同时参加美术和手工两个小组 的有7人,三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠 的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。20 + 24+31-5-6-7 + 3 = 60 （人）答：这个年级参加课外小组的有60人。例5.某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有 4人三项都未达到优秀，其他人 至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。短跑投掷跳远跑跳跑投跳投

4、三项19212091063分析与解：根据题意画出如下图要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数, 加上三项都未达到优秀的，就是全班人数。19+21 + 20-9-10-6 + 3=3g （人）38+4 = 42 （人）答：全班有42人。例6.分母是105的最简真分数有多少个？分析与解：这些分数是最简真分数，所以分子应小于105,只能是1104 中的自然数，而且分子与105要互质。因为105 = 3x5x7,所以分母不能是3 的倍数或5的倍数或7的倍数。所以，要求有多少个最简真分数，实际上就是求 1 104这104个自然数中不能被3、5、7整除的数有多少个。因此要先求出能 被

5、3整除或能被5整除或能被7整除的数有多少个。能被3整除的数：104+3=34 （个）能被5整除的数：10445 = 20 （个）能被7整除的数：104 + 7 = 14 （个）能同时被3和5整除的数：104-（3x5） = 6能同时被3和7整除的数：104,0x7） = 4能同时被5和7整除的数：W4-（5x7）=234 + 20 + 14-6-4-2 =56 （个）104-56 = 43 （个）答：分母是105的最简真分数有48个。【模拟试题】（答题时间：30分钟）1 .有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上，两两相交的面积分别是8、10、12平方厘米，三个圆相交的面积是 5平方厘米，求三

6、个圆盖住桌面的面积？2 .某区有100名外语教师懂英语或日语，其中懂英语的有75名，既懂英语又懂 日语的有20人。只懂日语的有多少名？3 .某班数学测验时有10人得优，英语得优有12人，两门都得优有3人，两门 都没得优的有26人。全班有多少人？4 .六年级一班春游，带矿泉水的有 18人，带水果的有16人，这两种至少带一 种的有28人，求两种都带的有多少人？5 .在1至100的自然数中，不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除 的数共有多少个？容斥原理（二）【例题分析】例1.有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次

7、达到优秀的有15人, 三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？分析与解：“每人至少有一次达到优秀” 说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。25人10 + 13+15-25-1x2= 11 （人）答：只有两次达到优秀的有11人。例2.在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有 3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有 1人；三样都要的有1人。问：共有 几个小朋友去了冷饮店？分析与解：根据题意画图。方法一：6+6+4-。+1)-(0+1)-

8、(1+1)+1 = 10(人)方法二：6+6+4-3-1-1x2 = 10 （人）答：共有10个小朋友去了冷饮店。例3.有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有 8人没参加跑 的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是 17人。问：只参加 跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加 一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。28-17-8=3 （人）答：只参加跑和投掷两项的有3人。例4.某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有 30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数

9、学小 组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的 人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。分析与解：根据已知条件画出图。三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加 语文又参加英语的有y人，可以列出这样的方程：30 + 20+10-1-广3+1 = 49整理后得：."由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数 2,另一个质数答：既参加英语又参加数学小组的为 2人或7人。例5.某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学 20人，语文20人，英 语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分

10、者7人，语文、英 语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？分析与解：根据题意画图。设三科都得满分者为x全班人数.二二整理后：全班人数=39+x39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就最多，当x取最小值 时，全班人数就最少。x是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而 x中的 人数一定不超过两科得满分的人数，即 元乙工二8且XW9,由此我们得到 I<7o另一方面x最小可能是0,即没有三科都得满分的。当x取最大值7时，全班有（39+7 =）46人，当x取最小值0时，全班有 （39+0=） 39 人。答：这个班最多有46人，最少有39人【模拟试题】（答题时间：30分钟）21 .六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有 弓的人订少年报，2有5的人订数学报，两种刊物都订的有多少人？2 .小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积 时，两家登记表如下表（单位：平方米）姓名居室门厅厨房厕所总面积小明14128438小龙20128444他们住的一套房子共有多少平方米？3 .某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又 知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均