2016年宜宾高一数学下期末试卷带答案和解释

1、2016年宜宾市高一数学下期末试卷（带答案和解释）2015-2016学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若等差数列an的通项公式是an=2n+5,则此数列（）A.是公差为5的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为2的等差数列D.是公差为7的等差数列2.已知=（3,1）,向量=（2,入），若/,则实数入的值为（）A.?B.C.D.?3.若a,b是任意实数，且a>b,则（）A.>B.<1C.（）a<（）bD.1g（a?b）>04.ABC勺内角A,B,C的

2、对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120°,则a等于（）A.B.C.2D.5.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A.80B.40C.D.6.已知向量=（x,2）,=（1,y）,其中x>0,y>0,若？=1,则+的最小值为（）A.6B.8C9D.87.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是线段A1B1,B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E=B1F有下面四个结论：®EF±AA1;EF/ACEF与A金面；EF/平面ABCD其中一定正确的有（）A.B.C.D.8.如图所示，矩形OABC'是水平放置一个平面图形的直观图，

3、其中OA=6,O'C'=2,则原图形是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形9.an是各项均不为0的等差数列，bn是等比数列，若a1?a+a13=0,且b7=a7,则b3b11=（）A.16B.8C.4D.210.zABC中，a,b、c分别为/A、/B、/C的对边，如果a,b、c成等差数列，/B=30°,ABC勺面积为，那么b等于（）A.B.C,D.11.在边长为1的菱形ABC前，/BAD=60,E是BC的中点，则？=（）A.B.C.D.12.设正实数m,n,t满足m2?3mn+4n2t=0,则当取得最小值时，m+2r?t的最大值为（）A.1B.2C.3D

4、.4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.在等比数列an中，a3=2,a6=,则数列an的公比为.14.若实数x,y满足不等式组，则目标函数z=x+y的最大值为.15.若O为ABCf在平面内一点，且满足，则ABC的形状为.16.已知数列an,bn,cn,满足a1=8,b1=10,c1=6,且an+1=an,bn+1=,cn+1=,贝Ubn=.三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知，是夹角为60的单位向量，且，(1)求；(2)求的夹角<>.18.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2?2)nmil

5、e到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C,求/CAB勺大小？19.在ABC+,内角AB、C的对边分别为a、b、c,已知a、b、c成等比数列，且cosB=.(I)求+的值；(H)设？=,求a、c的值.20.如图，在RtzAOB中，/OAB=,斜边AB=4RtAAOC通过RtzAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B?AC?C是直二面角.动点D在斜边AB上.(I)求证：平面CODL平面AOB(H)当D为AB的中点时，求异面直线AOWCD所成角的正切值；(田)求Cg平面AOBJf成角最大时该角的正切值

6、.21.已知定义在R上的函数f(x)=x2?(3?a)x+2(1?a)(其中aSR).(I)解关于x的不等式f(x)>0;(H)若不等式f(x)Ax?3对任意x>2恒成立，求a的取值范围.22.已知数列an满足条件an+1?an=2,a5=11,前n项和为Sn,数列bn前n项和为Tn,满足条件Tn=2bn?2.(1)求an与bn;(2)求数列an?bn的前n项和Kn;(3)令Cn=,若不等式x2+2mx+信C1+C2+C3+Cn对任意x6R和任意的正整数n恒成立，求实数m的取值范围.2015-2016学年四川省宜宾市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个

7、小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若等差数列an的通项公式是an=2n+5,则此数列()A.是公差为5的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为2的等差数列D.是公差为7的等差数列【考点】等差数列的通项公式.【分析】由题意an=2n+5,再化简当nA2时an?an?1后，由等差数列的定义即可得答案.【解答解：因为an=2n+5,所以当n>2时，an?an?1=2n+5?2(n?1)+5=2,所以数列an是以2为公差的等差数列，故选C.2.已知=(3,1),向量=(2,入)，若/,则实数入的值为()A.?B.C.D.?【考点】平面向量共线

8、(平行)的坐标表示.【分析】根据平面向量共线的坐标表示，列出方程即可求出入的值.【解答解：二(3,1),向量=(2,入)，且/,.3入？2X1=0,解得入=.故选：B.3.若a,b是任意实数，且a>b,则()A.>B.<1C.()a<()bD.lg(a?b)>0【考点】不等式的基本性质.【分析】对于A,B,D举反例可以判断，对于C,根据指数函数的单调性即可判断.【解答解：若a,b均小于0,则A不成立，若a<0,由a>b,则得到>1,故B不正确，根据指数函数的性质可知，y=为减函数，故C正确，当0<a?b<1时，D不成立，故选：C.4.

9、AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120°,则a等于()A.B.C.2D.【考点】余弦定理；正弦定理.【分析】由b,c以及cosB的值，利用余弦定理即可求出a的值.【解答】解：:c=,b=,cosB=cos120=?,二由余弦定理得：b2=a2+c2?2accosB,即6=a2+2+a,解得：a=.故选A5.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为()A.80B.40C. D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥：POL平面ABCPO=4AO=2CO=3BCLACBC=4据此可计算出该几何体的体积.【解答】解：

10、由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥：POL平面ABCPO=4AO=2CO=3BCLACBC=4从图中可知，三棱锥的底是两直角边分别为4和5的直角三角形，高为4,体积为V=.故选D.6.已知向量=(x,2),=(1,y),其中x>0,y>0,若？=1，则+的最小值为()A.6B.8C.9D.8【考点】基本不等式；平面向量数量积的运算.【分析】由？=1,可得x+2y=1,再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.【解答】解：二向量=(x,2),=(1,y),.？=x+2y=1,x>。，y>0,.+=(+)(x+2y)=5+>5+4=9,当且仅当=时取等号，+的最

11、小值为9,故选：C.7.在正方体ABCDA1B1C1D件，E,F分别是线段A1B1,B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E=B1F有下面四个结论：EF，AA1;EF/ZAQEF与AC异面；EF/平面ABCD其中一定正确的有（）A.B.C.D.【考点】命题的真假判断与应用.【分析】作出正方体ABC?A1B1C1D1利用正方体的结构特征，结合题设条件，能够作出正确判断.【解答】解：如图所示.由于AA让平面A1B1C1D,1EF?平面A1B1C1D1则EF±AA1,所以正确；当E,F分别不是线段A1B1,B1C1的中点时，EF与AC异面，所以不正确；当E,F分别是线段A1B1,B1C1

12、的中点时，EF/A1C1又AC/A1C1贝UEF/AC所以不正确；由于平面A1B1C1D1平面ABCDEF?平面A1B1C1D,1所以EF/平面ABCD所以正确.故选D.8.如图所示，矩形O'AB'C'是水平放置一个平面图形的直观图，其中OA=6,OC=2,则原图形是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形【考点】平面图形的直观图.【分析】根据斜二测画法的原则：平行于坐标轴的线段依然平行于坐标轴，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半可判断原图形的形状.【解答】解：矩形O'A'B'C'是一个平面图形的直观图，其中O&

13、#39;A'=6,O'C'=2,又/D'OC=45°,.O'D=,在直观图中OA/BQOCZ高为OD=4,CD=2,QC=6.原图形是菱形.故选C.9.an是各项均不为0的等差数列，bn是等比数列，若a1?a+a13=0,且b7=a7,则b3b11=（）A.16B.8C.4D.2【考点】等差数列的通项公式.【分析】由等差数列的通项公式得到，从而b7=a7=2,由此利用等比数列通项公式能求出b3b11.【解答】解：an是各项均不为0的等差数列，a1?a+a13=0,，.a7?0,*.b7=a7=2,bn是等比数列，.b3b11=22=4.故选：C

14、.10.AABC中，a,b、c分别为/A、/B、ZC的对边，如果a,b、c成等差数列，/B=30°,zABC勺面积为，那么b等于（）A.B.C.D.【考点】解三角形.【分析】先根据等差中项的性质可求得2b=a+c,两边平方求得a,b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a,b和c的关系式代入余弦定理求得b的值.【解答】解：.a,b、c成等差数列，2b=a+c,彳导a2+c2=4b2?2ac,又ABC的面积为，/B=30°,故由，得ac=6./.a2+c2=4b2?12.由余弦定理，得，解得.又b为边长，.二.故选B11.在边长为1的菱形ABCDK/BAD=60

15、,E是BC的中点，则？=()A.B.C.D.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由题意可得，且=+,代入要求的式子运算求得结果.【解答】解：在边长为1的菱形ABCDK/BAD=60,E是BC的中点，贝UzABD是等边三角形，且=+.=()?()=+=1+x1x1cos60+=,故选D.12.设正实数mn,t满足m2?3mn+4n?t=0,则当取得最小值时，m+2r?t的最大值为()A.1B.2C.3D. 4【考点】基本不等式.【分析】求得t=m2?3mn+4n2(mi,n,t>0),代入，整理后运用基本不等式，可得m=2n取得最小值，此时t=mn=2n2,代入m+2r?t,运用二次函数

16、的最值求法，可得最大值.【解答解：m2?3mn+4n?t=0,可得t=m2?3mn+4n2mmn,t>0),即有=+?3A2?3=1,当且仅当m=2n时，取得最小值1.止匕时t=mn=2n2,贝Um+2r?t=4n?2n2=?2(n?1)2+2,当n=1时，m+2r?t取得最大值2.故选：B.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.在等比数列an中，a3=2,a6=，则数列an的公比为.【考点】等比数列的通项公式.【分析】利用等比数列的性质求解.【解答】解：在等比数列an中，a3=2,a6=,.q3=,.q=.故答案为：14.若实数x,y满足不等式组，则目标函数z=x+y

17、的最大值为3.【考点】简单线性规划.【分析】由题意画出平面区域，根据线性规划解答.【解答】解：作出平面区域如图：则当过A(3,0)时，目标函数z=x+y有最大值3.故答案为：3.15.若。为ABC斤在平面内一点，且满足，则ABC的形状为等腰三角形.【考点】三角形的形状判断.【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状.【解答解：;=0,.，ABC等腰三角形.故答案为：等腰三角形16.已知数列an,bn,cn,满足a1=8,b1=10,c1=6,且an+1=an,bn+1=,cn+1=,则bn=2x(?)n?1+8.【考点】数列递推式.【分

18、析】由条件可知an=8,bn+1=+4,cn+1=+4,两式相减求得cn+1?bn+1=?(cn?bn),c1?b1=?4,cn?bn是以？4为首项，以？为公比的等比数列，求得通项公式；两式相加，利用数学归纳法证明：cn+bn=16,将cn=16?bn代入通项公式，即可求得bn.【解答】解：由a1=8,an+1=an=8,bn+1=+4,cn+1=+4,/.cn+1?bn+1=?(cn?bn),c1?b1=6?10=?4,.cn?bn是以？4为首项，以？为公比的等比数列，cn?bn=(?4)x(?)n?1,cn+1+bn+1=(cn+bn)+8,.c1+b1=16,.c2+b2=16,c3+b

19、3=16,猜想：cn+bn=16,用数学归纳法证明：当n=1时，c1+b1=16,结论成立，假设当n=k时结论成立，即ck+bk=16,那么当n=k+1时，ck+1+bk+1=(ck+bk)+8=16,即当n=k+1时结论也成立，由得：当n=N*时，cn+bn=16恒成立，将cn=16?bn代入cn?bn=(?4)x(?)n?1,解得：bn=2x(?)n?1+8,故答案为：bn=2x(?)n?1+8.三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知，是夹角为60°的单位向量，且，(1)求；(2)求的夹角<>.【考点】平面向量数量积

20、的运算；平面向量数量积的性质及其运算律；数量积表示两个向量的夹角.【分析】(1)按照向量数量积的定义和运算法则求解即可.(2)利用向量数量积公式变形，求出的夹角余弦值，再求出夹角.【解答】解：(1)求=?6+1X1xcos60+2=?.=同样地求得=.所以cos<>=,又0<<><兀，所以<>=.18.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2?2)nmile到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C,求/CAB勺大小？【考点】解三角形的

21、实际应用.【分析】由题意，结合图形知，在ABC4/ABC=120,AB=2?2,BC=4故可由余弦定理求出边AC的长度，由于此时在ABC中，/ABC=120,三边长度已知，故可由正弦定理建立方程，求出/CAB的正弦值，即可得出结论.【解答】解：由题意，在ABCt/ABC=180?75+15=120,AB=2?2,BC=4根据余弦定理得AC2=AB2+BC22ABXBCXcos/ABC=(2?2)2+42+(2?2)X4=24,所以AC=2.根据正弦定理得，sin/BAC=,./CAB=45.19.在ABC中，内角AB、C的对边分别为a、b、c,已知a、b、c成等比数列，且cosB=.（I）求+

22、的值；（H）设？=，求a、c的值.【考点】平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用.【分析】（I）由cosB=,B6（0,兀）.可得.由a、b、c成等比数列，可得b2=ac,再利用正弦定理可得sinAsinC=sin2B.于是可得+=;（H）设？=,则，可得ac=2,再利用余弦定理可得：b2=a2+c2?2accosB化简整理，联立即可得出.【解答】解：（I）由cosB=,B6（0,兀）.=.a、b、c成等比数列，.b2=ac,由正弦定理可得sinAsinC=sin2B,.+=;（H）设？=，贝U,，化为ac=2.由余弦定理可得：2=ac=b2=a2+c2?2accosB=,化为a2+

23、c2=5.联立，解得或.即a=2,c=1,或a=1,c=2.20.如图，在RtAOB中，/OAB=,斜边AB=4RtAAOCffi过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B?AO?C是直二面角.动点D在斜边AB上.（I）求证：平面COD_平面AOB（H）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；（田）求CD与平面AO渐成角最大时该角的正切值.【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定.【分析】（I）欲证平面COD_平面AOB先证直线与平面垂直，由题意可得：COLAQBOLAQCOLBQ所以COL平面AOB进一步易得平面COD_平面AOB（II）求异面直线所成的角，需要将

24、两条异面直线平移交于一点，由D为AB的中点，故平移时很容易应联想到中位线，作DHOB垂足为E,连接CE则DE/ZAQ所以/CD黑异面直线AOWCD所成的角（田）由第（I）问可知：COL平面AOB所以/CDOCM平面AO渐成的角，tan/CDO=,当。渥小时，tan/CDOt大【解答】（I）证明：由题意，COLAQBOLAQ./BO0二面角B?AO?C是直二面角，又.二面角B?AO?C是直二面角，/.COLBOXvACTBO=OCOL平面AOB又CO?平面COD二平面CODL平面AOB（II）解：作DELOB垂足为E,连接CE（如图），则DE/AO/CDE是异面直线AO与CD所成的角.在RtAC

25、OE3+,CO=BO=2OE=BO=1.CE=.又DE=AO=.6=2.在RtCDE中，cos/CDE=异面直线AOWCD所成角的余弦值大小为.（III）由（I）知，C(X平面AOB./CD国CDW平面AOBff成的角且tanCDO=.当0渥小时，/CDO大，这时，ODLAR垂足为D,OD=,tanCDO=,CD与平面AO斯成角的最大时的正切值为.21.已知定义在R上的函数f(x)=x2?(3?a)x+2(1?a)(其中aR).(I)解关于x的不等式f(x)>0;(H)若不等式f(x)Ax?3对任意x>2恒成立，求a的取值范围.【考点】基本不等式在最值问题中的应用；二次函数的性质.【分析】(I)比较函数两零点的大小，利用分类讨论思想解不等式问题即可；(II)利用基本不等式求出函数的最大值，从而求出a的范围.【解答】解：(I);f(x)=(x?2)x?(1?a),.f(x)>0?(x?2)x?(1?a)>0,当a<?1时，不等式的解集为(？s,2)U(1?a,+s)；当a=?1时，不等式的解集为(？工,2)U(2,+s);当a>?1时，不等式的解集为(？s,1?a)U(2,+s).(II)不等式f(x)Ax?3,