双曲线(答案)

1、双曲线一、教学目标：1、掌握双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求双曲线方程，掌握双曲线的几何性质，了解双曲线的初步应用。2、了解双曲线的参数方程，能根据方程讨论双曲线的性质，掌握直线与双曲线位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决直线和双曲线的位置关系的一些问题。二、知识要点分析：（一）双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两定点F1， F2 距离的差的绝对值等于定长2a（小于 |F1 F 2 |）的点的轨迹叫双曲线，即|PF1 | |PF2 | 2a（2a |F 1 F 2 |）。此定义中，“绝对值”与2a |F 1 F 2 |，不可忽视。若 2a |F 1 F 2 |，则轨迹是以

2、F1 ，F 2为端点的两条射线，若2a |F 1 F 2 |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。（二）双曲线的标准方程及几何性质1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的双曲线方程中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上x2y21(a 0, b0)y2x21(a 0,b0)标准方程b2a2b2a2图形顶 点A1 (a,0), A2 (a,0)B1 (0,a), B2 (0, a)对称轴x 轴， y 轴；虚轴为2b ，实轴为 2a焦 点F1 (c,0), F2 (c,0)F1 (0,c), F2 (0,c)焦 距|F1 F2| 2 (c0)c 2

3、a 2b2c离心率ec(e1)（离心率越大，开口越大）aa 2a 2准 线xycc渐近线ybxyaaxa2b2b焦准距pccc2 ，y 2 系数的大小， 而双曲线是看x 2 ，2、判断椭圆方程中焦点位置的不同，是通过比较 xy 2 的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号”3、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。x2y2y2x2a2b 2 1 与 b2a2 1 互为共轭双曲线，其性质如下：（ 1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线。（ 2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距。（3）与x 2y 2x 2y 2a2b2 1 具有

4、相同渐近线的双曲线系方程为2b2 k（ k0）a4、如果双曲线的渐近线为xy0 时，它的双曲线方程可设为x2y 2(0) .aba2b 25、等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx ，离心率 e2 。6、弦长公式：（ 1）过焦点的弦长：|AB| e（ d 1 d 2 ），（2）一般的弦长公式：类似于椭圆， x 1 ， x 2 分别为弦 PQ 的横坐标，弦PQ 所在的直线方程为ykx b，代入双曲线方程整理得 Ax 2 Bx C 0，则 PQ 1k2 x1 x2 ，若 y 1 ，y 2 分别为弦 PQ 的纵坐标， 则PQ 11y1 y2 。k2三、例题例 1.求中心

5、在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：（ 3）双曲线 C 的右焦点为（ 2，0），右顶点为 ( 3,0)（ 4）与双曲线 x22y 2 2 有共同的渐近线，且经过点（2， 2）（ 5）过点 P（2， 1），渐近线方程是y±3x.解：（ 1）设双曲线方程为 mx2 ny21，于是，设所求双曲线方程为x2y21y2x29kk 或1 9kk把 (3,9 2) 代入，得 k 161与 k>0矛盾，无解；把( 3,9 2 ) 代入，得k=9 ，故所求双曲线方程为y2x 2811 。9说明： 本例解法是待定系数法： （ 1）中设法叫 “统设 ”，由此可知，统设方程mx 2 n

6、y21 可以代表椭圆、双曲线这两种标准方程；（ 2）中设法叫“分设”，因由离心率的条件不能区分实轴在x 轴上还是在y 轴上，故分别设出两种方程.（ 3）设双曲线方程为x2y21( a 0, b0).a2b2由已知得 a3,c2,再由 a 2b2c 2 , 得 b 21.故双曲线 C 的方程为 x2y 21.3（ 4）设所求双曲线方程为x2 2y2 k，由于双曲线过点（2， 2），将（ 2， 2）代入，得k 22 2·（ 2） 2 4.故所求双曲线方程为x2 2y2 4，即 2y2 x2 4.说明： 容易证明，x2y2a2b2因此，如果已知上述各种形式的渐近线方程，则可统设双曲线方程为

7、中 k 的符号调节实轴位置，k调节轴长。（ 5）分析：首先要确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点渐近线 y 3x 的上方还是下方？如图所示， x 2 与 y 3x 交点为1）在 Q（ 2， 6）的上方，所以焦点在 x 轴上 .P（ 2， 1）在Q（ 2， 6）， P（ 2，方法一： 设双曲线方程为x2y2. 依题意，得a21b2b3a 235a解得41b 29135a2b2所求双曲线方程为x 2y2351359方法二： 由渐近线方程3x±y 0，可设所求双曲线方程为x2y 2（ 0）（* ）19将点 P（ 2， 1）的坐标代入（*），得 35所求的双曲线方程为x2y 2135

8、359例 2. 直线 L ： yax1 与曲线 3x2y21 有两个不同的交点，（ 1）求 a 的取值范围（ 2）设交点为 A ， B，若以 AB 为直径的圆恰过原点，求 a 的值。3x2y21解：（ 1）由方程组y ax 1可得 (3 a2 )x2 2ax 2 0，依题意，方程有两个实根，则3a200a23即2a)2a2 )(4(32)0解得6a6且 a3故 a 的取值范围是(6,3)(3,3) (3,6)（ 2）设 A （ x1, y1 ），B （ x2 , y2 ），由题意可得 OA OB （ O 是坐标原点） ，则有 x1x2 y1y2 0而 y1 y2(ax11)(ax21) a2

9、x1x2a( x1x2 ) 1x1 x2y1 y2(a2 1)x1x2a( x1x2 ) 1 0 ，由（ 1）可知 x1x232a2 , x1 x222a3 a代入上式可得(a 21)32a2a1 0解得 a1a23a 2，且满足（ 1）的条件，故 a 的值为1。反思：直线和曲线的交点问题即是由它们的方程组成的方程组的解的问题，而方程组的解往往转化为一元二次方程的解，因此讨论一元二次方程的根的方法要非常熟练。其基本步骤应为：观察二次项系数，看是否需要讨论；分析判别式，看是否有根；应用韦达定理，虽不解方程却能观察根的情况。解题时要始终遵循以上原则，养成良好的思维习惯，为后面解决直线与圆锥曲线位置

10、关系的问题打下坚实的基础，同时要逐步培养含字母的解析式的运算能力。例 3. 设双曲线的顶点是椭圆x2y21 的焦点，该双曲线又与直线 15x3 y 6 0 交34于 A ，B 两点，且 OA OB （ O 为坐标原点）（ 1）求此双曲线的方程；（ 2）求 |AB|.解：（ 1）已知椭圆的焦点为（0， ±1），即是双曲线的顶点，因此设双曲线方程为y2 mx2 1（ m 0），A （ x1， y1）、 B（ x2， y2）是方程、组成的方程组的两个解.由、消去常数项，得（ 2 ）设AB的中点为M （ x0 ， y0 ），则在Rt ABO中，可知|AB| 2 · |OM| 22y

11、1y 2y1y 21把 y12 x11, y22x21两式相减，得x 2x1x 2333x 1即得152y 0132x 03| AB | 2 x 0 2y0 2215 1444为|AB| 4说明： 本题的常规解法是“根系关系法”，即由方程、组成的方程组，消去 y 得到x 的二次方程，由根与系数的关系得到x1x2和 x1x2 ，再解 OA OBx1 x2y1 y2 0 ，即可解决问题 （ 1）；再由弦长公式求得AB .但计算量较大， 因此我们给出了上面的解法：在（ 1）中构造了以kOA 、 kOB 为二根的二次方程，轻巧地求得了待定系数m；在（ 2）中用了“斜率关系法”（即y 1y 2y1y 2

12、1x 1x 2x 1x 2），也省去了麻烦的计算 .3例 4. 已知直线 y (a1) x1与曲线 y 2ax 恰有一个公共点，求实数a 的值。y ( a 1)x 1解： 联立方程axy 2（ 1）当 a =0 时，此方程恰有一组解为：x1y0（ 2） a 0时，消去 x，得 a1y2 y 1=0。若 a 1a=0，即 a = 1，a方程变为一元一次方程：x1y 1=0，方程组恰有一组解：1y若 a 1 0，即 a 1，令=0 得： 1+4a1=0，可得 a =4 ，这时直线与曲线相aa5切，只有一个公共点 .综上所述知，当 a =0、 1、4 时，直线 y( a 1)x 1与曲线 y2ax

13、恰有一个公5共点。例 5. 已知中心在坐标原点的双曲线C 的右焦点为（2， 0），右顶点为（3,0 ）。（ 1）求双曲线C 的方程；（ 2）若直线l : ykx2与双曲线C 恒有两个不同的交点A和B，且OA OB（其2中 O 为原点），求 k 的取值范围。解析：（ 1）设双曲线方程为x 2y21( a0, b 0) ，a 2b2由已知得 a3,c2, b1。故所求双曲线方程为x 2y 21。3（ 2）将 ykx2代入 x 2y 21 ，可得3(13k 2 ) x 262kx90 ，由直线 l 与双曲线交于不同的两点A，B 得13k 20，2k) 236(1 3k 2 )k 2 )(636(10

14、故 k 21 且 k 213设 A (x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ，则x 1 x 262k, x 1 x 29，13k 213k 2由OA OB2得 x 1x 2y1 y 22 ，而 x 1x 2y1 y 2x 1x 2(kx 12 )(kx 22)(k 21) x1 x 22k( x 1 x 2 )2(k21)962k23k 27 ，13k22k3k 23k 211于是 3k272,解此不等式得 1k 233k 213由得 1k 21。3x 或 y ，得到关点评： 在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去于 y 或 x 的方程，如果是直线与圆或椭圆，则

15、所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形。例 6 曲线 M : x2y21(x0) P 在 M 上， A （ 1， 2）， B（ 3， 8），求 S PAB 最小值。29l AB : 3xy10 与 AB 平行的曲线的切线： 3x y03xy09x22y 2189x 212x(2218)0144236(2218)03依图3 d (l 切 ,l AB )21010|AB| 2 105S PABmin11010 2225例 7x 2y21 a 0,b 0的离心率为5 ，F12分别为左、右

16、焦点，如图，双曲线2b22，FaM 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且F1 M F2 M1。4（ 1）求双曲线的方程；（ 2）设 A （ m，0）和 B1 ,00 m 1 是 x 轴上的两点。过点A 作斜率不为0 的m直线 l ，使得 l 交双曲线于C，D 两点，作直线BC 交双曲线于另一点E。证明直线 DE 垂直于 x 轴。解析：（ 1）根据题设条件，F1c,0 , F2c,0 ，设点 M （x， y），则 x， y 满足a2xc52a2bc因 eba2，解得 M,，x55ya故 F1M F2M2a2b2a2b5c,55c,54 a2c24 b2155451利用 a 2b2c 2，得 c2，于是 a21, b244因此，所求双曲线方程为x24 y 21（ 2）证明： 设点 C（ x1 , y1 ），D （ x2 , y2 ）， E（ x3 , y3 ），则直线 l 的方程为y1( x m)yx1 myy1(xm) 1x1于是 Cx1 , y1 , D x2 , y2 两点坐标满足mx24y 212将 <1> 代入 <2> 得x122x1mm24y12 x 28my12 x 4 y12m 2x122