2019年高考数学文科二轮专题突破训练：专题五立体几何专题能力训练14版含答案数理化网

1、专题能力训练14空间中的平行与垂直一、能力突破训练1 .如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中直线AB与平面MNQ不平行的是（）MMABACD2 .如图，在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点，沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体，使B,C,D三点重合，重合后的点记为P,点P在那EF内的射影为O.则下列说法正确的是（）8A.O是4AEF的垂心B.O是那EF的内心C.O是那EF的外心D.O是那EF的重心3 .已知m,n是两条不同的直线，/3是两个不同的平面，给出下列命题：若a±gm/%则m，3若m±a,n

2、±3,且m±n,则a±旨若m±8mII则a±8若mIIgnII8且mIIn,则all3其中正确命题的序号是（）A.B.C.D.4 .平面“过正方体ABCD-AiBiCiDi的顶点A,”/平面CBiDi,“n平面ABCD=m,加平面ABBiA产n,则m,n所成角的正弦值为（一）_£也必223A.B.C.D.5 .已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PELAC,则动点P的轨迹的周长为.6 .下列命题正确的是.（填上你认为正确的所有命题的序号）空间中三个平面a,8丫若a_L3,Y-

3、L8则a/j若a,b,c为三条两两异面的直线，则存在无数条直线与a,b,c都相交；7T若球。与棱长为a的正四面体各面都相切，则该球的表面积为6a2；在三棱锥P-ABC中，若PA，BC,PBLAC,则PCXAB.7 .如图，在四棱锥P-ABCD中,PA，底面ABCDAD/BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.证明MN/平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.8 .如图，在四棱锥P-ABCD中,PC,平面ABCDAB/DC,DC，AC.(1)求证:DC，平面PAC;(2)求证:平面PABL平面PAC;设点E为AB的中点，在葭PB上是否存在

4、点F,使得PA/平面CEF?说明理由.9.（2018天津，文17）如图在四面体ABCD中，那BC是等边三角形，平面ABC，平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2笈,/BAD=90°.(1)求证:AD±BC;(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值10.(2018北京，文18)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD，平面ABCD,PA±PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PE±BC;(2)求证:平面PABL平面PCD;(3)求证:EF/平面PCD.二、思维提

5、升训练K11.如图,在直角梯形ABCD中,AD/BC,/BAD=2,AB=BC=AD=a,E是AD的中点，。是AC与BEAi-BCDE.36泛，求a的值.(1)证明:CD，平面AiOC;(2)当平面AiBEL平面BCDE时,四棱锥Ai-BCDE的体积为AB12.如图,AB是圆O的直径，点AB=2,VA=VB=VC=2.C是的中点，点V是圆。所在平面外一点，D是AC的中点，已知求证:OD/平面VBC;(2)求证:AC，平面VOD;(3)求棱锥C-ABV的体积.13 .已知在正三棱柱ABC-AiBiCi中,AB=2,AAi=V，点D为AC的中点，点E在线段AAi上.当AE:EAi=i：2时,求证：

6、DELBCi.(2)是否存在点E,使三棱锥Ci-BDE的体积恰为三棱柱ABC-AiBiCi体积的？若存在，求AE的长，若不存在,请说明理由.14 .Q如图，在三棱锥P-ABC中,PAL底面ABC,AB，BC,DE垂直平分线段PC,且分别交AC,PC于D,E两点,PB=BC,PA=AB.(i)求证:PC,平面BDE;(2)若点Q是线段PA上任一点，判断BD,DQ的位置关系，并证明你的结论；(3)若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.专题能力训练14空间中的平行与垂直一、能力突破训练1 .A解析易知选项B中,AB/MQ,且MQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,则AB/平面MNQ;选项C中,AB/MQ

7、,且MQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,则AB/平面MNQ;选项D中,AB/NQ,且NQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,则AB/平面MNQ,故排除选项B,C,D.故选A.2 .A解析如图，易知PA,PE,PF两两垂直，：PA，平面PEF,E从而PAXEF,而POL平面AEF,则POXEF,：EF，平面PAO,：EFXAO.同理可知AEXFO,AF±EO,.O为"EF的垂心.3.B解析当a±0m/a时，有m±0m/0m?3等多种可能情况，所以不正确；当m±a,n±3,且m,n时，由面面垂直的判定定理知近8所以正确;因为m±8m

8、/a所以a±8正确;若m/油/8且m/n,则a/3或%3相交，不正确.故选B.4.A解析（方法一）'->a/平面CBiDi,平面ABCD/平面AiBiCiDi,加平面ABCD=m，平面CBiDiA平面AiBiCiDi=BiDi,.m/B1D1.a/平面CBiDi,平面ABBiAi/平面DCCiDi,“n平面ABBiAi=n，平面CBiDiA平面DCCiD尸CDi,.-.n/CDi.：BiDi,CDi所成的角等于m,n所成白角，即/BiDiC等于m,n所成的角.BiDiC为正三角形，：/BiDiC=60°,:m,n所成的角的正弦值为2.（方法二）由题意画出图形如

9、图，将正方体ABCD-AiBiCiDi平移，补形为两个全等的正方体如图，易证平面AEF/平面CBiDi,所以平面AEF即为平面/m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为那EF是正三角形，所以/EAF=60°,£_故m,n所成角的正弦值为2.5避+%记解析如图，取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG.设EF交AC于点H,连接GH,易知ACXEF.又GH/SO,GH±平面ABCD,.ACXGH.又GHAEF=H，：AC±平面EFG.故点P的轨迹是4EFG淇周长为事+而.皿6 .解析中也可以“与丫相交;作平面与a,b,

10、c都相交；中可得球的半径为1%；中由PA，BC,PB，AC得点P在底面祥BC的射影为AABC的垂心，故PCLAB.7 .(1)证明由已知得AM=AD=2.1取BP的中点连接AT,TN,由N为PC中点知TN/BC,TN=2BC=2.又AD/BC,故TNAM,四边形AMNT为平行四边形，于是MN/AT.因为AT?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN/平面PAB.(2)解因为PAL平面ABCD,N为PC的中点，1所以N到平面ABCD的距离为PPA.取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE,BC,AE=JAE二，比二7s.由AM/BC得M到BC的距离为回11PA_逑故Szbcm=2X4XX呜

11、=R5.所以四面体N-BCM的体积Vn-bcm=3XSabcmX238 .(1)证明因为PC,平面ABCD,所以PCXDC.P又因为DCLAC,所以DC±平面PAC.(2)证明因为AB/DC,DC±AC,所以ABLAC.因为PC,平面ABCD,所以PCLAB.所以AB,平面PAC.所以平面PAB，平面PAC.(3)解棱PB上存在点F,使得PA/平面CEF.证明如下：取PB中点F,连接EF,CE,CF.又因为E为AB的中点所以EF/PA.又因为PA?平面CEF,所以PA/平面CEF.9 .(1)证明由平面ABC,平面ABD,平面ABCA平面ABD=AB,AD，AB,可得AD,

12、平面ABC,故AD，BC.(2)解取棱AC的中点N连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点，故MN/BC.所以/DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在RtADAM中,AM=1,故DM=，加+而=%'9.因为ADL平面ABC,故ADLAC.在RtADAN中,AN=1,故DN=/八讲+八N*=V.1MN2_:叵在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos/DMN=_DM26.暨所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为26.一ABCX(3)解连接CM.因为那BC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM，AB,CM=®.又因为平面平面ABD,而CM?平面ABC,故CM1平面AB

13、D.所以，/CDM为直线CD与平面ABD所成的角在RtACAD中,CD=用/=4.CM_串在RtACMD中,sin/CDM=CD4.£所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为4.10 .证明(1);PA=PD,且E为AD的中点,.PEXAD.二.底面ABCD为矩形,.BC/AD,.PEXBC.(2):底面ABCD为矩形，：AB，AD.平面PAD，平面ABCD,：ABL平面PAD.-.ABXPD.又PALPD,PAAAB=A,：PD，平面PAB.,.PD?平面PCD,：平面PAB，平面PCD.(3)如图，取PC的中点G,连接FG,GD.B.F,G分别为PB和PC的中点，1.FG/BC

14、,且FG=BBC.丁四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，1.ED/BC,ED=2BC,.ED/FG,且ED=FG,：四边形EFGD为平行四边形，EF/GD.又EF?平面PCD,GD?平面PCD,:EF/平面PCD.、思维提升训练7111 .(1)证明在题图中，因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点，/BAD=2,所以BEXAC.即在题图中,BE，AiO,BE，OC,从而BE,平面A1OC,又CD/BE,所以CD,平面AiOC.(2)解由已知，平面AiBEL平面BCDE,且平面AiBEn平面BCDE=BE,又由(1),AiOLBE,所以AiOL平面BCDE,即AiO是四锥Ai二BCDE啰高

15、.由题图知,AiO=AAB=2a,平行四边形BCDE的面致S=BC)AB=a_2.11修必©从而四棱锥Ai-BCDE的体积为V=3xSXiO=3x/xZa=6a3,由6a3=36也，得a=6.12 .(i)证明.O,D分别是AB和AC的中点，：OD/BC.又OD?平面VBC,BC?平面VBC,：OD/平面VBC.(2)证明VA=VB,O为AB中点，：VOXAB.在封OA和封OC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,.封OAOC,/VOA=/VOC=90°-.VOXOC.ABnOC=O,AB?平面ABC,OC?平面ABC,.VOL平面ABC.又AC?平面ABC,.ACXVO

16、.VA=VC,D是AC的中点，：ACVD.VO?平面VOD,VD?平面VOD,VOAVD=V,.AC,平面VOD.(3)解由(2)知VO是棱锥V-ABC的高，且VO=J1ML一/AB.点C是一的中点,.COAB,且CO=i,AB=2,11那BC的面积Saabc=2ABCO=2X2Xi=i,11=-:棱车BV-ABC的体积为Vv-abc=3szabcVO=3XiX3，故棱锥C-ABV的体积为313 .(i)证明因为三棱柱ABC-AiBiCi为正三棱柱，所以那BC是正三角形.因为D是AC的中点，所以BDXAC.又平面ABC，平面CAA1cl，所以BDXDE.因为AE：EAi=i：2,AB=2,AA

17、i='g,£所以AE=',AD=i,所以在RtAADE中,/ADE=30°.在RtADCCi中,/CDC=60°,所以/EDCi=90°,即DEDCi.因为CiDABD=D，所以DEL平面BCiD,所以DE±BCi.(2)解假设存在点E满尾题意.设AE=h，则AiE="-h,回_FJ所以一，'Saed-'_=2：%-(-“：'：，h.因为BD,平面ACC1A1,_1印1r_l1所以广-3二“又V棱柱=2x2乂邓N=3,雪包所以26h=1,解得h=F£&,故存在点巳当AE=,艮即E与Ai重合时，三棱锥Ci-BDE的体积恰为三棱柱ABC-AiBiCi体积的1314 .(i)证明.DE垂直平分线段PC,PB=BC,DE±PC,BE±PC.又BEADE=E,：PCL平面BDE.(2)解BDDQ.证明如下: