中考数学易错题专题训练-直角三角形的边角关系练习题及详细答案

1、中考数学易错题专题训练-直角三角形的边角关系练习题及详细答案一、直角三角形的边角关系1.如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是3060，此时无人机的飞行高度AC为60m,随后无人机从A处继续水平飞行30J3m到达A处.【答案】（1）120米；（2）R3.5即可得到结论.【详解】解：（1）由题意得：/ABD=30,/ADC=60,在RtABC中，AC=60m,60AB=1=120(m)sin30一2(2)过A作AEBC交BC的延长线于E,连接AD,则AEAC60,CEAA30币,在RtAABC中,AC=60m,/ADC=60,DC=-AC=20、33DE=50,3(1)(2)解直角

2、三角形即可得到结论；过A作AEBC交BC的延长线于CEAA30在RABC中，求得E,连接AD,于是得到AEAC60,DC=Y3AC=20j3,然后根据三角函数的定义（1）求A、B之间的距离（2）求从无人机A上看目标D的俯角的正切值.tan/AAD=tan/ADC型=与二DE50-35答：从无人机A上看目标D的俯角的正切值是2M.5【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键2.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120时，感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO后，电脑转到AO，B，位

3、置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,。/COA于点C,。/C=12cm.(1)求/CAO/的度数.(2)显示屏的顶部B/比原来升高了多少？(3)如图4,垫入散热架后，要使显示屏。/B与水平线的夹角仍保持120。，则显示屏。/B，应绕点。/按顺时针方向旋转多少度？【答案】(1)/CAO=30;(2)(36方向旋转30.【解析】-12x13)cm；(3)显示屏O理绕点O按顺时针试题分析：(1)通过解直角三角形即可得到结果；(2)过点B作BD,AO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得BD=OBsinZBOD=24X=1273,由C、O、B三点共线可得结果；(3)显示屏O而绕

4、点O按顺时针方向旋转30,求得/EOB/干OA=30；既是显示屏O应绕点O按顺时针方向旋转30.试题解析：(1).,0，(1OA于C,OA=OB=24cm,OCOC121.sinZCAO=-/CAO=30,、一公一、-一_RD_(2)过点B作BD，AO交AO的延长线于D,1.sinZBOD=-,.BD=OBsin/BOD,OJD/AOB=120,ZBOD=60；BD=OBsin/BOD=24xl=12后,OLOA,/CAO=30 ./AOC=60：/AOB=120ZAO叱AOC=1&0.O，B+O3D=24+12-12冉=36-12/，显示屏的顶部B比原来升高了(36-12后)cm；(

5、3)显示屏O面绕点O按顺时针方向旋转30,理由：显示屏O内水平线的夹角仍保持120。，/EO=120； ./FOA=CAO=30 /AOB=120 ./EOETFOA=303.如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为1,且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2,并已知tan11.082,【答案】解；过点且作7_LCD于P，AE#BC交CD于F在我AADF中,DF=AFt3n=1,4x1.082=1.5143

6、（）,q在口土瓦4F 中?豆一卬=AFtan弓二1.4xO.412=0,576日（中）（2分）因二Z?F后尸=1,514g-0376=0,93（喀）（1分）尺可证四边形上FCE为平行四边形,故有-25c活（2分）二C口二D五十C宜二33+25=1188kli9a的（2分）答支架CD的高的为H90乩（1 分）/【解析】过A作AFCD于F,根据锐角三角函数的定义用之、色表示出DF、EF的值，又可证四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm再再根据DC=DE+ECS行解答即可.4 .在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上（不含点B）,1/BPE=/ACB,PE交BO

7、于点E,过点B作BF，PE,垂足为F,交AC于点G.2（1）当点P与点C重合时（如图1）.求证：BO84POE；BF（2）通过观察、测量、猜想：=,并结合图2证明你的猜想；PEBF.（3）把正万形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3）,若/ACB=4,求的PE值.（用含“的式子表示）ADADADADA A0 0图1图2图3【答案】（1）证明见解析（2）BF1（3）空1tanPE2PE2【解析】解：(1)证明：二.四边形ABCD是正方形，P与C重合，.OB=OP,/BOC=ZBOG=90:.PFXBG,/PFB=90,./GBO=901BGO,ZEPO=90ZBGO.，/GBO=/EPO.AB

8、OGAPOE(AAS).BF1、一(2)-.证明如下：PE2如图，过P作PM/AC交BG于M,交BO于N,/PNE=/BOC=9C0,/BPN=ZOCB. /OBC=ZOCB=4巴1/NBP=ZNPB. .NB=NP. /MBN=9CC/BMN,/NPE=9C0/BMN,/MBN=/NPE. .BMNAPEN(ASA).BM=PE.,1，一/, /BPE=/ACB,/BPN=/ACB,./BPF=/MPF.2 .PFBM,/BFP土MFP=9C.又.PF=PFABPFAMPF(ASA).BF=MF,即BF=-BM2(3)如图，过P作PM/AC交BG于点M,交BO于点N,/BPN=ZACB=/P

9、NE=ZBOC=9C0.由(2)同理可得BF=-BM/MBN=/EPN2ZBNM=ZPNE=9Cf,BMN淤2，/OED=/QDH,/ERG=90,/OED=/GBN,/GBN=/ABC,AB，ED,EG=75RG,，RG=,BR=RG+BG=121BF=2BR=24考点：1圆；2相似三角形；3三角函数；4直角三角形BG=BQ=,/一1AC1/ACI=90,tan/AIC=tanZABC=,.=一2Cl1,，IC=O括，由勾股定理可求得:AI=25,设QH=x,tan/ABC=tanZODE=（,.HD=2x,.OH=OD-HD=-,BH=BQ+QH=.，-OB2=BH2+OH2,=二：号+1

10、|十,解得：工=或;,当QH时，.QD=92,2“11m-15-9“人-5ND=6j5,-MN=3V5，MD=15,.,”口，工7，QH1不符合题思，舍去，当QH时，.-.QD=!7.ND=NQ+QD=忑,ED=10追,cc11后 cc9依GD=GN+ND=-,.EG=ED-GD,一2/ABC=ZQDH,.OE=OD,GN=NQ=JBJB（图多）6.在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O0,0，点A3,0，点C0,4,连接OB,以点A为中心，顺时针旋转矩形AOCB,旋转角为0360,得到矩形ADEF，点O,C,B的对应点分别为D,E,F.(I)如图，当点D落在对角线OB上时，求点D的坐

11、标;(n)在(I)的情况下，AB与DE交于点H.求证BDEDBA;求点H的坐标.(m)为何值时，FBFA.(直接写出结果即可).y15472【答案】(I)点D的坐标为(4,);(II)证明见解析；点H的坐标为(3,2525(出)60或300【解析】【分析】(I)过A、D分别作AMOB,DNOA,根据点A、点C的坐标可得出OA、OC的长，根据矩形的性质可得AB、OB的长，在RtAOAM中，利用/BOA的余弦求出OM的长，由旋转的性质可得OA=AD,利用等腰三角形的性质可得OD=2OM,在RtODN中，利用/BOA的正弦和余弦可求出DN和ON的长，即可得答案；(n)由等腰三角形性质可得/DOA=/

12、ODA,根据锐角互余白关系可得ABDBDE,利用SAS即可证明 DBA0BDE;根据DBABDE可得/BEH=ZDAH,BE=AD,即可证明 BHEADHA,可得DH=BH,设AH=x,在RtADH中，利用勾股定理求出x的值即可得答案；(出)如图，过F作FOLAB,由性质性质可得ZBAF=,分别讨论0Vw180寸和180AB,当0oc18时，丁点B与点F是对应点，A为旋转中心，/BAF为旋转角，即ZBAF=oc,AB=AF=4,FA=FBFOXAB,.OA=1AB=2,2OA1cos/BAF=，AF2./BAF=60即a=60。，当180Y.9【答案】（1）详见解析；（2）-2【解析】【分析】

13、（1）利用角平分线的性质得到/OAE=/DAE,再利用半径相等得换即可推出OE/AD,即可解题， （2）根据30。 的三角函数值分别在ABcos30； 在RtAADE中，AD=cos301A即可解题.【详解】证明：如图，连接OE,.AE平分/DAC,/OAE=/DAE. .OA=OE,/AEO=/OAE./AEO=/DAE. .OE/AD. .DCXAC, OEXDC.(2)解：.AB是直径，/AEB=90；/ABE=60:/EAB=30；在RtMBE中，AE=ABcos30=6Xe=36,2在RtMDE中,/DAE=/BAE=30,.AD=cos30乂/AEO=/OAE,等量代RtAABE中

14、，AE=.CD是。O的切线.QOAOC,Q312,2.本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.8.如图，AB为eO的直径，C、D为eO上异于A、B的两点，连接CD,过点C作CEDB,交CD的延长线于点E,垂足为点E,直径AB与CE的延长线相交于点F.(1)连接AC、AD,求证：DACACF180若ABD2BDC.求证：CF是eO的切线.一_3，当BD6,tanF时，求CF的长.420【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；CF3【解析】【分析】（1）根据圆周角定理证得/ADB=90,即ADBD,由CE1DB证彳导AD/CF,根据平行线

15、的性质即可证得结论；（2）连接OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出/3=2/1,由已知/4=2/1,得到/4=/3,则OC/DB,再由CE1DB,得到OCCF,根据切线的判定即可证明CF为。O的切线；由CF/AD,证出ZBAD=ZF,得出tanZBAD=tanZF=-BD=-,求出AD=-BD=8,利AD43一OC3用勾股定理求得AB=10,得出OB=OC=5,再由tanF=-,即可求出CF.CF4【详解】解：（1）AB是eO的直径，且D为eO上一点，ADB90,QCEDB,DEC90,CF/AD,DACACF180(2)如图，连接OC.321.Q42BDC,BDC1,421,43,O

16、C/DB.QCEDB,OCCF.又QOC为eO的半径,BADF,3tanBADtanF，4BD3.AD4QBD64ADBD8,3AB店8210，OBOC5.QOCCF,OCF90,本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果.tanFOC3CF4解得CF203CF为eO的切线.D由（1）知CF/AD,4、.5,即可求解.【详解】(1)设。P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,，一，3如图，4ABC中，AC=BC=10,cosC=2,点P是AC边上一动点(不与点A、C重合)，5以PA长

17、为半径的OP与边AB的另一个交点为(1)当。P与边BC相切时，求OP的半径.(2)连接BP交DE于点F,设AP的长为x,接写出x的取值范围.(3)在(2)的条件下，当以PE长为直径的所得的公共弦的长.D,过点D作DE，CB于点E.PF的长为V,求y关于x的函数解析式，并直OQ与。P相交于AC边上的点G时，求相交40R；(2)5xJx28x80；(3)5010V5.3x20(1)设。P与边BC相切的切点为H,圆的半径为3一R,连接HP,则HPBC,cosC=-,则5“4HPsinC=,sinC=5CP4r 一.-,即可求解;5(2)首先证明PD/BE,则受PDBFPF即:2x5xJx28x80y

18、,即可求解;(3)证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=EPBD,即：AB=DB+AD=AG+AD=3 3EC C笛用图则BH=ACsinO8,同理可得：CH=6,HA=4,AB=45贝U:tanZCAB=2,BP=j82+(x4)2=Jx28x80，DA=x,则BD=45x,55连接HP,贝UHPBC,cosC=w4则sinC=,5HPsinC=CP10R5R40R=9(2)在ABC中，AC=BC=10,c3cosC=一5设AP=PD=x,/A=/ABC=3,过点B作BHIAC,如下图所示，PA=PD,/PAD=/CAB=/CBA=3,tan3=2,则cos3=%,sin3=j5,2x5G

19、D为相交所得的公共弦，点Q是弧GD的中点， DGXEP,.AG是圆P的直径，/GDA=90, .EP/BD,由（2）知，PD/BC,四边形PDBE为平行四边形,.AG=EP=BD, .AB=DB+AD=AG+AD=4遥,设圆的半径为r,在4ADG中，AD=2rcos寻,DG=-j=,AG=2r,2r20飞+叱4而，解得：2r=,4r则：DG=需=50-10收，相交所得的公共弦的长为50-1055.【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大.10.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A(0,

20、1),点C(1,0),正方形AOCD的两条对角线的交点为B,延长BD至点G,使DG=BD,延长BC至点E,使CE=BC以BG,EB=BDcos3=(475-2.5、x)5.PD/BE,整理得:5xy=Jx28x80;(3)以3x20EP为直径作圆Q如下图所示,两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D,EBPDBE为邻边作正方形BEFG.AB.(I)如图，求OD的长及的值；BG(n)如图，正方形AOCD固定，将正方形BEFG绕点B逆时针旋转，得正方形BEF；G旋转角为a(0/V360),连接AG.在旋转过程中，当/BAG=90寸，求a的大小；在旋转过程中，求AF的

21、长取最大彳1时，点F的坐标及此时a的大小(直接写出结果即可).一一1【答案】(I)(D)a=30或150时，/BAG=90ia=315时，A、B、F在一条2直线上时，AF的长最大，最大值为+2,此时a=315,F(g+&，g-J2)【解析】【分析】(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题，(2)因为/BAG=90,一,AB1,BG=2AB,可知sin/AG=一,推出/AG=30，推出旋转角=30,据对称性可知，当BG2/ABG=60时,/BAG=90他满足条件，此时旋转角a=150当=315时,A、B、F在一条直线上时，AF的长最大.【详解】(I)如图1中，G图E-A(0,1),

22、.OA=1,四边形OADC是正方形，/OAD=90；AD=OA=1,.OD=AC=/12+122,，AB=BC=BD=BO,2BD=DG,BG=,圄./BAG=90BG=2AB./AGB=30/ABG=60./DBG=30 旋转角”30,根据对称性可知，当/ABG=60时，/BAG=90,也满足条件，此时旋转角”150；综上所述，旋转角a=30或150时，/BAG=90：如图3中，连接OF,图3 四边形BE陛3T形的边长为百.BF,=2 当a=315寸；A、B、F在一条直线上时,此时a=315；1（卷啦,yV2）【点睛】AF的长最大，最大值为孚+2,（n）如图2中，-ocT1 1本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质以及特殊角的三角函数值的应用.11.近几年，我国国家海洋局高度重视海上巡逻.如图，上午9时，巡逻船位于A处，观测到某港口城市P位于巡逻船的北偏西67.5。，巡逻船以21海里/时的