分下列每题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要

1、一选择题： 1-8 小题，每小题 4 分，共 32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1.D2. D3. C4. A5. B6. C7.C 8.B二填空题： 9-16 小题，每小题 4 分，共 32 分。9.2ex10.y cxx11.3 y2 f 2y2 xfy2 x6xyf 2y 2x fy 2x1 ezdx1 ezdy12. 313. 14E A53n14.215. 5/1616. 2n 4三解答题： 1724 小题，共 86 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本题满分 10 分）xetantesin tdt计算极限

2、lim 0x4x0解：xetan tesin t dtlim0limetan xesin xesin xetan x sin x 1limtan xsin x43lim33x 0xx 04xx 04xx 04x(6 分)limtan x 1 cos xlim1cos x14x34x28x 0x0(4 分)18.（本题满分 11 分） dx计算不定积分3 x 1 x2解：dx2 3dtan t3xtant 12x 1tant1 sin22t d sintsin t(4 分)12sin 2 txln1x2sin 4 td sin tln sin tsintx21x22c1 x241x2sin2 t

3、1 sin4 t c4(7 分)19.（本题满分 11 分）设曲线 yx 和直线 yx 所围平面区域为 D ，求：（）区域的面积。 （ ）cos ydxdy1 D2D11解： (1) D 的面积为x x dx06(5分 )1x1(2)cos ydxdydxcos ydysin x sin x dx 2sin1 cos1 1D0x0(6分)20.（本题满分 11 分）设过平面曲线L上任一点 P x, y 的切线与直线OQ 垂直，其中 O点为原点，动点 Q的坐标为 x,2 y ，且曲线 L过点1,1 ，求曲线 L的方程。解：由题意可知： y2y12ydyxdx y 21x2cx2(9 分)因为曲线

4、过 (1,1)点，所以有：113cc所求的曲线方程为： x22y2223(2 分)21.（本题满分 9 分）x1x2x31设线性方程组x1 x2 0, a为常数 ，问：x12 x2x3a(1)， a 满足何条件时，方程有唯一解？(2)， a 满足何条件时，方程组有无穷多个解？并求通解。111解：（ 1） 102 101,aR有唯一解。121(3 分)11111111（2） 增矩阵 10010011121a000a101当a 1,时，有无穷解。通解为X0C1, C R110(3 分)101111112211增广矩阵 10010122121a000a 11122当a 1,有无穷解，通解为：X =c

5、11, c R1,2210(3 分)22.（本题满分 12 分）34, Xx10,若 AXX，设 A2x21(1) 求 和X。(2) 计算 An n为正整数 。解： AXXAEX0AE01,21, AE44111, c10当1:00X c1112, AE1414X c24014:0, c201（2） 令：P14,则有： AP1P 1112A10P11410114P2110231101n 12n 2n 12n2An1141n2n1n2n34(2 分)(2 分)(2 分)(2 分)(4 分)23.（本题满分 12 分）设随机变量 X 的密度函数 f (x)Ae x , x(,) 。(1) 求常数

6、A 的值。(2) 求 X 的数学期望 EX 和方差 DX 。(3) 求 X 与 X 的协方差和相关系数，并说明X 与 X 的相关性。(4) 问 X 与 X 是否相互独立？说明理由。解： （1）由 1f (x)dxxA2得A1（2 分）Ae dx;x 1e x dx 02（2） E(X )2D(X ) E(X 2) E(X )2x2 1 e x dx 0 2 x2 1 e xdx 2（4 分）202x x 1 e x dx 0（3） Cov( X , X )E(X X)E(X )E( X )02Cov ( X , X )不相关 .（4 分）X X0，所以X与 XD(X) D(X )（4）若 X

7、与 X 相互独立 ,则对任何 a0 ,P( X a) P( X a)P( Xa, Xa) = P( Xa)因此 P( X a) 1, 显然不成立 , 比如 P( X1)1,故 X 与 X 不相互独立 .（2 分）24.（本题满分 10 分）设随机变量 X 1与 X 2 相互独立，分别服从参数为1 和2 的泊松分布。(1)求Z X1X 2 的概率分布。(2) 求 Z n 的条件下 , X 1 的概率分布。解：（ 1）由离散卷积公式：P(X1X 2n)P(X1k, X 2n k )kP( X1k) P( X 2nk )knknk1 e1(n2e2k0k!k )!e (12 )nkknkn!Cn12k0(n2 )，12 )(10,1,2,n!en因此, ZX 1X 2 P (2 ) ,1参数为1 +2 的泊松分布 .(5 分)（2） P( X1 k | Z n) P( X1k | X 1X 2n)P(X1k, X1X 2n)P( X1X 2n)P( X1k) P( X 2nk ),P(X1X 2n)由于 ZX 1X 2 服从参数为1 +2 的泊松分布 , 所以knk1e12e