小高奥数几何-三角形五大模型及例题解析汇报

1、实用标准文档三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。重点模型重温一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；/ s1 s两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；a ' b如右图G § = a:bA B夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 $acd=&bcd；/V7反之，如果Saacd =Sa BCD ,则可知直线 平行于CD .一CDACDBCD等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；三角形面积等于与它等底等高的平行

2、四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.二、等分点结论（“鸟头定理”）21 1如图，三角形AED占三角形ABC面积的X-=-三、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”) Si ： &二S4 : & 或者 Si X &=&X S4AO： OC= (S+S2) : (S+S)梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) Si : s=a2 ： b2S ： 4 ： & ： S4= a2 ： b2 ： ab ： ab ;S的对应份数为（a+b） 2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：两

3、个三角形对应边城比例，对应角相等。(2)判断相似的方法：两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；两个三角形若有两条边对应成比例， 且这两组对应边所夹的角相等则两个 三角形相似。旦二b 一A B C H Si : S=a2 ： A模型五：燕尾定理$ ABG SA AG已 SA BGE $ GE槌 BE: EC$ BGA SA BG已 SAAGF SAGFC= AF: FC;SAAGC SA BC8 SAADG SA DGB= AD DB【重点难点解析】1 .模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2 .在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1.三角形面积等高成比2.“鸟头定理”3.

4、“蝴蝶定理”【习题精讲】【例11 （难度等级派）如图，长方形 ABCD勺面积是56平方厘米，点 E、F、G分别是长方形 ABCD边上的中点，H 为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积 .文案大全【例2】（难度等级X）如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分AH的面积是平方厘米.【例3】（难度等级米）如图，在三角形 ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形 EBF的面积是多少平方厘米？【例4】（难度等级派）如图，在面积为 1的三角形 ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延 长CF交AB边于E,求三角形AEF

5、和三角形CDF的面积之和。【例5】（难度等级）如右图BE=I BC, CD= AC,那么三角形 AED的面积是三角形【例6】（难度等级X）ABC面积的几分之几?如图所示，四边形 ABCDr AEGF都是平行四边形，请你证 明它们的面积相等.【例71 （难度等级X）如图，在长方形ABCM, Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果 AB=24厘米，BC=8厘米,求三角形ZCY的面积.【例8】（难度等级派）如图，正方形ABCD勺边长为4厘米，EF和BC平行，ECH 的面积是7平方厘米，求 EG的长。【例10（难度等级）如图已知四边形 ABC丽 CEFGTB是正方形，且正方形 ABCD勺边长为10厘米，

6、那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米 ？【例11（难度等级）如图，一个长方形被切成 8块，其中三块的面积分别为12,23, 32,则图中阴影部分的面积为 ？【例12（难度等级 派）如图，平行四边形 ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16 厘米。求平行四边形 ABCD勺面积。【例13（难度等级）如右图，正方形 ABCD勺边长为6厘米， ABE 4ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.【例14（难度等级）如图，三角形 ABC被分成了甲（阴影部分）积是乙部分面积的几分之几？、乙两部分，BD=DC=4 BE=3, AE=6,甲部分面【例15

7、（难度等级X）某公园的外轮廓是四边形 ABCD被对角线AC BD分成四个部分，4AOB面积为1平方平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米?D千米，BOC®积为2平方千米，COD勺面积为3平方千米，公园陆地的面积是 6.92【例16（难度等级云）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积是多少平方厘米49A354厘米，求三角形 ABC【作业】1.如图，三角形 ABC中，DC=2BD, CE=3AE,三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形 ABC的面积是多少?2.如右图所示,在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13, 35, 49.那么图中阴影部分的面积

8、是多少?3 .右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是的面积。4 .如图，平行四边形 ABCD BE=AB CF=2CB GD=3DCHA=4AD平行四边形 ABCD勺面积是2,求平行四边形ABCDW四边形EFGH的面积比.5 .如图，在 ABC中，延长 BD=AB CE=1 BC, F是AC的中点, 2若 ABC的面积是2,则4 DEF的面积是多少？【例11 （难度等级派）如图，长方形 ABCD勺面积是56平方厘米，点 E、F、G分别是长方形 ABCD边上的中点，H 为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.【分析与解】如右图，连接 BH HC由E、F、G分别为 AB BG CD三边的

9、中点有 AE=EB BF=FG CGCD因此S1=S2, S3=S4, S5=S6，而阴影部分面积=S2+S3+S6,空白部分面积=S1+S4+S5.所以阴影部分面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部分面积为28.【例2】（难度等级派）如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.【分析与解】上排4个阴影三角形的高都等于 BF,底边之和恰好为 AB,他们的1面积之和为一BFMAB；下排4个三角形的图都等于 CF,底边之和恰好为 CD他们的面积 2、11 一一一 一、 .之和为CF m CD = CF m AB.所以阴影部

10、分面积为：221 111 、一，-BF xAB + CF x AB = BCx AB = 父3乂4 = 6（平万厘米）.2 222【例3】（难度等级X）如图，在三角形 ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形 EBF的面积是多少平方厘米？【分析与解】、，_1 _ _首先，%bc=1BCmad=24平万厘米'而F是AC中点，所11 一 1 一以SBF = 一 S&BC .又E是AB中点，所以S庄BF = - S&BF = - S&BC = 6平万厘米.224【例4】（难度等级派）如图，在面积为 1的三角形 ABC中，DC=3B

11、D,F是AD的中点，延长 CF交AB边于E,求三角 形AEF和三角形CDF的面积之和。【分析与解】连接DE,于是三角形AEF的面积二三角形EFD的面积，所求被转化为三角形 EDC勺面积。因为F是AD中点，所以三角形 AEC勺面积和三角形 EDC的面积相等,设S ABDE为1份,则S A AEC=SA EDC为3份因此S A ABC 一共7份，每份面积为 所以S EDC占3份为3。77【例5】（难度等级）如右图BE=| BC, CD= AC,那么三角形 AED的面积是三角形 ABC面积的几分之几?【分析与解】上图中，三角形AECf三角形ABC的高相等，而BE斗BC,于是EC BC,SAEC _

12、2SABC3又由于三角形 AED与三角形 AEC的高相等，而CD=1AC,于是43 Saed 3AD=-AC, AED 二 一4 SAEC 4 3 32所以，三角形AED的面积=-X三角形AEC的面积=X X三角4431形ABC的面积=X二角形ABC的面积2【例6】（难度等级X）如图所示，四边形 ABCDf AEG褚B是平行四边形，请你证明它们的面积相等.【分析与解】连接BEc1c c 1c显然有 SAbE 2 SaBCD , SaBE 2 SaEGF所以SABCD=SAEGF【例71 （难度等级X）如图，在长方形 ABCM, Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果 AB=24厘米，BC=8厘米

13、,求三角形ZCY的面积.【分析与解】Sabcd = AB父BC = 192平方厘米因为Y是BD中点，Z是DY中点，所以111 r1 /1 Q 、11 CS ZCY - - ( S CDB ) 二二二(二 SABCD )=二 SABCD = 242 22 2 28【例8】（难度等级派）如图，正方形 ABCD勺边长为4厘米，EF和BC平行，ECH的面积是7平方厘米，求 EG的 长。【分析与解】1_ 1-X EGX AE + - X EGX EB = 7 平万厘米rr 1即一X EGX AB=7平万厘米；EG=3.5厘米2【例10（难度等级云）如图已知四边形 ABC的CEFGIB是正方形，且正方形A

14、BCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形 BFD的面积为多少平方厘米？【分析与解】连接CF由 ABCB口 CEFGTB是正方形有. BDC =/DCF =45所以 bdLIcf .由平行线间距离相等知三角形BD林口三角形BDCW底等高雨Pl O_ o _ 1 O所以 S.BFD - S, BCD - 2 SABCD二50【例11（难度等级云）如图，一个长方形被切成 8块，其中三块的面积分别为12, 23, 32,则图中阴影部分的面积为？【分析与解】如右图，已知a+b+x=23+a+32+12+b所以 x=23+32+12x=67.【例12（难度等级 派）如图，平行四边形 ABC前长为75厘米

15、，以BC为底时高 是14厘米；以CD为底时高是16厘米。求平行四边形 ABCM面积。【分析与解】BCX 14=CA 16, BC CD=16: 14,BC+CD=75 , BC=75 X 16=202216 14ABCD®积=14X20=280 （平方厘米）【例13（难度等级派）如右图，正方形 ABCM边长为6厘米， ABE AADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.【分析与解】因为 ABE AADF与四边形AECF的面积彼此相等， 所以四边形 AECF的面积与 ABE ADF的面积都等于正方形面积的三分之 一，也就是：C111_S3边形 AECF = S>

16、AABE = SAADF =3 6 6 = 12同理DF= 4,因此CE= CF在 ABE中，因为 AB= 6.所以BE= 4, =2,.ECF的面积为 2X 2+2 = 2.所以 Saaef = S四边形 aecf S/xecf =12 2=10 （平方厘米）【例14（难度等级）如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4BE=3, AE=6,甲部分面积是乙部分面积的几分之几？【分析与解】1 -由 BD = DC BD=DCT BD = BC ；由 BE = 3 , AE = 6 ,有 B21 小BE = AB.由鸟头定理有3&法.5-11-15-小Sp = 3

17、 M _2 M SBC = 6 S咨BC，& = S咨BC _ SF 6 SBC，故【例15（难度等级X）某公园的外轮廓是四边形 ABCD被对角线AC BD分成四个部分，4AOB面积为1平方千米， BOC®积为2平方千米， COD勺面积为3平方千米，公园陆地的面积是 6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析与解】由任意四边形的蝴蝶定理有S Aob S COD - S.AOD S.BOC所以SAOD =1父3子2 =1.5平方千米，故公园总面积为1+3+2+1.5 = 7.5平方千米，人工湖面积为7.5 6.92= 0.58平方千米【例16（难度等级）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG则 ABF的面积为3x,设 AEG的面积为 x,显然 EBG 4BFG FCG的面积均为 x,1SABF =一父20父10=100即x=，那么正方形内空白部分的面积为A 23,4004x =.B3所以原题中阴影部分面积为 20M 20 - 400 = 800 （平方厘米）.33【作业】1 .如图，三角形 ABC中，DC=2BD, CE=3AE,三角形ADE的面积是20平方厘米，三角