小学的奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)分解

1、标准实用模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”广 S1:S2 =S4:0或者 S1 XS3 =S2 XS4 ao ： oc = § $ ： s4 s3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD被对角线 AC BD分成四个部分，AOB1积为1平方千米，BOO积为2平方千米，4COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是6. 92平方千米和人工湖组成，求

2、人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得 SAAOD =3M1 *2=1.5平方千米，公园四边形 ABCD的面积是1+ 2+3+1.5 = 7.5平 方千米，所以人工湖的面积是 7.5-6.92 = 0.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形 BGC的面积； AG:GC=?【解析】根据蝴蝶定理，SBGC父1 =2父3,那么SBGC =6 ；根据蝴蝶定理，AG : GC =（1+2 ）:（3+6 ）=1:3 . （ ? ? ?）【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形 BC

3、D的 文案大全标准实用面积的1 ,且AO =2 , DO =3 ,那么CO的长度是DO的长度的 倍。文案大全【解析】在本题中，四边形 ABCD为任意四边形，对于这种"不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条 件Sabd：S_bcd =1：3 ,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已 知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改 造这个"不良四边形”，于是可以作 AH垂直BD于H , CG垂直BD于G ,面积比转化为高之比。

4、 再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使 学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一： AO：OC =S&bd :S西dc =1：3 ,OC=2m3=6,OC:OD =6:3 =2:1 .解法二：作 AH_LBD于H,。6,8口于6.S -1S.S，ABD - S BCD31"-AH =CG , 3Q . 一1 Q -S&OD - 3 SOC , 1”-AO = 一 CO , 3OC=2x3=6,OC:OD =6:3 =2:1 .【例3】如图，平行四边形 ABCD的对角线交于O点，4CEF

5、、AOEF > AODF > ABOE的面积依次是 2、 4、4和6。求：求 OCF的面积；求 4GCE的面积。【解析】根据题意可知，ABCD的面积为2+4+4+6=16,那么ABCO和ACDO的面积都是16+2 =8,所以OCF的面积为84=4;由于 ABCO的面积为8, ABOE的面积为6,所以OCE的面积为86=2,根据蝴蝶定理，EG:FG =Soe:Saof =2:4 =1:2,所以 S小ce :S而cf =EG:FG =1:2 ,112那幺' SGCE = -S®ef =一父2 =一 1 233例4图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了

6、 4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【解析】 在 Labe , |_cde 中有 zaeb=/ced ,所以 |_abe, |_cde 的面积比为（aemeb） ：（ce mde）。同 理有 |_ade, |_bce 的面积比为（aemde）：（be mec）。所以有 Sabe x Scde =Sade x Sbce ,也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即S|ABE m6 = Sade 77 ,所以有L ABE与L ADE的面积比为

7、7：6, Sabe 二二一X39 =21 公顷，Sade =6-父 39 =18 公顷。6 76 7显然，最大的三角形的面积为21公顷。1 ,则图中阴影三角形的面积例5 （2008年清华附中入学测试题）如图相邻两个格点间的距离是为。【解析】连接AD、CD、BC。则可根据格点面积公式，可以得到MBC的面积为：1+41=2, MCD的面积为：3 +31=3.5,22 4MBD的面积为：2+-1=3.24412所以 BO ： OD S/ABC ： S&cd 2 ：3.5 4 ： 7 ,所以 SAbo 父 S Abd 父 3 =：4 7：1111如图，每个小方格的边长都是1,求三角形 ABC的

8、面积。5510【解析】因为 BD:CE =2:5 ,且 BD / CE ,所以 DA: AC=2:5 , S殖BC =一一,Sadbc =5X2=.2 577例6 （2007年人大附中考题）如图，边长为1的正方形 ABCD中，BE=2EC, CF = FD ,求三角形 AEG 的面积.【解析】【例7】例8连接因为因为所以所以BE=2EC ,CF =FD所以S.defABCD ) 根据蝴蝶定理,AG :GF =:一2 12-S12 -ABCD S AGD =6S GDF=7 S.ADFABCD13S AGE =S AED S AGD =3 S|_ABCDS即三角形AEG的面积是2 .7如图，长方

9、形 ABCD中, 方形ABCD的面积.【解析】因为 BE: EC =2:3 , DF因为 SaED =1%方形ABCD，2=SI ABCD 14_2SABCD - S ABCD7 BE: EC =2:3 , DF : FC =1:2三角形DFG的面积为2平方厘米，求长:FC=1:2 ,所以S DEF& -) Se 方形 ABCD =工也方形ABCD - 101AG : GF 二一1-一:一=5:1 ,所以 S 2 10AGD =5 GDF =10平方厘米，所以s AFD二12平1方厘米 口为 SaFD =Se方形ABCD， 6如图，已知正方形 ABCD的边长为 形BDG的面积.设BD与

10、CE的交点为O ,连接所以长方形10厘米,ABCD的面积是72平方厘米.E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角BE、 DF .1由蝴蝶7E理可知EO . OC =SJ BED : S BCD ,而 S BED 0ABCD, S BCD4=1S2 S ABCD )1所以 EO:OC =Sjbed : S BCD =1:2,故 EO=EC .一31由于 F 为 CE 中点，所以 EF =EC,故 EO:EF=2:3 , FO:EO=1:2. 211由蝴蝶7E理可知SBFD : S BED = FO : EO =1： 2 ,所以 SbfD =- S BED =- S ABCD ,2 -8

11、-111那么 S|BGD =Sbfd = Sabcd = X10M10 =6.25 （平万厘米）.L 2 -16 -16【例9】如图，在AABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若 MOM、AABO和BON的面积分别是 3、2、1,则削NC的面积是 .【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.根据蝴蝶定理得Smon =SAOM SBON =3-J JS.Aob22设S&ON =X ,根据共边定理我们可以得33 一一2二 3 2 解得 x = 22.5.X 1 3 X2【例10】（2009年迎春杯初赛六年级）正六边形AA2A3A4 4A5的面积

12、是2009平方厘米，B1B2B3B4B5B6分别平方厘米.是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是【解析】如图，设B6A2与BA3的交点为O ,则图中空白部分由6个与AAzOAb一样大小的三角形组成，只要求出了 久OA3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.连接 A3A3、B6B1、B6A3.设 M1B1B6的面积为” 1 “，则AB1A2B6面积为" 1 "，AAAzB面积为" 2 "，那么iAeA3B6面积为&AA2B6 的2倍，为" 4 "，梯形 AA2A3A6的面积为2父2+4父2=12, M2

13、B6A3的面积为” 6 “，姐也备的 面积为2 .根据蝴蝶定理，RO =A3。=5&26 ：S&A2B6 =1： 6 ,故 S应OA3 =缶，S与=£ ,121所以S&oa3：S弟形aaaa =5：12：1： 7 ,即 M20A3的面积 为梯形A1A2A3A6面积的1，故为K 边形AA2A3AA5A6面积的。，那么空白部分的面积为正六边形面积的工父6 =旦，所以阴影部分面积为1414732009 Ml1 亍 J=1148（平万厘米）.板块二梯形模型的应用梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理” 广 S1：S3 =a2:b2 S1: S3: 5 : S4 =a2: b2

14、: ab: ab ；2S的对应份数为（a+b）.梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果.（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）【解析】设G为a2份，a为b2份，根据梯形蝴蝶定理，0=4=/,所以b=2;又因为S2=2 = aMb,所以2a=1；那么 S =a =1, S4 =axb=2,所以梯形面积 S=Si+Q +S3+S4 =1+2+4 + 2 =9 ,或者根 22据梯形蝴蝶te理， S =（a +b ） =（1+2 ） =9 .【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯

15、形 ABCD的AB平行于CD ,对角线AC , BD交于O ,已 知AOB与4 80。的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形 ABCD的面积是 平方厘米.【解析】根据梯形蝴蝶定理，Saob ：S_boc =a2：ab=25: 35 ,可得a:b = 5:7,再根据梯形蝴蝶定理， _2222_一 、一. .一.Suaob ： S_doc =a ：b =5 ：7 =25:49,所以Sdoc=49（平方厘米）.那么梯形ABCD的面积为 25 +35+ 35+ 49= 14邨方厘米）.【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点0,已知梯形上底为 2,且三角形 ABO的面积等于三角形BOC

16、面积的2 ,求三角形 AOD与三角形BOC的面积之比.3【解析】根据梯形蝴蝶定理，Saob :S_BOC =ab:b2 =2:3 ,可以求出a:b=2:3,再根据梯形蝴蝶定理，S AOD ： S BOC = a2 : b2 = 22 :32 =4:9.OOC通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千 辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论.【例13（第十届华杯赛三角形ABD的面积 三角形CBD的面积）如下图，四边形 ABCD中，对角线 AC和BD交于O点，已知 AO =1 ,并且=3 ,那么OC的长是多少？【解析】根据蝴蝶定理,三

17、角形ABD的面积 三角形CBD的面积AO AO,所以COCO3一5=,又 AO =1 ,所以 CO =.535【例14】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2,问三角形AOD的面积是多少?【解析】根据梯形蝴蝶定理，a:b=1:1.5=2:3 , SOD :S为OC =a2 :b2 =22:32 =4:9 , 所以 S&od =4(cm2 )如图，梯形 ABCD中，AAOB、MOD的面积分别为1.2和2.7 ,求梯形 ABCD的面积.根据梯形蝴蝶定理，Saob : S_acod =a2: b2 =4: 9 ,所以 a:b = 2:3,SAOD : SAOB,2=ab :

18、 a =b:a =3: 2 ,S AOD=S cob =1.2 父一=1.8 ,一2S弟形 abcd =1.2 1.8 1.8 2.7 =7.5【例15】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11,三角形BCH的面积是23,求四边形EGFH的面积.【解析】如图，连结EF,显然四边形 ADE群口四边形BCERTB是梯形，于是我们可以得到三角形EFG勺面积等于三角形 ADG的面积；三角形 BCH的面积等于三角形 EFH的面积，所以四边形 EGFH的面积是 11 +23=34.【巩固】（人大附中入学测试题）如图，长方形中，若三角形 1的面积与三角形 3的面积比为4比5

19、,四边形2 的面积为36,则三角形1的面积为 .【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3,所以1的面积就是36X工=16, 3的面积就是36 M=20 .4 54 5【例16如图，正方形 ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.【解析】因为M是AD边上的中点，所以 AM :BC=1:2,根据梯形蝴蝶定理可以知道 一一一一2,、，、2Sa amg ： Sa abg：Sa mcg ： Sa bcg =1 ： （1 父2） : （1 父 2） ：2 =1：2：2：4,设& ma =1 份，则 & m

20、cd=1+2 = 3 份， 所以正方形的面积为1+2+2+4+3=12份，So =2+2=4份， 所以6月影 :S正方形=1:3 , 所以6月影=1 平方厘米.【巩固】在下图的正方形 ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平 方厘米，那么正方形 ABCD面积是 平方厘米.【解析】连接DE,根据题意可知BE: AD =1: 2 ,根据蝴蝶定理得S梯形=（1+2）2 =9 （平方厘米），SaECD=3（平 方厘米），那么Sabcd =12（平方厘米）.【例17如图面积为12平方厘米的正方形 ABCD中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.【解析】因为E

21、,F是DC边上的三等分点，所以 EF : AB =1:3 ,设SAOEF =1份，根据梯形蝴蝶定理可以知道SA AOE =S OFB =3 份，SA AOB =9 份，SA ADE =$ bcf =（1+3）份，因此正方形的面积为 4+4+（1 + 3）2 =24 份，Si影=6 ,所以"影：S正方形=6 ： 24 =1： 4 ,所以升影=3平方厘米【例18如图，在长方形 ABCD中，AB=6厘米，AD=2厘米，AE = EF = FB ,求阴影部分的面积.【解析】方法一：如图，连接DE , DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为2X6-3-2 =2平方厘米.3由

22、于EF : DC 1:3 ,根据梯形蝴蝶正理，SDEO : S EFO 3：1 ,所以S DEO =一 S DEF ,而S匹=鬲 =24 一平方厘米，所以 Sde°=3m2=1.5平方厘米，阴影部分的面积为2+1.5 = 3.5平方厘米.4方法二：如图，连接 DE , FC,由于EF:DC=1:3 ,设S40ff =1份，根据梯形蝴蝶定理，SAOED=3份，S梯形 EFCD =（1+3）2=16 份，Saade =Sabcf =1+3 = 4 份，因此 1方形 abcd = 4 + 16+ 4 =24份， 与影=4+3 = 7份，而 右方形abcd =6 m2 =12平方厘米，所以

23、与影=3.5平方厘米【例19】（2008年“奥数网杯”六年级试题 ）已知ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2 ,三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是 平方厘米.连接AC .由于ABCD是平行四边形,BC:CE=3:2 ,所以 CE: AD = 2:3 ,根据梯形蝴蝶定理，SUCOE : Sjaoc : S_DOE : SAOD = 22: 2 父 3: 2 父 3: 32 = 4: 6: 6:9 ,所以 Saoc=6（平方厘 米），20口=9（平方厘米），又冏人80=3人。口=6+9=15（平方厘米），阴影部分面积为6+15 = 21（平 方厘米）.右图中 ABCD是梯形，A

24、BED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.【分析】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S&CD =SAE .根据蝴蝶定理，S&CD MS&AE =SCE M S&AD =4父9=36 ,故 S曰CD? =36 , 所以S OCD -6 （平方厘米）.【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S#CD =S&am

25、p;AE .根据蝴蝶定理，S&CD MS型AE =SeCE MS戌AD =2x8 =16 ,故S&d, =16 ,所以SaCD =4（平方厘米）.1 1另解：在平仃四边形 ABED中，S&DE = SABED =X（16+8 ）=12 （平万厘米），2 2所以S浅OE =SDE S盘OD =12 8 =4 （平方厘米），根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8父2+4 =4（平方厘米）.【例20 如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，&DEF的面积是5平方厘米，ACED的面积是10平方厘米.问：四边形 ABEF的面积是多少平方厘米？【分析】 连接BF ,根据梯形

26、模型，可知三角形 BEF的面积和三角形 DEC的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形 BCE的面积为10父105 = 20（平方厘米），所以长方形的面积为 （20+102=60（平方厘米）.四边形 ABEF的面积为60510 20=25 （平方厘米）.【巩固】如图所示， BD、CF将长方形ABCD分成4块，ADEF的面积是4平方厘米，ACED的面积是6平 方厘米.问：四边形 ABEF的面积是多少平方厘米？【解析】（法1）连接BF ,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形 BEF的面积和三角形 DEC的面积 相等，即其面积也是 6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形 BCE

27、的面积为6M6-4 = 9（平方厘米）， 所以长方形的面积为（9+6不2 =30（平方厘米）.四边形ABEF的面积为30 4 6 9 = 11（平方厘米）.（法2）由题意可知，EF = 4 = 2 ,根据相似三角形性质，-ED =-=-,所以三角形BCE的面积为： EC 63EB EC 326 土& =9（平方厘米）.则三角形CBD面积为15平方厘米，长方形面积为 15x2=30（平方厘米）.四 边形 ABEF的面积为30_4_6_9=11（平方厘米）.【巩固】（98迎春杯初赛）如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54, OD的长是16 , OB的长是9 .那么四边形

28、OECD的面积是多少？【解析】因为连接ED知道ABO和AEDO的面积相等即为54 ,又因为OD ： OB =16 ： 9 ,所以4AOD的面积 为54-9x16=96,根据四边形的对角线性质知道：BEO的面积为：54x54-96 = 30.375,所以四边形OECD的面积为：54+9630.375 =119.625（平方厘米）.【例21】（2007年“迎春杯”高年级初赛）如图，长方形 ABCD被CE、DF分成四块，已知其中 3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 平方厘米.【解析】连接DE、CF .四边形EDCF为梯形，所以S西od =Sfoc ,又根据蝴蝶定理，

29、SOD SgOC =S&OF，S&OD ,所以 SEOD SOC = SOF，S#OD = 2父8=16,所以 SOD =4 （平方厘米）， $推。口=4+8=12（平方厘米）.那么长方形 ABCD的面积为12x2 = 24平方厘米，四边形 OFBC的面 积为24 5 2 8 =9 （平方厘米）.【例22（98迎春杯初赛）如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为 54, OD的长是16, OB的长是9.那么四边形 OECD的面积是 .11.【解析】 解法一：连接DE ,依题意Saob =MBO MAO =父9父AO =54 ,所以AO=12, 2211则 Saod =

30、一 MDO x AO =一父16父12 =96 . 221-.3又因为 Saob =S doe =54 =M16MOE ,所以 OE =6一, -241133得 Sboe =-MBO MEO =一父9父6 =30一, 22483 .5所以 SOECD -SLBDC S BOE =S ABD S BOE =(54 +96 )30 =119一 . -8816斛法一：由于 Saod : S aob =OD :OB =16:9 ,所以 0 人。口 =54 父 一 =96 ,而 Sdoe = S aob =54 ,根据9一蝴蝶定理,所以SOECD3S|jBOE 父 S AOD =S AOB 乂 S DO

31、E，所以 S BOE = 54 X 54 3 96 = 30 ,-835= S|_BDC 'S BOE = S ABD -S BOE =(54 +96 )30-=119.-88【例23如图,AABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段 AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48, AK:KB=1:3 ,则ABKD的面积是多少?【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形 ADBC是梯形.在梯形ADBC中，ABDK和11MCK的面积是相等的.而AK :KB =1:3 ,所以 MCK的面积是 MBC面积的 二，那么ABDK1 3 41的面积也是 MBC面积的-.

32、4由于 MBC是等腰直角三角形，如果过 A作BC的垂线，M为垂足，那么 M是BC的中点，而且 AM =DE ,可见 MBM和 MCM的面积都等于正方形 DEFG面积的一半，所以 AABC的面积与正 方形DEFG的面积相等，为 48.那么 田DK的面积为48X1 =12 .4【例24如图所示，ABCD是梯形， MDE面积是1.8, MBF的面积是9, ABCF的面积是27.那么阴【解析】根据梯形蝴蝶定理，可以得到SmFBXSFC=S&FDMS伟FC ,而S曲FB= S&FC （等积变换），所以可得S.AFDS.AFBSCDF _9 9S.bfc27并且 SAEF =S&D

33、F -S&ED =3 -1.8 =1-2 ,而 SAFB : SFC =AF : FC =9 : 27 =1:3 , 所以阴影 AAEC 的面积是：SAec =SAef X4=1.2X4=4.8 .6 ,那么阴影部分面积为多少?【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积88-6 =一183【例26如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点.三角形 ABC由这6部分组成，其中比多 6平方厘米.那么三角形 ABC的面积是多少平方厘米？【解析】因为E是DC中点，F为AC

34、中点，有AD=2FE且平行于AD ,则四边形 ADEF为梯形.在梯形 ADEF中有=，X=*，：二人口2： FE 2=4.又已知-=6,所以=6+(41) =2 , (2) = x4 =8,所以X=*=16,而=,所以= =4,梯形ADEF的面积为、 四块图形的面积和，为 8+4+4+2=18.有|_CEF与|_ADC的面积比为CE平方与CD平方的比， 即为1:4.所以|_ADC面积为梯形 ADEF面积的 =4 ,即为18父，=24 .因为D是BC中点，所4-1 33以|_ABD与|_ADC的面积相等，而ABC的面积为|_ABD、ADC的面积和，即为24+24 = 48平方 厘米.三角形 AB

35、C的面积为48平方厘米.【例27 如图，在一个边长为 6的正方形中，放入一个边长为 2的正方形，保持与原正方形的边平行, 现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分 的面积为.【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况.解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5,因此空白处的总面积为 6 M1.5 + 2父4+2父2 =22,阴影部分的面积为 6 M 6 22=14.解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底

36、都为2,下底都为6,上底、下底之比为 2: 6 =1:3 ,根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之229比为1 :1父3:1父3:3 =1:3:3:9 ,所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的一，阴影部分的面16积占该梯形面积的,所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的,那么阴影部分的面积为161672_ 2一父(6 -2 ) =14 .16【例28如图，在正方形 ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE=2BE, CF =2DF ,连接BF、DE ,相交于点G ,过G作MN、PQ得到两个正方形 MGQA和PCNG ,设正方形MGQA的面积为S1 ,正方形PCNG的

37、面积为S2 ,则Si : S2 =.【解析】连接BD、EF .设正方形 ABCD边长为3,则CE =CF2BDSA GEF二33:S GBD222=18.因为 EF ，BD =8x18=144=12 ,=2 , 所以BE = DF=1,所以，EF2 =22 +22 =8,EF，BD=12.由梯形蝴蝶定理，得所以，Sa BGE:SA DGF : SnBGE622= EF2:BD2:EF BD : EF BD =8:18:12 :12=4:9:6:6,SW形 BDFE =一'S®形 BDFE 因为 S BCD259=3 3-2 =一2，Sacef =2h2+2 = 2 ,= Szbcd Sacef =-，所以， Sabge225由于4BGE底边BE上的高即为正方形 PCNG的边长,所以CN3二一 2-15669一 ,ND =3 =一 ,555所以 AM :CN =DN :CN =3:2