知识讲解指数与幂的运算基础

1、铭师教研组收集整理，内部教研参考使用指数与指数幂的运算编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1) 理解 n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2) 能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；和转化，认识到符号化思想4.通过对根式与分数

2、指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质1整数指数幂的概念= a1×4a2×L43× a(n Î Z * )n个a= 1(a ¹ 0) 1ana0a-n=(a ¹ 0, n Î Z*)an2运算法则（1） am × an= am+n ；（2） (am )n = amn ；aman= a(m > n，a ¹ 0)；m-n（3）（4） (ab)m = ambm .要点二、根式的概念和运算法则1n 次方根的定义：若 xn=y(nN*，n>1，y

3、R)，则 x 称为y 的n 次方根.n 为奇数时，正数 y 的奇次方根有一个，是正数，记为 n y ；负数 y 的奇次方根有一个，是负数，记为y ；零的奇次方根为零，记为 n 0 = 0 ；nn 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为± n y ；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为 n 0 = 0 .2两个等式（1）当n > 1 且 n Î N * 时， ( n a )n = a ；= ìa, (n为奇数)（2） naníî| a | (n为偶数)资料来源于网络，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教

4、研组收集整理，内部教研参考使用要点诠释：要注意上述等式在形式上的与区别；计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成| a | 的形式，这样能避免出现错误要点三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定 a>0，n，mÎN*，且 m 为既约分数，分数指数幂可如下定义：n1= n a= ( n a )m = n amanma n- m1ma na=n要点四、有理数指数幂的运算1有理数指数幂的运算性质(a > 0，b > 0，a, b ÎQ)(1) aa × ab= aa +b ;(2) (aa

5、)b = aab ;(3) (ab)a = aaba ;当 a>0，p 为无理数时，ap 是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1) 根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2) 根式运算中常出现乘方与开方并存， 要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换. 如(-4)2 ¹ (4 - 4)2 ；421(3)幂指数不能随便约分.如(-4) 4 ¹ (-4) 2 . 2.指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算负指数幂化为正指数幂的倒数底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数

6、，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质在化简运算中，也要注意公式：a2b2（ab）（ab），（a±b）2a2±2abb2，（a±b） 3a3±3a2b3ab2±b3，a3b3（ab）（a2abb2），a3b3（ab）（a2abb2）的运用，能够简化运算.【典型例题】类型一、根式例 1.求下列各式的值：（1） 5 (-3)5 ;(2) 4 (-10)2 ;(3) 4 (3 - p )4 ;(4)(a - b)2.资料来源于网络，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考

7、使用ìa - b（a>b）（a=b）（a<b）ï】 -3； 10 ； p - 3 ； 0í【ïb - aî【】 熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号.（1） 5 (-3)5 = -3 ；（2） 4 (-10)2 = 10 ；（3） 4 (3 - p )4 =| 3 - p |= p - 3 ；ìa - bí0（a>b）（a=b）（a<b）（4） (a - b)2 =| a - b |= ïïb - aî【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例

8、如，4 的平方根是±2 ，但不是4 = ±2 .（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.举一反三：【变式 1】计算下列各式的值：（1） 3 (-2)3 ；（2） 4 (-9)2 ；（3） 6 (p - 4)6 ；（4） 8 (a - 2)8 .【】（1）-2；（2）3；（3） 4 - p ；（4） ìa - 2(a ³ 2) .í2 - a(a < 2)î例 2.计算：（1） 5 + 2 6 +7 - 4 3 - 6 - 4 2 ；11+（2）.2 +12 -1【】 2 2

9、; 2 2 【】 对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），、分母同乘以分母的有理化因式.则应5 + 2 6 +7 - 4 3 - 6 - 4 2（1）= ( 3)2 + 2 3 ´ 2 + (2)2 + 22 - 2´ 2 3 + ( 3)2 - 22 - 2´ 2 2 + ( 2)2( 3 +2)2 + (2 - 3)2 - (2 - 2)2=| 3 +2 |+| 2 - 3 |-| 2 - 2 |资料来源于网络，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用= 3

10、+2 + 2 - 3 -（ 2 - 2 ）2=211+（2）2 +12 -12 -12 +1+=2 +1)( 2 -1)(2 -1)( 2 +1)(= 2 -1+ 2 +1= 2 2【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全 n 次方，再解答，或者用整体思1想来解题.化简分母含有根式的式子时，将、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，2 +1的、分母中同乘以( 2 -1) .举一反三：【变式 1】化简：（1） 3 - 2 2 + 3 (1- 2)3 + 4 (1-2)4 ；2 + 6x + 9(| x |< 3)（2）ì-2x - 2 (-3 <

11、; x < 1),2 -1；（í【】（1）2）-(1 £ x < 3).4î类型二、指数运算、化简、求值例 3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0 ）：y2xx3yy6x3（1） a ×a ；（2） a × a ；（3） a a ；（4）23 32351135a 2 ； a 3 ； a 4 ； y 4【】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可12+ 15（1） a2 × a = a2 × a 2 = a= a 2 ;223+ 211（2） a3 × 3 a2 = a3 &#

12、215; a3 = a= a 3 ；31 13 13（3） a a = (a × a 2 )2 = (a 2 )2 = a 4 ；（4）解法一：从里向外化为分数指数幂y6y2x3 y61)3y2xx3 y2y2xx3y×yx(3=x3x3xy资料来源于网络，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用y2x1(x2 × y)21=æ y21 ö2= ç× xy 2 ÷x5= y 4解法二：从外向里化为分数指数幂èø1)2y2xx3y6y2x3

13、y6= (33yx3xyx31 111 1y2 x3y6x3y2x3 y6=()2 2 =()3 2 23xyxyx3111æ y2 ö2 æ x3 ö4 æ y6 ö12×ç= ç÷÷ ç÷3xyxèøèø èø5= y 4m 【总结升华】 此类问题应熟练应用 a n = n am (a > 0, m, n Î N *,且n当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分

14、数指数幂写出，然后再用性质进行化简举一反三：课程：指数与指数运算 例 1【变式 1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简6x（1） a × 2a ；5x × 3 x13- 23 【】（1） 210 a10 ；（2） x【变式 2】把下列根式化成分数指数幂：12） a a (a > 0) ；（3） b3 × 3 b2 ；（1） 6 8 2 ；（4）3x2 )2x( 57311- 3【】 212 ； a 4 ； b 3 ； x51æ7 ö61 762 × 22 = ç 22 ÷ = 212 ；】（1） 6 8 2

15、 =【èø13a 2113 13（2） a a =a × a 2 =2= (a 2 )2 = a 4 ；（3） b3 × 3 b2 = b3 ×b3 = b 3 ；111=（4）=24x53x2 )2x( 53×资料来源于网络，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用- 35 111= 913x=93例 4.计算：ù-1é- 1é78)0 ú× ê81-0 25(1) (0.0081)- ê3´ (

16、4；ëûë(2) 73 3 - 33 24 - 63 1 + 4 33 39(3) 3 -125 + 4 (-36)2【】 3；0；2+ 6 (p - 4)6 - 3 (3- 11 12101-1 -( +)=-= 3；【】(1)原式= (0.3)23 3333(2)原式= 73 3 - 63 3 - 23 3 + 3 3 = 0 ；(3)原式=-5+6+4- p -(3- p )=2；注意：（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.举一反三：【变式 1】计算下列各式：41-1- 8a 3 b176a 3(1) ( ) 3 &

17、#180; (-8)0 + 80 25 ´ 42 + (3 2 ´3)6 ；¸ (1 -(2).2a 32+ 23 ab + 4b 3112； a 【】(-1)(-1 )31113 + 1´1 + (23 ) 4 ´ 24 + (23 )6 ´ (3= 2 + 24+ 22 ´ 33 = 112 ；】(1)原式= 84【1 + 1 + 13 (a - 8b)a 3 3(2)原式= a .1112)2(2)(a 3 )3 - (2b 3 )3课程：指数与指数运算 例 3【变式 2】计算下列各式：-13 +211( )-2 +

18、()+- (1.0343 -26 615 6【】21+4】原式=16+ 6 +5+2 6 + 36 =21+ 156【44例 5.化简下列各式.-1-12(3) (0.027)3m + m+ 2(2)；+ æö- æ273(1)；.ç÷ç11è 125 øè-m 2+ m 2x-çè46øèø1- 11】 24 y 6 ； m 2 + m2 ；0.09【资料来源于网络，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教

19、研参考使用【】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.(1)x-çè46øèø(- 2 )-( -1)-1 1 - 1 -( - 1 )33 y 2 26æ6 ö= 5 ´ (-4) ´ ç -÷ xè5 ø11= 24x0 y 6 = 24 y 61 ö2æ- 1ç m+ m2 ÷2

20、m + m-1 + 2- 1èø= m+2(2)- 11- 11m+ m2m+ m222-10 52(3) (0.027)3+ æ27ö- æ 2 7 ö3ç 125 ÷ç 9 ÷èøèø=( 3 0.027)2 + 3 125 - 25 =0.09 + 52793举一反三：【变式 1】化简：xy2 ( xy )3 .5 73x 6 y 6【】11133 1】原式=xy2 (x2 × y 2 )3 3 = (xy2 × x2 ×

21、; y 2 )3 =【.=| a |= ìa(a ³ 0)注意：当n 为偶数时， n aní-a(a < 0).îx-2 - y-2x-2 + y-2-【变式 2】化简- 2- 23- 2- 23x+ yx- y33xy3-2【】xy- 2-】应注意到 x 3 与x 2 之间的关系，对使用乘法公式进行因式分解，【- 2- 2- 2- 2(x 3 )3 + ( y3 )3(x 3 )3 - ( y3 )3原式=- 2- 23- 2- 23x+ yx- y33- 2- 2- 2- 2= (x 3 )2 - x 3 × y+ ( y3 )23资

22、料来源于网络，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用- 23xy3= -2(xy)= -2.xy【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式 3】化简下列式子：3 + 3(2) 4 2 + 2 6(3)+ 2x + 1 + 3 x3 - 3x2 + 3x -1x2(1)2 - 2 -36 ； 4 18 + 4 2 ； ì2x(x ³ -1)】 2 2 +í-2(x < -1)

23、【î2(3 + 3)2(3 + 3)2(3 + 3)】 (1)原式= = =【3 - 32 -4 - 2 32 - ( 3 -1)22(3 + 3)22(12 + 6 3) = 2=2 +6(3 - 3)(3 + 3)6(2) ( 4 18 + 4 2)2 = ( 4 18)2 + 24 18 × 4 2 + ( 4 2)2= 18 + 24 18´ 2 +2 = 3 2 + 24 62 +2 = 4 2 + 26 > 0由平方根的定义得： 4 2 + 2 6 = 4 18 + 4 2(3) 3 x3 - 3x2 + 3x -1 = 3 (x -1)3 = x -1x 2 + 2x + 1 =| x + 1 |= ìx + 1(x ³ -1)í-x - 1(x < -1)î+ 3x - 1 = ì2x(x ³ -1) .+ 2x + 1 + 3 x3 - 3x2x2í-2(x < -1)î课程：指数与指数运算 例