解三角形完整讲义(精心整理)

1、正余弦定理知识要点:1、正弦定理asin Absin Bc=2R或变形： a: b:c = sin A:sin B :sin C . sin C2、余弦定理:2.22-一a =b +c -2bccosA 222_b =a +c -2accosB或c2 = b2 a2 - 2bacosCIcos A 二cosB 二cosC =222b c - a2bc22, 2a c -b2ac.222b a - c2ab103、解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如AB、C）,由A+B+C=t求C,由正弦定理求a、b;（2）已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较

2、短边所对的角，然后利用A+B+C=t,求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C=t求C,再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C，求角Co4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S=1/2*absinC7、三角学中的射影定理：在ABC中，b=acosC+ccosA,8、两内角与其正弦值：在A

3、BC中，A<B=sinA<sinB,【例题】在锐角三角形ABC中，有（B）A.cosA>sinB且cosB>sinAB.cosA<sinB且cosB<sinAC.cosA>sinB且cosB<sinAD.cosA<sinB且cosB>sinA9、三角形内切圆的半径：r=2s.，特别地，r直=a+b_c斗abc2正弦定理专题：公式的直接应用1、已知4ABC中，a=J2,b=J3,B=60'，那么角A等于（）A.135；B.90C.45tD.302、在ABC中，a=2V3,b=2V2,B=45°,则A等于（C）A.30&

4、#176;B,60°C.60°或120°D.30°或150°3、AABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,若c=J5,b=点,B=120二则a等于（）A.,6B.2C.,3D.、,24、已知ABC中，A=30，,C=105,，b=8,则a等于（B）A.4B.4.2C.4.3D.4.5，则c等于（C. 、3 1B）D. 10,35、在ABC中，a=10,B=60°,C=45A.10,3B.10,3-16、已知MBC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若由A=1，b=J3sinB,3则a等于7、_（苧）B=45,C=60&quo

5、t;c=1,则最短边的边长等于（A）A. 2fB.吏C. 1 D.228、 ABC中，A: B =1:2, C的平分线CD把三角形面积分成A. 1B. 1C. 3 D. 03: 2两部分,则cosA= (C)9、证明:cos2Acos2Bb2i口cos2A证明：2 a由正弦定理得:cos2Bb2.2 Asin A1 -2sin2 A1 -2sin2 Bcos2A cos2Bb22a2sin Bb21 一/b29-2sin2 A sin2 Bb2专题：两边之和1、在 ABC中,A= 60° , I (36-12<6, 12<6 -24)B= 45° ,a + b=

6、12,a=2、已知 ABC的周长为（1）求边AB的长；72 +1，且 sin A + sin B = V2sinC （2）若 ABC的面积为1 一 一 -sin C ,求角C的度数.6专题：三角形个数1、ABC中，/A=60°a=。6,b=4,那么满足条件的ABC（C）A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定2、AABC中,a=1,b=，/A=30°,贝U/B等于（B）A.60°B,60°或120°C,30°或150°D,120°3、在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（D）A.b=10,A=4

7、5°,B=70°B,a=60,c=48,B=100°C.a=7,b=5,A=80°D,a=14,b=16,A=45°4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（D）A.a=1,b=2,c=3B.a=1,b=五，/A=30°C.a=1,b=2,/A=100°C.b=c=1,/B=45°5、在ABC中，a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是（B）A.无解B.一解C.二解D.不能确定6、满足A=45°,c=J6,a=2的ABC的个数记为m,则am的值为（A）A.4B.2C.1D.不定7、已

8、知ABC中，a=181,b=209,A=121。，则此三角形解的情况是无解8、在4ABC中，已知b=50j3,c=150,B=30'，则边长a=。1003或5073专题：等比叠加1、 ABC中，若 A =60'，a b -csin A sin B -sin C等于（A）A.2B. 1C.22、在 ABC中,A=60。，b=1,面积为J3,则a+b+c,sinA，sinB，sinC2<393专题：变式应用1、在ABC中，若/A:/B:/C=1:2:3,则a：b：C=1：73：22、已知ABC中，a：b：c=1：J3：2,则A：B：C等于（A）A.1：2：3B,2：3：1C.

9、1:3:2D,3:1:23、在ABC中，周长为7.5cm,且sinA:sinB:sinC=4：5：6,下列结论：a：b：C=4：5：6a:b:c=2:J5:褥a=2cm,b=2.5cm,c=3cmA:B:C=4:5:6其中成立的个数是(C)A.0个B.1个C.2个D.3个cosAb44、在ABC中，已知边c=10,=,求边a、b的长。解:cos A _ bcosB asinBsinAb =一,可得acos A sin B一 ?cosB sin A变形为 sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,cosBa3又awb,2A=tt2B,A+B<二.ABE直角三角形2,一b4

10、由a2+b2=102和一=,解得a=6,b=8。a35、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若（J3bctesA=acsC,则csA=6、设锐角三角形ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.(1)求B的大小；(2)求cosA+sinC的取值范围.专题：求取值范围1、ABC中，已知a=x,b=2,B=60°,如果ABC两组解，则x的取值范围（C）A.x>2B.x<2C.2Mx<4$3d.2<x<-4<3332、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的取值范围是（B）A.1：二x：二5B.5:x:二13C.0:二

11、x5D.13二x:二5AC3、在锐角MBC中，BC=1,B=2A,则的值等于,AC的取值范围cosA为.2（：2,.3）答案：设/A="=B=2日.由正弦定理得一£=用,，一AC£=1=/C=2.sin2-sin-2cos-cos-由锐角MBC得0，<28<90'=0°<日<45，又0C<180：-39<900=30,<6<60°，故30,日<45，=<cos9<，所以22余弦定理专题：公式应用1、在ABC中，a=3,b=J7,c=2,那么B等于(C)A. 30 

12、6;B. 45°C, 60°D. 120°2、在三角形2 二A.3ABC 中，AB =5,B 5 二B6AC =3, BC=7,则2BAC的大小为（）D.3、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（B）A.90°B.120°C.135°D.1504、在ABC中，a=3，3,c=2,B=150°,则b=75、在ABC中，若(a十c)(a-c)=b(b+c),则/a=(C)A.900B.600c.1200D.15006、在ABC中，三边长分别为a=3,b=5,c=6,则bccosA+cacosB+abcosC的值为(D)A

13、.38B.37C.36D.357、在ABC中，已知a2=b2+c2+bc,则角A为（C）A.B.C.D,三或空8、在钝角ABC中，已知a=1,b=2,则最大边c的取值范围是。75<c<39、设a、b、c是AABC的三边长，对任意实数x,f（x）=b2x2+（b2+c2-a2）x+c2有（B）A.f(x)=0B.f(x)0C.f(x)_0d.f(x):二09、三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为(BA.52B.213C.16D.410、在ABC中，已知AB=4,AC=7,BC边的中线AD=7,那么BC=9211、设A、B、C为三

14、角形的三内角，且方程(sinBsinA)x2+(sinAsinC)x+(sinCsinB)=0有等根，那么角B(DA.B>60°B,B>60°C.B<60°D,B<60°(sinA-sinC)2-4(sinB-sinA)(sinC-sinB)=sin2A-2sinAsinC+sin2C-4(sinBsinC-sinAsinC-sin2B+sinAsinB)二(sinA+sinC)2-4sinB(sinA+sinC)+4sin2B=(sinA+sinC-2sinB)2专题：判断三角形1、若tanAtanB>1,则ABC（A）A

15、.一定是锐角三角形B.可能是钝角三角形C.一定是等腰三角形D.可能是直角三角形2、在ABC中，角A,B均为锐角，且cosA>sinB,则ABC的形状是（C）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3、ABC中，B=60'，b2=ac,则ABC一定是（D）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（A）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定iabc5、ABC中，=,则ABC一定是（D）cosAcosBcosCA.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角

16、形6、在 ABC中，若cosA cosB sin C=,则 ABC是（B）B.等腰直角三角形D.等边三角形a、b、c,且 acosA = bcosB,贝U （）B. zXABC为直角三角形D. ABC为等腰三角形或直角三角形A.有一内角为30°的直角三角形C.有一内角为30。的等腰三角形7、若ABC的内角AB、C的对边分别为A.ABC为等腰三角形C.ABC为等腰直角三角形8、4ABC的内角AB、C的对边分别为a、Bc,根据下列条件判断三角形形状:(1) .(a+b+c)(b+ca)=3bc,且sinA=2sinBcosC,贝UABC是(2) .(a2+b2)sin(AB)=(a2b2

17、)sin(A+B),则ABC是9、若(a+b+c)(b+ca)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么AABC是(B)A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形10、在ABC中，已知2sinAcosB=sinC,那么ABC一定是（B）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形11、在ABC中，若acosA=bcosB,则4ABC的形状是（D）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形12在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对边，若a=2bcosC,则此三角形一定是（CA.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰

18、或直角三角形13、在ABC中，若色nA=a2,则ABC的形状是（B）tanBbA.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形14、已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是（B）A.8,10B.,8,10C.8,10D.10,815、A为AABC的一个内角，且sinA+cosA=工，则AABC是三角形.钝角16、在ABC中，已知2a=b+c,sin2A=SinBsinC，试判断ABC的形状。c2Rabc_ab解：由正弦定理=2R得：sinA=，sinB=，sinCsinAsinBsinC2R2R所以由又已知2a2bc2sinA=sinBsinC可信：()=,即：a=bc。

19、2R2R2R2a=b+c,所以4a2=(b+c)2,所以4bc=(b+c)2,即(bc)2=0,因而b = c。故由2a = b , c得:2a=b+b=2b,a=b。所以a=b=c,ABC为等边三角形。a、b、c,向量 m = (4,-1),17、已知AABC的三个内角ABC所对的边分别为,2A口757n=（cos,cos2A）,且mn=一.22(1)求角A的大小；(2)若a=J3,试求当bc取得最大值时MBC的形状.一，742A9.解：(1)由m=(4,-1),n=(cos,cos2A)22A1cosA2,mn=4coscos2A=4(2cosA-1)22-2.=-2cosA2cosA3.

20、一.727又因为mn=，所以-2cosA+2cosA+3=1.斛得cosA=分*0cAen,二A=一23(n)在aabW,a=b+C2bcosJAa3(、.&2=b2c2-2bc-=b2c2bc.：b2c2_2bc,.3_2bc-bc,2即bcw3,当且仅当b=c=V3时，b,取得最大值，又由(I)知a=工二B=C=上，所以，AABC为正三角形3318、在AABC中，求分别满足下列条件的三角形形状：B=60°,b2=ac;由余弦定理2 2+c ac = ac- (a c) = 0 ,222222ac-bac-b12cos60二：二：a2ac2ac2，a=c.由a=c及B=60

21、°可知ABC为等边三角形. 2 、 sin B.2 .sin A.sin Acos A = sin B cosB,. sin2A=sin2B,b2tanA=a2tanB；由b2tanA=a2tanBnbsinAcosAa2sinBsinBcosAb2二，cosBsinAcosBa.A=BA+B=90°,.ABC为等腰或RtA. sinC=sin A sin BcosA cosB sinCsin A sin BcosA cosB由正弦定理：c(cosA + cosB)= a + b,再222222由余弦定理:ab-cac-b.cc=ab2ac2bc-22sin(A-B)二 a

22、 -b sin(A B) a2 -b2，(a+b)(c2-a2-b2)=0,，c2=a2+b2,，AABC为RtA.(a2b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(AB).由条件变形为22一, sin2A=sin2B.人=3或人 + 3=90/sin(A”)4sin(A-B)a一sinAcosBsinA2,-:=2_sin(AB)-sin(A-B)bcosAsinBsinB.ABC是等腰或RtA.专题：11、在ABC中，如果sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么cosC等于。一一412、在AABC中，已知sinA:sinB:sinC=6:5:4,则cosA=-83、在ABC中，(b

23、+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,则ABC的最大内角白度数是1204、在ABC中，a+b=10,cosC是方程2x23x2=0的一个根，求ABC周长的最小值。1解：丁2x2-3x2=0，%=2,X2=-一又一cosC是方程2x23x2=0的一个根2-1.一22,.2一./1',.、2cosC=-由余弦定理可得：c=a+b-2ab*一一=(a+b)-ab2<2J则：不=100-2(10-2)=3-52+75当2=5时，c最小且c=J75=5石此时a+b+c=10+5J3,4ABC周长的最小值为10十5J35、在MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足8sJA

24、=21,aBAC=3.25（I）求MBC的面积；（II）若b+c=6,求a的值.-A2.52A34一，斛（1）因为cos=，二cosA=2cos1=,sinA=一，又由ABAC=325255得 bccosA =3, bc = 5 ，1 1，.ACSABC=-bcsinA=2（2）对于bc=5,又b+c=6,二b=5,c=1或b=1,c=5,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=20，a=2V5专题：已知面积.3一1、已知ABC的面积为一，且b=2,c=43,则/A等于（D）2A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120&#

25、176;72、在ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c,边c=,且C=60，又4ABC的面积为也,则a+b=112 2TT彳*-151_1一3、已知ABC中，AB=a，AC=b，ab<0，S&bc=，a=3,b=5,则（）A.30B-150C1500D.30或15004、若ABC的周长等于20,面积是10J3,A=60°,则BC边的长是（C）A.5B.6C.7D.815、在AABC中，若SAABC：（a2+b2c2）,那么角/C=.6、在ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程x22"3x+2=0的两个根，且2cosA+B）=1。求：（1）角C的

26、度数；（2）AB的长度。1解：（1）cosC=cos配（A+B=cosA+B）=-一二c=1202ab=2.3（2）由题设：ab=2AB2=AC2BC2-2AC*BCcosC=a2b2-2abcos120=a2+b2+ab=（a+b2-ab=（243）-2=10.AB=107、在AABC中，内角A、RC的对边长分别为a、b、c,已知a2c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b解法一：在AABC中？sinAcosC=3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有：2222.22aha一bc=3b一c-aJc化简并整理得：2（a2c2）=b2.又由已知2ab2bca2-c2=2b二4

27、b=b2.解得b=4或b=0（舍）J解法二：由余弦定理得：a2-c2=b22bccosA.又a2c2=2b，b=0.所以b=2ccosA2又sinAcosC=3cosAsinC,sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin(A+C)=4cosAsinC,即sinB=4cosAsinCb由正弦te理信sinB=sinC,故b=4ccosAc由，解得b=4.专题：求三角形面积22121、在ABC中,AB=技AC=1,2A=30,则4ABC面积为（B）2、已知ABC的三边长a=3,b=5,c=6,则4ABC的面积为A.14B.214C.15D.2,153、三角形的一边长为14,这条边

28、所对的角为60,另两边之比为8:5,则这个三角形的面积为。40J34、在ABC中，a=sin10那么ABC的面积为（C）b=sin50,/C=70,1A.641D.85、ABC中,1B.32C.116或32B)b=8,c=8>/3,SABC=16j3,则/A等于(C)A30B60C30或150D60或120设 AC=-/61求.：ABC6、在AABC中，sin(C-A)=1,sinB=-.(I)求sinA的值；(II)3的面积.7、A、B、C为&ABC的三内角，对边分别为a、b、BcsC-nBnC=i(I)(n)求A;若a=2j3,b+c=4,求AABC的面积.、r一.-1，r八

29、、I)cosBcosC-sinBsinC=-cos(BC)(n)又=0<B+C<n,JIBC二二ABC二二3由余弦定理a2=b2,c2-2bccosA得(273)2=(b+c)2-2bc-2bc2二cos3r1、即：12=16-2bc-2bc()，一bc-4.S&BC=bcsinA=-48、在锐角三角形中，边a、b是方程x2-273x+2=0的两根，角AB满足：2sin（A+B）J3=0,求角C的度数，边c的长度及ABC的面积。3解：由2sin(A+B)J3=0,得sin(A+B尸2，=ABE锐角三角形A+B=120°,C=60°，又.一、b是方程x2-

30、23x+2=0的两根，a+b=23,，c峙,SABC=：absinC=2x2x3=平a-b=2,，c2=a2+b22abcosC=(a+b)23ab=126=6,11二避c=/6,SABC=absinC=2x2x2=2其中c = 2又向量 m= (1 , cosC),9、已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,n二(cosC,1),m-n=1.(1)(2)解：(1)若A=45+,求a的值；若a+b=4,求ABC的面积.mn=COsCCOSC=2cosC=1一1cosC=.02C<180*.C=60°2a由正弦定理得，sin 45(2) . c =2 , NC =60：

31、2.2、2, a =sin603263, a2 +b2 -2abcos60*=4 ,22一a +b ab = 4 ,又5513a+b=4,a2+b2+2ab=16，ab=4,S.c=-absinC=33.25410、在MBC中，cosA=-一，sinB=-.135(I)求cosC的值；(n)设BC=15,求ZABC的面积.54一123.10.斛：(I)由cosA=,sinB=-，得sinA=,cosB=-.-2分135135.A+B+C=n,.cosC=cos兀一(A+B)=cos(A+B)4分63=-(cosAcosB-sinAsinB)=6分65,6313(n)由cosC=一,得sinC=

32、,8分6565BCsinB由正弦te理得AC=13.-10分sinA所以MBC的面积s=1MBCMACMsinC=1父15M136=24.-12分2265A2511、在MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=25,ABAC=3-25(I)求AABC的面积；(II)若c=1,求a的值.解(I)cosA=2cos2-1=2(-)2-1=255又AW(0,n),sinA=d1-cos2A=9一二二ur3_-而AB.AC=AB.AC.cosA=bc=3,所114_以bc=5,所以AABC的面积为：一bcsinA=-父5M=2(n)由(I)知bc=5,而c=1,所以b=5所以a=b2c2