现代控制理论实验

1、华北电力大学实验报告|实验名称状态空间模型分析课程名称现代控制理论|专业班级：自动化1201学生姓名：马铭远学 号：201202020115 成 绩：指导教师：刘鑫屏实验日期：4月25日状态空间模型分析、实验目的1. 加强对现代控制理论相关知识的理解；2. 掌握用matlab进行系统李雅普诺夫稳定性分析、能控能观性分析; 、实验仪器与软件1. MATLAB7.6 环境、实验内容1 、模型转换图1、模型转换示意图及所用命令 传递函数一般形式：G(s)=久护+勺严+勺“也+ an(m < n)MATLAB表示为：G=tf(num,den)，其中num,den分别是上式中分子，分母系数矩阵。零

2、极点形式：G(s) =MATLAB表示为：G=zpk(Z,P,K)，其中Z , P，K分别表示上式中的零点矩阵， 极点矩阵和增益。传递函数向状态空间转换：A,B,C,D = TF2SS(NUM,DEN)；状态空间转换向传递函数：NUM,DEN= SS2TF(A,B,C,D,iu)-iu表示对系统的第iu个输入量求传递函数；对单输入iu为1。例1已知系统的传递函数为G( S)2= s +2s + 4 s3 11s2 6s 11利用matlab将传递函数和状态空间相互转换。解：1.传递函数转换为状态空间模型:NUM=1 2 4;DEN=1 11 6 11;A,B,C,D = tf2ss(NUM,D

3、EN)Nw Io MATLAB? Werbch¥討口- see EjmeuT. of read Stlir” 佥曷卍乩XNlM=in4 OlBH=| 11 8丁订牡氏略GD】I - tfSsB-IMffl/DEKiA s-1H-6-LI£Q0QI0B =2. 状态空间模型转换为传递函数：A=-11 -6 -11;1 0 0;0 1 0;B=1;0;0;C=1 2 4;D=0;iu=1; NUM,DEN = ss2tf(A,B,C,D,iu);G=tf(NUM,DEN)»-6 -11; 1 0 0;0 1 0 ;B=1 ;00 ;C=1 2 4 ;D=0NUM, D

4、ENI = ss2tf (A. E, C, Diu);G=tf NUM.DEN)s"3 + 11 s"2 + 6 s + 11Contlnuous-time transfer funciion.2、状态方程状态解和输出解单位阶跃输入作用下的状态响应：G=ss(A,B,C,D);y,t,x=step(G);plot(t,x).零输入响应y,t,x=initial(G,x0) 其中，x0 为状态初值例二：仍然使用一中的状态空间模型，绘制单位阶跃输入作用下的状态响应和零 输入响应,其中零输入响应的初始值xO=1 2 1。解：1.绘制单位阶跃输入作用下的状态响应：A=-11 -6

5、-11;1 0 0;0 1 0;B=1;0;0;C=1 2 4;D=0;G=ss(A,B,C,D);y,t,x=step(G);plot(t,x)2.绘制零输入响应：A=-11 -6 -11;1 0 0;0 1 0;B=1;0;0;C=1 2 4;D=0;G=ss(A,B,C,D);x0=1 2 1;y,t,x=i nitial(G,x0);plot(t,x)3、系统能控性和能观性能控性判断：首先求能控性判别矩阵：co=ctrb(A , B)。然后求rank(co)并比较与A的行数n的大小，若小于n则不可控，等于为可 控。也可以求co的行列式，不等于0 ,系统可控，否则不可控。能观测性判断：首

6、先求能观测性阵ob=obsv(A ，C),或者ob=ctrb(A' ， C');然后求rank(ob)并比较与A的行数大小，若小于，为不可观测，等于则为可观 测。也可以求co的行列式，不等于0,系统能观，否则不能观例三：判断下列系统的能控能观性：_-510 _1 01*= 0-50x+0 0u<00 七10_1 0 1y = Iix-1 1 0解：A=-5 1 0;0 -5 0;0 0 -3;B=1 0;0 0;1 0;C=1 0 1;-1 1 0; co=ctrb(A ,B);ran k(co)» A=E-5 1 0:0 -5 0:0 0 -3 ：B=1 0:

7、0 Oil 0 ：C=1 01-110; co=ctrb( A j E);rank co)ans =因为2<3（A的行数），所以不能控 ob=obsv（A ,C）;ran k（ob）» A=-5 1 0;0 -5 0;0 0 -3:B1 0;0 0:1 0;C=1 0 1;-l 1 0: ob=obsv(A jC);rank (ob)是满秩的显然，该系统是能观测的。综上，该系统能观不能控。4、线性变换一个系统可以选用不同的状态变量，所以状态方程是不唯一的。但是这些方程之 间是可以相互转换的。At ， Bt ，Ct ，Dt=ss2ss（A ，B ，C， D，T）变换矩阵T不同，可

8、得到不同的状态方程表示形式，如可控型， 可观测型，Jordan标准型表示。matlab变换与控制书上讲的变换略有差别。这里是z = Tx，其中x是原来的变量，z是现在的变量。书上则是 x = Tz 。因此线性变换时，首先要对给定 的变换矩阵进行逆变换，然后将其代入上面指令的T中。求对角阵（或约当阵）：MATLAB提供指令：At ， Bt ，Ct ，Dt ，T=canon（A ，B， C， D，'modal'）它可将系统完全对角化，不会出现经典控制中的约当块。求可观测标准型：At ， Bt ，Ct ，Dt ，T=canon(A ，B， C， D，'companion

9、9;)求可控标准型：首先需要求可观测标准型，然后根据对偶关系求 At'，Ct'，Bt'，Dt'例四：f - 010 1_01x=| 001 |x+ |0|u- 6 - 11 - 6 1y = 100 lx(1)将状态方程转化为对角标准型解: A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;B=1;1;0;C=0 0 0;D=0;At ,Bt ,Ct ,Dt ,T=ca non(A ,B ,C ,D ,'modal')>> A=Q I CJ;O 0 l;-6 -11 -6 ;B=1 :l;0:C0 0 0:fc0;At a Bt BCt

10、 jDt a r-carion (A j E BC B :，»odal:，)At =-3n ODOQ0Q0-2. QflW000-1.00QD班=-33.8104-63,5B57« 0 0Pt =(2)求该系统的能观标准型并得变换阵To解：A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;B=0;0;1;C=1 0 0;D=0; At ,Bt ,Ct ,Dt ,T=ca non(A ,B ,C ,D ,'compa nio n')»1 0;0 0 I ;-5 -11 -5 ;E=0;0;l :C=1 0 0 ;U 二U:At j E 七，Ct j B

11、t j IJ =c anon (A j B 匚,D j ' c om.panionJ )00-610-1101-5Bt -Ct =0 0 1Dt 二0T =11616101005、线性定常系统的结构分解当系统是不可控的，可以进行可控性规范分解。使用a1,b1,c1,t,k=ctrbf(A,B,C) 命令。验证 P497 例题 9-21 当系统是不可观测的，可以进行可观测性规范分解。使用a2,b2,c2,t,k=obsvf(A,B,C) 命令。例五：(1)将下列系统进行可控性分解。7101j01*= 0-50x+ 00 u.001 J0J101y =x-110一该系统不可控A=-5 1

12、0;0 -5 0;0 0 -3;B=1 0;0 0;1 0；C=1 0 1;-1 1 0; a1,b1,c1,t,k=ctrbf(A,B,C)» A=-5 1 0;0 -5 0;0 0 -3 :B=1 0;0 0; 1 0 ;C=1 0 1 ;-1 1 0;alj bb cl. t,k=ctrbf-5.0000000.7071-a. 0000LOOOO-0. 70711.0000*4* 0000bl =00a07 41420cl二00-1. 1421. 0000-0.70710. 7071t =V01.0000001. 000000, 70710-0.7071*0.70710-0.7

13、071c =1i(2)将以下系统进行可观测性分解：-100 1 21II古0_ 20 x + 1 u! 00-41 j,y =01 2x + uA=-1 0 0;0 -2 0;0 0 -4;B=2;2;1;C=0 1 2;ob=obsv(A ,C);%求能观判别阵ran k(ob)» A=-l 0 0:0 -2 0:0 0 -4 ;B2;2;1 ;C=O 1 2: ob=obsv(A aC);屠求能观判别阵rank(ob)ans =2a2,b2,c2,t,k=obsvf(A,B,C)» A=E-1 0 0:0 -2 0:0 0 -4 ：B= 2:2:1 ：C=0 1 2;

14、a2j b2j c2j k=obsvf (A, Ej C)-1.0000-0.0000 0-0.0000-2.40000.8000j.-3. 6000b2 =-2. OOQO1. 34161. 7BS9c2 =0.0000U.00002.2361-LOQOO0.OQOQ00,0000 -0,00000. 3944-0. 44720. 44720. 39441 1 06、极点配置算法A，B为系统系数矩阵,con trol.m )。调用命令格式为 K=acker(A,B,P),或者 K=place(A,B,P)。P为配置极点，K为反馈增益矩阵。用下列编码对状态反馈前后的输出响应进行比较(附带文件t

15、 = 0:0.01:5;U = 0.025*ones(size(t);% 幅值为 0.025 输入阶跃信号 Y1,X1=lsim(A,B,C,D,U,t);Y2,X2=lsim(A-B*K,B,C,D,U,t);figure(1)plot(t,Y1); grid; title('反馈前');反馈后');figure(2) plot(t,Y2); title(' grid;例六：已知系统的传递函数为 Y(s)1试设计一个状态反馈矩阵，使U(s) s(s+1)(s + 2)闭环系统的极点在-2，_1_j。解：依据系统传递函数写出能控标准型Y(s) _11U(s) s

16、(s 1)(s2)s3 3s2系统元全能控，可任意配置极点0110 01 1 1001X0 u_0-2-3Jy 二10 0 1XA=0 1 0;0 0 1;0 -2 -3;B=0;0;1;P=-2,-1+j,-1-j;K=acker(A,B,P) t = 0:0.01:5;U = 0.025*ones(size(t);%幅值为 0.025 输入阶跃信号Y1,X1=lsim(A,B,C,D,U,t);Y2,X2=lsim(A-B*K,B,C,D,U,t);figure(1) plot(t,Y1); grid; title('反馈前');figure(2) plot(t,Y2);

17、grid;title('反馈后');» A-0 1 0:0 0 1 .0 -2 -3 ,B=LO;0： 1:P= -2, - 1+jj -1-j ;I=KckaE (Af B,P)t = 0:0.01:5;U = 0. 025*ones (siseC ) 幅值为0. 325轿入盼跃信号¥1, X1 =lain (A, Bj Ct Df U, t);Y2f X2=lsijn(A-B*L 民 G D,U.11;figured)plat (tjYl): jrid;前°figure(2>plot (tjYS); crid：titleC 反谣后):K

18、=44 I对状态反馈前后的输出响应进行比较H Figure 2File £dit 址 iew nsert Tools desktop irdow .Help凸®渥風| 口匡)| 旦7、线性定常系统稳定判据函数lyap(A,Q)求如下式的李氏方程：AP+PA T =-Q 注意与教材的区别，应将给定 A矩阵转置后再代入lyap函数。例七：设系统的状态方程如下，其平衡状态在坐标原点处，试判断该系统的稳定性:X101x1I j i = ii i i-Xi l23 - x2解：A=0 -2;1 -3;Q=1 0;0 1;lyap(A,Q)» A=0 -2： 1 -3 ;Q=1 0:0 1:lyap (AjQ)1.25000; 2500