东北三校2013届高三第二次高考模拟考试理科数学试题

1、东北三校2013届高三第二次高考模拟考试理科数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1 .答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2 .选择题使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色自己的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 .请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色自己的签字笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、

2、修正带、刮纸刀。第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合A=x|x|<3,B=x|y=JX?,则集合AB为A.0,3）B.1,3）C.（1,3）D.（-3,12 .“a=1”是“复数a21+（a+1）i（aR,i为虚数单位）是纯虚数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3 .以下有关线性回归分析的说法不正确.的是A.通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心（x,y）nB.用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使Z（yi-bxi-a）2最小的a,b的值i1C

3、.相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱n二(yi-yi)2越接近1,表明回归的效果越好D.R2=1n%(yi-y)2i44.将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为B.D.11165.已知为等比数歹U,一一一,，9Sn是它的前n项和。若，且a4与a7的等差中项为-8A.35B.33C.31D.296.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是A. y=cos2xB. y=2cos2x2C. y=1+sin(2x+)d.y=2sinx47.某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A. 3+3无B. 8+3J2C. 6+6应D. 8+672侧视

4、图8.已知圆M过定点2(2,1)且圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦长为AB,则弦长|AB|等于B.3A.4C.2D.与点M位置有关的值9.当a>0时，函数f(x)=(x2-2ax)ex的图象大致是xy10.已知椭圆二+看=1(aAb0)与双曲线ab22xy-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和mn(c,0),若c是a与m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为.,3D.313211.已知函数f(x)=x+(1b)xa(b3)x+b-2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3,3x-ay_022则不等式组所确定的平面区域在x+y

5、=4内的面积为x-by_0.冗_冗_-A.B万C.nD.2n3的大球后再放入与球面、12 .在底面半径为3,高为4+2J3的圆柱形有盖容器中，放入一个半径为圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多的为A.4个B.5个C.6个第II卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。log1x,x_113 .已知函数f(x)=$'，则f(f(2)=。1-2x,x：二114 .执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为。15 .平面上三个向量OA、OB、OC,满足|OA|=1,|OB|二J3,|OC|=1,OAOB=0,则CACB的最大值是。16 .已知函数f(x)

6、是定义在R上的偶函数，当x20时，xf(x)=e-ax,若函数在R上有且仅有4个零点，则a的取值范围O三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。D.7个八呼"17 .(本小题满分12分)在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且a=1,c=J2,COSC=3。4(1)求sinA的值；(2)求AABC的面积。18 .(本小题满分12分)某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排

7、类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH）,均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验;乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）乙班（前识记）（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；（2）从乙组准确回忆因结束在12,24）范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X,求X分布列及数学期望；（3）从本次实验的结

8、果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？计算并说明理由。19 .（本小题满分12分）已知四边形ABCD为平行四边形，BCL平面ABE,AE±BE,BE=BC=1,AE=吏，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点。（1）求证：MNLEA;口也（2）求四棱锥M-ADNP的体积。20 .（本小题满分12分）22,一x,y设椭圆C：一2"=1（a>b>0）的两个焦点H为Fi、abl,：；/StF2,点Bi为其短轴的一个端点，满足；£»-J'个-V；|BF|+|BF2|=2,BFiBF2=2。(1)求椭

9、圆C的方程；(2)过点M(1,0)做两条互相垂直的直线小I2设li与椭圆交于点A、B,12与椭圆交于点C、D,求的最小值。21 .(本小题满分12分)a-1,已知函数f(x)=ax+(aWR),g(x)=1nx。x(1)若对任意的实数a,函数f(x)与g(x)的图象在x=*0处的切线斜率总想等，求x0的值；(2)若a>0,对任意x>0不等式f(x)g(x)至1恒成立，求实数a的取值范围。22 .(本小题满分10分)选彳4-1:集合证明选讲人如图，AB为。的直径，过点B作。的切线BC,/,OC交。于点E,AE的延长线交BC于点D。I,)(1)求证：CE2=CDCB;_、(2)若AB=

10、BC=2,求CE和CD的长。J二(23 .(本小题满分10分)选彳4-4:坐标系与参数方程x5cos在直角坐标系xOy中，已知点P(0,J3),曲线C的参数万程为为参数)。以y=15sin:：3原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标万程为p=-。2cosQ-)6(1)判断点P与直线l的位置关系，说明理由；(2)设直线l与直线C的两个交点为A、B,求|PA|1PB|的值。24 .(本小题满分10分)选彳44-5:不等式选讲设函数f(x)=|2x-7|+1o(1)求不等式f(x)目X1|的解集；(2)若存在x使不等式f(x)Eax成立，求实数a的取值范围。2013年三省三校第二

11、次联合考试理科数学答案.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)BCCDCBBABABC二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)1 名(a)13.214.2415.316.(e,)三.解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题满分12分)37一.解：(I)cosC=,二sinC=,2a_csinAsinC441、2.八14=.sinA=6sinA784（n）-c2=a2b2-2abcosC,.2=1b2-3b,.2b23b2=0,b=2921 ,1V717SABC=-absinC=

12、112=12224418 .（本题满分12分）解：（I）1000X5%=50,由甲图知，甲组有4十10+8+4+2+1+1=30（人），乙组有20人.又40x60%=24,识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的在甲组中有1人乙组有（0.0625+0.0375）X4X20=8（人）(18)-5%=180即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人数为180人.一4（n）由乙图知，乙组在12,24）之间有（0.025+0.025+0.075）父4M20=10（人）在20,24）之间有0.075父4M20=6（人）.X的可能取值为0,1,2,36P(

13、X=0)=C10130C2C110'P(X=1)=*C1012P(X=2)=C4C6C10P(X=3)=誓=18C106X的分布列为X0123P131130102613119数学期望E(X)=0父一+1父一+2父+3父一.103010265(ID)参考答案：甲组学生准确回忆音节数共有：2M4+6M10+10M8+14X4+18X21+22X1+26X1=288个故甲组学生的平均保持率为-1288=±9.6=0.24403040乙组学生准确回忆音节数共有：(6M0.0125+10X0.0125+14XQ.025+18XQ.025+22XQ.075+26父0.0625+30父0.

14、0375)父4=432个故乙组学生平均保持率为父432=工父21.6=0.54>0.24,402040所以临睡前背单词记忆效果更好.12'(只要叙述合理都给分)19 .解：方法一:(I)取AE中点P,连接PM,PN,丁AE_LBE,MP/BEMP,LAE又丫BC_L平面ABE,AE仁平面ABE，二BC_LAE又,NP_LAE,又NPmp=P,NP,MPU平面PMN，AE_L平面MNP,MNU平面MNP.AE_MN4(n)过M作MK_LNE于K,连接KP丁MP-LAE,AD/BC,.AD_L平面ABE,又丫PMu平面ABE，,AD_LPM又ADAE=A,PM_L平面ADE,PM_L

15、DE.PM_LNE,又丁MK_LNE,MKMP=M,二NE_L平面PMK，二NE_LPK，二面角NPKM为二面角M-ENA的平面角8在Rt.MPK中,211PEPKI/3PM=BE=,PK=22DEAD4方法KM=、PK2PM2=cos.PKM,21'.21面角的余弦值为127y轴，z轴建立空间直角坐标系)A(2,0,0),B(0,0,0),AB=2(I)vBC_L平面ABE,BCu平面ABCD,平面ABE_L平面ABCD,BC.LAB过B作BQ_L平面ABCD,则BQu平面ABE以BA,BC,BQ分别为x轴,11,3-3.3二"457AE=(-2。万)mMNAE=-0=0.

16、MN_AE48811-一一1.(n)MN=(,?-),NE=(-，一)，设n=(x1,y1,z1)为平面MNE的一个法向量4244241X14312y11-4X1-2y13cz1=04旦=04x1=1y1=-1为满足题意的一组解An=(1-1,百4=33133、，3AN=(，),AE=(一-,0,),设m=(X2,於心为平面ANE的一个法向量42422x2=1y2=0为满足题意的一组解，m=(1,0,J3)7'LZ2=>Z3mn.21八人+,21cos<m,nal=二面角的余弦值为12mn7720.解：(I)不妨设F1(C,0),F2(C,0),B(0,b),|B1F1+B

17、1F1|=2b=2：b=11B1F1B1F2=c2b2-2c=，M,.a=232所以椭圆方程为y2=144(n)当直线11与x轴重合时,33设“一2,”2,0)。1/),"1/)贝UACDB=3父1+&6=!5-5,当直线11不与x轴重合时，设其方程为x=my+1,设A(x1，y1),B(x2,y2)x=my1,口22x2+4y2=J(m+4)y+"3=0。1+力=一2mACDB=(MC-MA)(MB-MD)=-MCMD-MAMBMA二(八一1,yi)=(my，yi),MB=(x2-1,y2)=(my2,y2)223(m1).-MAMBu(m21)y1y2=J)m4

18、3(1-m2)由12与11垂直知：MCMD=q414m2.ACDB=-MCMD-MAMB3(m21)3(1m2)15(m21)210m2414m2(m24)(14m2)22_15(m21)212>=5m2+5；5当且仅当m=引取到“二”.12.综合，(ACDB)min=-125,、,一,a-1，21.解：(i)g(x)l=nxfx()l=nxa-(x+)三一1恒成立，xg(x)E1恒成立即g(x)max<-1.方法一：g(x)W1恒成立，贝Ug(1)+1=aa+1+1W0=a之12,而当a时,g(x)-a，)x1-ax-(1)(x-1)-12-a=0=x=1,x-14xa1x=T+

19、E0,则xw(0,1),ag(x)>0,g(x)在(0,1)单调递增,当xW(1,+s),g(x)<0,g(x)在(1,")单调递减,则g(x)max=g(1)1=-2a<-1,符合题意.即g(x)E1恒成立，实数a的取值范围为a之1；621a-1-axxa-1(-axa-1)(x-1)方法二：g(x)=a+=2=2，2,xxxxx-1(1)当a=0时，g(x)=r,x=(0,1),g(x)<0,g(x)在(0,1)单调递减，x当xw(1,也)，g'(X)A0,g(x)在(1,f)单调递增，则g(x)min=g(1)=1,不符题意；1ax-(-1)1(

20、x-1).(2)当ao0时，g(x)=2=2-a=0=x=1,x=-1+一,xxa1若a<0,-1+-<0,x=(0,1),g(x)<0,g(x)单调递减；当x=(1,桎)，g(x)>0,g(x)a单调递增，则g(x)mx=g(1)=12a<=a>1,矛盾，不符题意；4,若aa0,1 1.1.(I)右0ca<-，-1+->1,xw(0,1),g(x)c0；x=(1,-1+),g(x)>0；2aaxw(1工，+叼g'xX0g(x)在(0,1)单调递减，g(x)在(1,1+1)单调递增，aa-1妻，“人什一g(x)在(-1+一,依)单调

21、递减，g(1)=12a>0不符合题意；a1 .(11)若2=一时，xW(0,y),gx)<0,g(x)在(0,收)单调递减，g(1)=12a=0,2不符合题意.1 一.111.(出)右一<a<1,0<T+<1,x=(0,1+),g(x)<0,xu(1+,1),g(x)>0,2 aaa11xW(1,F),g(x)<0,g(x)在(0,1+一)单调递减，在(1+,1)单调递增，在aa(1,g)单调递减，g(1)=1-2a>-1,与已知矛盾不符题意.1(IV)若a之1,1十M0,x=(0,1),g'(x)>0,g(x)在(0,

22、1)单调递增；a当xW。,%0),g(x)<0,g(x)在(1,也)单调递减，则g(x)>g(1)=1-2a<-1,符合题意；综上，得g(x)ET恒成立，实数a的取值范围为aA16'(n)由(I)知，当a=1时，有lnxMx-1,x>0；于是有ln(1+x)Mx,x>1.8,111则当x>0时，有11n(1)1x<Un(1)+xx<1付1/xx<e10x1 11*在上式中，用1,1,1，,(nwN)代换x,可得2 3n3、2,4、3,n，1、n2<e,（一）<e,（一）<e,，（）<e相乘得23n（n1）nnn-：.二e：=n1：e、.n!12n!选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分22.（本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲（I）证明：连接BE.BC为。的切线./ABC=90°,/CBE=/A2分OA=OE,/A=/AEO/AEO=/CED/CED=/CBE,4分/C