北京市一零一中学高二上学期期末考试(数学理)

1、北京一零一中一第一学期期末考试数学（理科）、选择题：本大题共 8小题，共40分.1.已知ot,P是两个不同平面，直线m二a ,那么“ m _L P ”是“ 口 _L P ”的（A.充分不必要条件C.充要条件2.如图所示是A. 1B. 必要不充分条件D.既不充分也不必要的条件个几何体的三视图,B. 2C. 3则在此几何体中，直角三角形的个数是 （）D. 4i1主视图侧视图3.椭圆2x my2=1的离心率为A.,1C. 2 或一2D.二或 44俯视图4 .设抛物线=8x上一点M至U y轴的距离为4,则点M到该抛物线焦点的距离是A. 12B. 8C. 6D.5 .已知f （x） =x3 -ax在区间

2、1,也）上是单调增函数，则a的最大值为（）A. 3B. 2C. 1D. 06 .已知 f(x)的导函数 f'(x) =a(x+1)(x a),若 f(x)在x=a处取得极大值，则a的取值范围是A. (0*)B . (-1,0)C. S1) D .(3,0)7.如图，E为正方体ABCD ABiGD的棱AA的中点，F为棱AB上一点,C1EF =90',则AF:FBA. 1:1.1: 2 C . 1: 3 D1： 48.设双曲线2 x2 a2方=1（ a > 0,b > 0）的渐近线与抛物线2y = x +1相切，则该双曲线的离心率为（D.3c6二、填空题:每小题 5分，

3、共30分.9 .函数f（x） =lnxx的单调减区间是2210 .已知F1、F2是椭圆C: 、+上=1的两个焦点，P为椭圆上一点，且 NF1PF2=90',则&PF1F2的 259面积11 .如图，在长方体 ABCD ABQ1D1中，AB = BC=2, A1D与BC1所成角为90：,则直线BG与平面BBQQ所成角的大小为 .12 .函数y = f(x)的图象在点(3, f(3)处的切线方程是y = x+4 ,则f(3)+f '(金1113 .已知直线l过点(0,2),且与抛物线y =4x交于A(x1, y1)、B(x2,y2)两点，则一 + = 小y214 .如图，正

4、四面体ABCD的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线 Ox、Oy、Oz上，给出下列四个命题：多面体O - ABC是正三棱锥；直线OB / /平面ACD ；直线AD与OB所成的角为45"二面角D -OB A为45 .其中真命题有 (写出所有真命题的序号)参考答案一、选择题：本大题共 8小题，共40分。题号12345678答案ACDCABCB、填空题：本大题共 6小题，共30分。9. _(1*) ;10. 9_ _;11. 3012 . 0 ;13. _1 ;14.一2一三、解答题：本大题共 4小题，共50分。.一315 .已知函数f (x) =x.x(i)求曲线y = f (x)在点

5、(2, f (2)处的切线方程;(n)求函数f (x)在区间1,3上的最大值和最小值解：(I) 7x 4y -12 =0E) ymax=f(3)=2, ymin=f(1) = -216 .如图，正四棱柱 ABCD -A1B1C1D1中，AA1 =2AB = 4,点E在CC1上且C1E = 3EC，点F是线段CCi的中点(I)证明：AF /平面BED ;(n)求二面角 A -DB A的正切值；(出)求三棱锥FBED的体积.解：(I)略(n)二面角 ADBA的正切值为2五.八 _ 2(山)三棱锥F -BED的体积为-317 .已知函数f (x) =(x2+ax -2a2+3a)ex(xw R),若

6、a w R ,求函数f (x)的单调区间与极值。解：f'(x) = x2 (a 2)x-2a2 4a Lx.令f'(x)=0,解得x=-2a,或乂=2-2.以下分三种情况讨论。2(1)右a > ，则2av a-2.当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表: 3x(, 2a )-2a(-2a, a - 2)a -2(a-2,+的)+0一0+/极大值极小值/所以f(x)在(*,2a),(a2,+比)内是增函数，在(2a, a 2)内是减函数.函数f (x)在x = -2a处取得极大值f(-2a),且f (-2a) =3ae4a.函数f (x)在x = a -2处取

7、得极小值 f(a-2),且f (a -2) = (4 - 3a)ea：2(2)若av2,则-2a> a -2,当x变化时，f'(x), f (x)的变化情况如下表：3x(-°o, a -2)a -2(a -2,-2a)-2a(-2a, + )+0一0+/极大值极小值/所以f(x)在(3，a-2),(-2a,十m)内是增函数，在(a-2,-2a)内是减函数。函数£0)在乂=2- 2处取得极大值f(a-2),且f (a - 2) = (4 - 3a)ea，函数f (x)在x = -2a处取得极小值f(-2a),且f (-2a) =3aea.2(3)右a =，则-2

8、a = a-2,函数f (x)在(，+出单调递增，此时函数无极值3B两点,18 .已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于OA+OB与向量a=(3,1)共线.(I)求椭圆的离心率;(n)设M为椭圆上任意一点，且 OM =?.OA + NOB (九卅w R),证明/ + R2为定值.22解：设椭圆方程为x2、=l(a b . 0), F (c,0) a b22化简得则直线AB的方程为y =xc,代入 与+4=1, a b,2, 2、 222 22, 2(a b )x -2a cx a c -a b =0.令 A (x1，yi), B(x2，y2),则 xi

9、 +x22a2c-222 , x1x2 二a b2 22, 2a c -a b272a b由 OA+OB =(X +x2，y1 +y2),a=(3,1),OA + OB与 a共线，得. Xi x2 322, 2 6ac =y a -b =，33(y1 +y2)十(xi +x2)=0，又 y =x -c, y2 = x2 -c,3(x1 x2 -2c)(x1x2) = 0,2即等三=3c,所以a2 =3b2.a b 2故离心率e = ° a22(II )证明：(1)知a2=3b2,所以椭圆 与+，7=1可化为x2+3y2=3b2.a b设 OM =(x,y),由已知得(x,y) = K(x，y1)+ N(x2, y?),x = Zx1 + Mx2, y = :凶 + Nx2.丁 M (x, y)在椭圆上,222.( x1+；x2)3(，y1+.：y2) =3b .即 X2(x12 +3y12) +N2(x2 +3y2)+2他(x1x2 +3y1y2) = 3b2.由(1)知 x1 x2 = 3c, a2 = 3 c2 ,b2 = 1 c2.1 22222 22. 2°a c -