整数裂项84105

1、整数裂项后延减前伸差数除以N例谈整数裂项河南省太康县城关镇建南小学(461400 )对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都 是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方 法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项(或前项)恰好与上个裂 变的前项(或后项)相互抵消，从而达到以短制长”的目的。下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。例 1、 计算 1X2+2X3+3X4 +4X5+ 98X99+99X 100分析：这个算式实际上可以

2、看作是：等差数列1、2、3、4、598、99、100,先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为 1,因数个数为2。1X2= (1X2X3-0MX2) + (1X3)2X3= (2X3X4-1 X2X3) + (1X3)3X4= (3X4X5-2MX4) + (1X3)4X5= (4X5X6-3MX5) + (1X3)98X99= (98X99X100-97 X98X99) + (1X3)99X100= (99X100X101-98 X99X100) + (1X3)将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化 为(

3、99X100X101-0X1X2) 与。解：1 X 2+2X 3+3X 4+4X 5+98X 99+99X 100=(99X100X101-0 X1X2) 与=333300例 2、 计算 3X5+5X7+7X9+ 97X 99+99X 101分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列 3、5、7、997、99、101 ,先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2,因数个数为2。3X5= (3X5X7-1 >3X5) + (2X3)5X7= (5X7X9-3 X5X7) + (2X3)7X9= (7X9X11-5X7X9) + (2X3)97X99= (9

4、7X99X101-95 X97X99) + (2X3)99X101= (99X101 X103-97 X99X101 ) + (2X3)将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。解：3X5+5X 7+7X9+97X99+99X 101=(99X101X103-1 X3X5) + (2X3)=1029882 + 6=171647例 3、 计算 1 X 2X 3+2X 3X 4 + 3X 4X 5+ + 96X 97X 98+97X 98X99分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列 1、2、3、4、598、99、100,先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和

5、。算式的特点概括为：数列公差为 1,因数个数为3。1 X2X3= (1 X2X3X4-0 X1X2X3) + (1X4)2X3X4= (2X3X4X5-1 X2X3X4) + (1X4)3X4X5= (3X4X5X6-2 >X4X5) + (1X4)96X97X98= (96X97X98X99-95 X96X97X98) + (1 X4)97X98X99= (97X98X99X100-96 X97X98X99) + (1X4)右边累加，括号内相互抵消，整个结果为(97X98X99X100-0 X1 X2X3) + (1 X4)。解：1 X2X3+2X3X4+3X4X 5+96X 97 X

6、 98 X +97X 98 X 99=(97X98X99X100-0 X1X2X3) + (1X4)=23527350例 4、 计算 10X 16X 22+ 16X 22X28+ + 70X76X 82+76X 82X 88分析：算式的特点为：数列公差为 6,因数个数为3。解：10X 16X 22+16X 22X 28+70X 76X 82+76X 82X 88= (76X82X88X94-4 X10X16X22) + (6X4)=2147376通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘 积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，

7、再把算式中最前面一项向前伸展一个数， 用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。将以上叙述可以概括一个口诀是：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差 数除以No N取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。例 5、 计算 1X1+2X 2+3X 3+99X 99+100X 100分析：nXn=(n-1) M+n解：1X1+2X 2+3X

8、 3+99X 99+100X 100=1+ (1X2+2) + (2X3+3) + (98X99+99 ) + (99X100+100 )=(1X 2+2X3+98X 99+99X 100 + (1+2+3+99+100 )=99X100X101+3+ (1+100 ) X100+2=333300+5050=338350例 6、 计算 1X2+3X4+5X 6+97X98+99X 100分析：(n-1)如=(n-2) Xn+n解：1 X 2+3X 4+5X 6+7X 8+97X 98+99X 100+ (96X98+98 ) + (98X100+100 )=2+ (2X4+4) + (4X6+

9、6) + (6X8+8) +=(2X4+4X 6+6X8+96X 98+98X 1Q0+ (2+4+6+8+98+100 )=98X100X102y+ (2+100 ) X50-2=169150例 7、计算 1 X1 x 1+2X2X2+3X3X3+99X99X99+0X100X100分析：nXnXn=(n-1)为 x(n+1)+n解：1 x 1 x 1+2X2X2+3X 3X 3+99X 99x 99+100X 100X 100=1+ (1X2X3+2) + (2X3X4+3) + (98X99X100+99 ) + (99X100X101+100 )=(1X2X3+2X3X4+98X 99

10、X 100+99X 100X)101 (1+2+3+99+100 )=99X100X101 X102+4+ (1 + 100 ) X100+2=25492400例 8、计算 1X3+2X 4+3X 5+4X6+98X 100+99X 101解：1X3+2X 4+3X 5+4X 6+98X 100+99X 101=(1X 3+3X5+99X 101 + (2X 4+4X6+98X100=(99X101X103-1 X3X5) 4+1 X3+98X100X102为=171650+166600=338250例 9、计算 1+ (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4+100 )解：1+

11、(1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4+100)=1X2+2+2X3+2+3X4+2+100 X 101+2=(1X2+2X 3+3X4+100X 101 e=(100X101 X102+3) 及=171700将上面的口诀继续编写是：前延比零小，取负就是了。小学不可为，首项先甩掉。平方和立方，变形再裂 项。式长要转化，类比解决它。口诀需熟记，灵活靠练习。练习题:1、 计算 1X4+4X7+7X10+94X 97+97X 1002、 计算 2X 4X 6+4X 6X 8+94X 96X 98+<98X1003、 计算 5X 5X 5+6X 6X 6+7X 7X 7+65X 6

12、5X 654、 计算 3+ (3+6) + (3+6+9) + (3+6+9+12+300富不贵只能是土豪，你富而不骄，莫若富而好礼。”如今我们不缺可以一夜暴富，但是贵气却需要三代以上的培养。孔子说土豪，但是我们缺少贵族。高贵是大庇天下寒士俱欢颜的豪气与悲悯之怀，高贵是位卑未敢忘忧国的壮志与担当之志高贵是先天下之忧而忧的责任之心。精神的财富和高贵的内心最能养成性格的高贵，以贵为美，在不知不觉中营造出和气的氛围；以贵为高，在潜移默化中提升我们的素质。以贵为尊，在创造了大量物质财富的同时，精神也提升一个境界。一个心灵高贵的人举手投足间都会透露出优雅的品质，一个道德高贵的社会大街小巷都会留露出和谐的温馨，一个气节高贵的