带电粒子在电场中的运动的综合问题

1、 专题强化八带电粒子(带电体)在电场中运动的综合问题专题解读 1.本专题主要讲解带电粒子(带电体)在电场中运动时动力学和能量观点的综合运用，高考常以计算题出现.2.学好本专题，可以加深对动力学和能量知识的理解，能灵活应用受力分析、运动分析特别是曲线运动(平抛运动、圆周运动)的方法与技巧，熟练应用能量观点解题.3.用到的知识：受力分析、运动分析、能量观点.一、带电粒子在电场中运动1.分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的力学规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题.2.受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止

2、与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力相比较是否能忽略.一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用.二、用能量观点处理带电体的运动对于受变力作用的带电体的运动，必须借助于能量观点来处理.即使都是恒力作用的问题，用能量观点处理也常常显得简洁.具体方法常有两种：1.用动能定理处理思维顺序一般为：(1)弄清研究对象，明确所研究的物理过程.(2)分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功.(3)弄清所研究过程的始、末状态(主要指动能).(4)根据WEk列出方程求解.2.用包括电势

3、能和能在的能量守恒定律处理列式的方法常有两种：(1)利用初、末状态的能量相等(即E1E2)列方程.(2)利用某些能量的减少等于另一些能量的增加(即EE)列方程.3.两个结论(1)若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变.(2)若带电粒子只在重力和电场力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变.命题点一带电粒子在交变电场中的运动1.常见的交变电场常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等.2.常见的题目类型(1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解).(2)粒子做往返运动(一般分段研究).(3)粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究).3.思维方法(1)

4、注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件.(2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律与运动学规律分析；二是功能关系.(3)注意对称性和周期性变化关系的应用.例1如图1(a)所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图(b)所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处.若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上.则t0可能属于的时间段是()图1A.0t0B.t0C.t0TD.Tt0答案B解析设粒子的速度方向、

5、位移方向向右为正.依题意知，粒子的速度方向时而为正，时而为负，最终打在A板上时位移为负，速度方向为负.分别作出t00、时粒子运动的vt图象，如图所示.由于vt图线与时间轴所围面积表示粒子通过的位移，则由图象知，0t0与t0T时粒子在一个周期的总位移大于零，t0时粒子在一个周期的总位移小于零；t0T时情况类似.因粒子最终打在A板上，则要求粒子在每个周期的总位移应小于零，对照各项可知B正确.变式1如图2所示，A、B两金属板平行放置，在t0时将电子从A板附近由静止释放(电子的重力忽略不计).分别在A、B两板间加上下列哪种电压时，有可能使电子到不了B板()图2答案B变式2(多选)(2015·

6、理综·20)如图3甲所示，两水平金属板间距为d，板间电场强度的变化规律如图乙所示.t0时刻，质量为m的带电微粒以初速度v0沿中线射入两板间，0时间微粒匀速运动，T时刻微粒恰好经金属板边缘飞出.微粒运动过程中未与金属板接触.重力加速度的大小为g.关于微粒在0T时间运动的描述，正确的是()图3A.末速度大小为v0B.末速度沿水平方向C.重力势能减少了mgdD.克服电场力做功为mgd答案BC解析因0时间微粒匀速运动，故E0qmg；在时间，粒子只受重力作用，做平抛运动，在t时刻的竖直速度为vy1，水平速度为v0；在T时间，由牛顿第二定律2E0qmgma，解得ag，方向向上，则在tT时刻，vy

7、2vy1g0，粒子的竖直速度减小到零，水平速度为v0，选项A错误，B正确；微粒的重力势能减小了Epmg·mgd，选项C正确；从射入到射出，由动能定理可知，mgdW电0，可知克服电场力做功为mgd，选项D错误；故选B、C.命题点二用“等效法”处理带电粒子在电场和重力场中的运动1.等效重力法将重力与电场力进行合成，如图4所示，则F合为等效重力场中的“重力”，g为等效重力场中的“等效重力加速度”，F合的方向等效为“重力”的方向，即在等效重力场中的竖直向下方向.图42.物理最高点与几何最高点在“等效力场”中做圆周运动的小球，经常遇到小球在竖直平面做圆周运动的临界速度问题.小球能维持圆周运动的

8、条件是能过最高点，而这里的最高点不一定是几何最高点，而应是物理最高点.几何最高点是图形中所画圆的最上端，是符合人眼视觉习惯的最高点.而物理最高点是物体在圆周运动过程中速度最小(称为临界速度)的点.例2如图5所示，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面，环上套有一质量为m、带电荷量为q的珠子，现在圆环平面加一个匀强电场，使珠子由最高点A从静止开始释放(AC、BD为圆环的两条互相垂直的直径)，要使珠子沿圆弧经过B、C刚好能运动到D.(重力加速度为g)图5(1)求所加电场的场强最小值与所对应的场强的方向；(2)当所加电场的场强为最小值时，求珠子由A到达D的过程中速度最大时对环的作用力大小；(3)在(1

9、)问电场中，要使珠子能完成完整的圆周运动，在A点至少应使它具有多大的初动能？答案见解析解析(1)根据题述，珠子运动到BC弧中点M时速度最大，作过M点的直径MN，设电场力与重力的合力为F，则其方向沿NM方向，分析珠子在M点的受力情况，由图可知，当F电垂直于F时，F电最小，最小值为：F电minmgcos 45°mgF电minqEmin解得所加电场的场强最小值Emin，方向沿AOB的角平分线方向指向左上方.(2)当所加电场的场强为最小值时，电场力与重力的合力为Fmgsin 45°mg把电场力与重力的合力看做是“等效重力”，对珠子由A运动到M的过程，由动能定理得F(rr)mv20在

10、M点，由牛顿第二定律得：FNFm联立解得FN(1)mg由牛顿第三定律知，珠子对环的作用力大小为FNFN(1)mg.(3)由题意可知，N点为等效最高点，只要珠子能到达N点，就能做完整的圆周运动，珠子在N点速度为0时，所需初动能最小，此过程中，由动能定理得：F(rr)0EkA解得EkAmgr.变式3(2018·质检)如图6所示的装置是在竖直平面放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高为h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动并进入圆环做圆周运动.已知小球所受电场力是其重力的，圆环半径为R，斜面倾角为60°，sBC2R.若使小球在圆环能做完整的圆周运动，h

11、至少为多少？(sin 37°0.6，cos 37°0.8)图6答案7.7R解析小球所受的重力和电场力都为恒力，故可将两力等效为一个力F，如图所示.可知F1.25mg，方向与竖直方向成37°角.由图可知，小球做完整的圆周运动的临界点是D点，设小球恰好能通过D点，即到达D点时圆环对小球的弹力恰好为零.由圆周运动知识得：F，即：1.25mgm小球由A运动到D点，由动能定理结合几何知识得：mg(hRRcos 37°)mg·(2RRsin 37°)mvD2，联立解得h7.7R.命题点三电场中的力电综合问题1.力学规律(1)动力学规律：牛顿运动定

12、律结合运动学公式.(2)能量规律：动能定理或能量守恒定律.2.电场规律(1)电场力的特点：FEq，正电荷受到的电场力与场强方向一样.(2)电场力做功的特点：WABFLABcos qUABEpAEpB.3.多阶段运动在多阶段运动过程中，当物体所受外力突变时，物体由于惯性而速度不发生突变，故物体在前一阶段的末速度即为物体在后一阶段的初速度.对于多阶段运动过程中物体在各阶段中发生的位移之间的联系，可以通过作运动过程草图来获得.例3(2017·全国卷·25)真空中存在电场强度大小为E1的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上做匀速直线运动，速度大小为v0，在油滴处于位置A时，将电场

13、强度的大小突然增大到某值，但保持其方向不变.持续一段时间t1后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运动到B点.重力加速度大小为g.(1)求油滴运动到B点时的速度；(2)求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t1和v0应满足的条件.已知不存在电场时，油滴以初速度v0做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍.答案见解析解析(1)油滴带电性质不影响结果.设该油滴带正电，油滴质量和电荷量分别为m和q，油滴速度方向向上为正.油滴在电场强度大小为E1的匀强电场中做匀速直线运动，故匀强电场方向向上.在t0时，电场强度突然从E1增加至E

14、2，油滴做竖直向上的匀加速运动，加速度方向向上，大小a1满足qE2mgma1油滴在t1时刻的速度为v1v0a1t1电场强度在t1时刻突然反向，之后油滴做匀变速直线运动，加速度方向向下，大小a2满足qE2mgma2油滴在t22t1时刻，即运动到B点时的速度为v2v1a2t1由式得v2v02gt1(2)由题意，在t0时刻前有qE1mg油滴从t0到t1时刻的位移为x1v0t1a1t12油滴在从t1时刻到t22t1时刻的时间间隔的位移为x2v1t1a2t12由题给条件有v2g×2h4gh式中h是B、A两点之间的距离.若B点在A点之上，依题意有x1x2h由式得E222()2E1为使E2E1，应

15、有22()21解得0t1(1)或t1(1)条件式和式分别对应于v20和v20两种情形.若B在A点之下，依题意有x2x1h由式得E222()2E1为使E2>E1，应有22()2>1解得t1>(1)另一解为负，不符合题意，舍去.变式4(2017·全国卷·25)如图7所示，两水平面(虚线)之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场.自该区域上方的A点将质量均为m，电荷量分别为q和q(q>0)的带电小球M、N先后以一样的初速度沿平行于电场的方向射出.小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开.已知N离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中

16、做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时的动能的1.5倍.不计空气阻力，重力加速度大小为g.求：图7(1)M与N在电场中沿水平方向的位移之比；(2)A点距电场上边界的高度；(3)该电场的电场强度大小.答案(1)31(2)H(3)解析(1)设小球M、N在A点水平射出时的初速度大小为v0，则它们进入电场时的水平速度仍然为v0.M、N在电场中运动的时间t相等，电场力作用下产生的加速度沿水平方向，大小均为a，在电场中沿水平方向的位移分别为s1和s2.由题给条件和运动学公式得v0at0s1v0tat2s2v0tat2联立式得3(2)设A点距电场上边界的高度为h，小球下落h时在竖直方向的分速度为vy

17、，由运动学公式vy22ghHvytgt2M进入电场后做直线运动，由几何关系知联立式可得hH(3)设电场强度的大小为E，小球M进入电场后做直线运动，则设M、N离开电场时的动能分别为Ek1、Ek2，由动能定理得Ek1m(v02vy2)mgHqEs1Ek2m(v02vy2)mgHqEs2由已知条件Ek11.5Ek2联立式得E变式5如图8所示，在E103 V/m的竖直匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道QPN与一水平绝缘轨道MN在N点平滑相接，半圆形轨道平面与电场线平行，其半径R40 cm，N为半圆形轨道最低点，P为QN圆弧的中点，一带负电q104 C的小滑块质量m10 g，与水平轨道间的动摩擦因数0.

18、15，位于N点右侧1.5 m的M处，g取10 m/s2，求：图8(1)要使小滑块恰能运动到半圆形轨道的最高点Q，则小滑块应以多大的初速度v0向左运动？(2)这样运动的小滑块通过P点时对轨道的压力是多大？答案(1)7 m/s(2)0.6 N解析(1)设小滑块恰能到达Q点时速度为v，由牛顿第二定律得mgqEm小滑块从开始运动至到达Q点过程中，由动能定理得mg·2RqE·2R(mgqE)xmv2mv02联立解得：v07 m/s.(2)设小滑块到达P点时速度为v，则从开始运动至到达P点过程中，由动能定理得(mgqE)R(qEmg)xmv2mv02又在P点时，由牛顿第二定律得FNm代

19、入数据，解得：FN0.6 N由牛顿第三定律得，小滑块通过P点时对轨道的压力FNFN0.6 N.1.(2017·中原名校第二次联考)如图1所示，在两平行金属板中央有一个静止的电子(不计重力)，当两板间的电压分别如图2中甲、乙、丙、丁所示，电子在板间运动(假设不与板相碰)，下列说确的是()图1图2A.电压是甲图时，在0T时间，电子的电势能一直减少B.电压是乙图时，在0时间，电子的电势能先增加后减少C.电压是丙图时，电子在板间做往复运动D.电压是丁图时，电子在板间做往复运动答案D解析若电压是甲图，0T时间，电场力先向左后向右，则电子先向左做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，即电场力先做正

20、功后做负功，电势能先减少后增加，故A错误；电压是乙图时，在0时间，电子向右先加速后减速，即电场力先做正功后做负功，电势能先减少后增加，故B错误；电压是丙图时，电子先向左做加速度先增大后减小的加速运动，过了做加速度先增大后减小的减速运动，到T时速度减为0，之后重复前面的运动，故电子一直朝同一方向运动，C错误；电压是丁图时，电子先向左加速，到后向左减速，后向右加速，T后向右减速，T时速度减为零，之后重复前面的运动，故电子做往复运动，D正确.2.将如图3所示的交变电压加在平行板电容器A、B两板上，开始B板电势比A板电势高，这时有一个原来静止的电子正处在两板的中间，它在电场力作用下开始运动，设A、B两

21、极板间的距离足够大，下列说确的是()图3A.电子一直向着A板运动B.电子一直向着B板运动C.电子先向A板运动，然后返回向B板运动，之后在A、B两板间做周期性往复运动D.电子先向B板运动，然后返回向A板运动，之后在A、B两板间做周期性往复运动答案D3.一匀强电场的电场强度E随时间t变化的图象如图4所示，在该匀强电场中，有一个带负电粒子于t0时刻由静止释放，若带电粒子只受电场力作用，则下列说法中正确的是(假设带电粒子不与板相碰)()图4A.带电粒子只向一个方向运动B.02 s，电场力做功等于0C.4 s末带电粒子回到原出发点D.2.54 s，电场力做功等于0答案D解析画出带电粒子速度v随时间t变化

22、的图象如图所示，vt图线与时间轴所围“面积”表示位移，可见带电粒子不是只向一个方向运动，4 s末带电粒子不能回到原出发点，A、C错误；2 s末速度不为0，可见02 s电场力做的功不等于0，B错误；2.5 s末和4 s末，速度的大小、方向都一样，则2.54 s，电场力做功等于0，所以D正确.4.如图5所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为b.不计空气阻力，则下列说确的是()图5A.小球带负电B.电场力跟重力平衡C.小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小D.小球在运动过程中机械能守恒答案B

23、解析由于小球在竖直平面做匀速圆周运动，所以重力与电场力的合力为0，电场力方向竖直向上，小球带正电，A错，B对；从ab，电场力做负功，电势能增大，C错；由于有电场力做功，机械能不守恒，D错.5.(多选)(2017·一模)如图6所示，竖直平面有A、B两点，两点的水平距离和竖直距离均为H，空间存在水平向右的匀强电场.一质量为m的带电小球从A点以水平速度v0抛出，经一段时间竖直向下通过B点.重力加速度为g，小球在由A到B的运动过程中，下列说确的是()图6A.小球带负电B.速度先增大后减小C.机械能一直减小D.任意一小段时间，电势能的增加量总等于重力势能的减少量答案AC解析由题可知，小球在竖直

24、方向做自由落体运动，在水平方向做匀减速运动，可知其所受电场力方向向左，与电场方向相反，则小球带负电，电场力一直对小球做负功，小球的电势能增加，机械能减小，A、C正确.小球受竖直向下的重力和水平向左的电场力，合力方向指向左下方，又初速度水平向右，末速度竖直向下，由力与速度夹角关系可知，合力对小球先做负功，后做正功，小球的速度先减小后增大，B错误.任意一小段时间，小球的动能、电势能和重力势能的和保持不变，则电势能的增加量不一定等于重力势能的减少量，D错误.6.(2017·第一次联考)如图7甲所示，在y0和y2 m之间有沿着x轴方向的匀强电场，MN为电场区域的上边界，在x轴方向围足够大.电

25、场强度的变化如图乙所示，取x轴正方向为电场正方向.现有一个带负电的粒子，粒子的比荷1.0×102 C/kg，在t0时刻以速度v05×102 m/s从O点沿y轴正方向进入电场区域，不计粒子重力作用.求：图7(1)粒子通过电场区域的时间；(2)粒子离开电场的位置坐标；(3)粒子通过电场区域后沿x轴方向的速度大小.答案(1)4×103 s(2)(2×105 m,2 m)(3)4×103 m/s解析(1)因为粒子初速度方向垂直于匀强电场，在电场中做类平抛运动，所以粒子通过电场区域的时间t4×103 s.(2)粒子带负电，沿x轴负方向先加速后减

26、速，加速时的加速度大小a14 m/s2，减速时的加速度大小a22 m/s2，离开电场时，在x轴方向上的位移大小xa1()2a1()2a2()22×105 m，因此粒子离开电场的位置坐标为(2×105 m,2 m).(3)粒子通过电场区域后沿x轴方向的速度大小为：vxa1a24×103 m/s.7.(2018·调研)如图8所示，O、A、B、C为一粗糙绝缘水平面上的四点，不计空气阻力，一电荷量为Q的点电荷固定在O点，现有一质量为m、电荷量为q的小金属块(可视为质点)，从A点由静止沿它们的连线向右运动，到B点时速度最大，其大小为vm，小金属块最后停止在C点.已

27、知小金属块与水平面间的动摩擦因数为，A、B间距离为L，静电力常量为k，则()图8A.在点电荷Q形成的电场中，A、B两点间的电势差UABB.在小金属块由A向C运动的过程中，电势能先增大后减小C.OB间的距离为D.从B到C的过程中，小金属块的动能全部转化为电势能答案C解析小金属块从A到B过程，由动能定理得：qUABmgLmvm20，得A、B两点间的电势差UAB，故A错误；小金属块由A点向C点运动的过程中，电场力一直做正功，电势能一直减小，故B错误；由题意知，A到B过程，金属块做加速运动，B到C过程，金属块做减速运动，在B点金属块所受的滑动摩擦力与库仑力平衡，则有mgk，得r，故C正确；从B到C的过程中，小金属块的动能和减少的电势能全部转化为能，故D错误.8.如图9所示，匀强电场方向与水平线间夹角30°，方向斜向右上方，电场强度为E，质量为m的小球带负电，以初速度v0开始运动，初速度方向与电场方向一致.图9 (1)若小球的带电荷量为q，为使小球能做匀速直线运动，应对小球施加的恒力F1的大小和方向各如何？(2)若小球的带电荷量为q，为使小球能做直线运动，应对小球施加的最小恒力F2的大小和方向各如何？答案(1)mg方向与水平线成60°角斜向右上方(