专题十六圆锥曲线中的热点问题听课手册

1、 圆锥曲线中的热点问题12014·湖北卷改编 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C，则轨迹C的方程为_22014·福建卷改编 已知曲线：x24y在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度_发生改变(填“会”与“不会”)32013·广东卷改编 过点P(4，2)作抛物线C：x24y的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为_42015·江苏卷 在平面直角坐

2、标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_52015·福建卷改编 已知椭圆E：1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是_62015·陕西卷改编 如图16­1所示，已知椭圆E：y21，点A为椭圆E的下端点，经过点(1，1)且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，则直线AP与AQ的斜率之和为_图16­172015·四川卷改编 如图

3、16­2所示，已知椭圆1，设O为坐标原点，CD为短轴，过点P(0，1)的动直线与椭圆交于A，B两点，则··_图16­282015·湖北卷改编 已知椭圆C的方程为1，设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于P，Q两点若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，则OPQ的面积的最小值为_考点一轨迹问题、存在探究性问题题型：选择、填空、解答分值：58分难度：中等偏难热点：轨迹方程与存在性问题考向一点的轨迹问题1 设A是圆x2y24上的任意一点，l是过点A且与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足.当点A在圆上运动时

4、，记点M的轨迹为曲线C，求曲线C的标准方程听课笔记 小结 求动点轨迹方程的基本方法有直接法、待定系数法(定义法)和代入法式题 已知点A(4，4)，B(4，4)，直线AM与BM相交于点M，且直线BM的斜率与直线AM的斜率之差为2，则点M的轨迹方程为_考向二存在性问题2 椭圆C的一个顶点为M(0，)，焦点在x轴上，若右焦点到直线xy10的距离为.(1)求椭圆C的方程(2)设n是过原点的直线，不垂直于x轴的直线l与n垂直且相交于P点，与椭圆C相交于A，B两点，且|1，则是否存在直线l使·1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由听课笔记 小结 存在探究性问题的解法一般是在假设存

5、在的情况下进行计算和推理，根据得出的结果是否合理确定存在与否式题 已知椭圆C：y21，O为原点，直线l：ykxm与椭圆C相交于P，Q两点，问在椭圆C上是否存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由图16­4考点二圆锥曲线中的参数范围与最值问题题型：解答题分值：510分难度：较难 热点：参数范围与最值考向一确定参数范围3 已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(a>b>0)，长半轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程(2)若点E(0，1)，问是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，使得|ME|NE|？若存在，求出直线l的斜率

6、的取值范围；若不存在，请说明理由听课笔记 小结 解析几何中具有范围的有如下几个因素：(1)直线与曲线相交(判别式)；(2)曲线上点的坐标的范围；(3)题目中要求的限制条件这些具有范围的因素可能同时出现在一个问题中，在解题时要注意全面把握范围产生的原因式题 如图16­5所示，M，N是焦点为F的抛物线y22px(p>0)上两个不同的点，且线段MN的中点A的横坐标为4.(1)求|MF|NF|的值；(2)若p2，直线MN与x轴交于点B，求点B的横坐标的取值范围图16­5考向二求解最值问题4 已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(2，)在椭圆上

7、，且AF2与x轴垂直(1)求椭圆的方程；(2)过点A作直线与椭圆交于另外一点B，求AOB面积的最大值听课笔记 小结 求圆锥曲线面积的最值问题常转化为求函数的最值问题或利用基本不等式求最值问题，有时也利用圆锥曲线的几何性质求最值考点三圆锥曲线中的定值、定点问题题型：解答题分值：510分难度：较难 热点：定值考向一定点问题5 已知抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A作直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|，当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明：直线

8、AE过定点，并求出定点坐标听课笔记 小结 由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式ykxm，则直线必过定点(0，m)式题 已知抛物线C：y24x，过点A(1，2)作抛物线C的弦AP，AQ，若APAQ，证明：直线PQ过定点，并求出定点的坐标考向二定值问题6 已知焦点在x轴上的椭圆1(a>b>0)，焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点O作两条互相垂直的射线分别与椭圆交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值图16­6听课笔记 小结 求定值问题常见的方法有两种

9、：从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在推理、计算的过程中消去变量，从而得到定值式题 如图16­7所示，曲线C由半圆C1：x2y21(y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，A，B为C1与C2的公共点(B在原点右侧)，过C1上的点D(异于点A，B)作切线l与C2相交于M，N两点(1)若切线l与抛物线yx21在点B处的切线平行，求点D的坐标；(2)若点D(x0，y0)运动时，求证：MON恒为钝角图16­7 高考易失分题15 直线与圆锥曲线位置关系引出的定值问题范例 2015·全国卷 已知椭圆C：1(a>b>0)的

10、离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值失分分析 (1)设出直线l的方程后，不能用有关参量合理表示出直线OM的斜率；(2)在探讨直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积时，由于用参过多，不能消去参量得出常量；(3)运算不准确高考预测 已知椭圆C：1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，线段OB的中垂线与椭圆C在第一象限的交点为P.设直线PA，PB，PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若k1

11、3;k2，则k3·k4_圆锥曲线中的热点问题 核心知识聚焦1y2解析 设点M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点M的轨迹C的方程为y22不会解析 设P(x0，y0)(x00)，则y0x，由yx，得切线l的斜率ky|xx0x0，所以切线l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.又N(0，3)，所以圆心C，半径r|MN|，|AB|.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变32xy20解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)由x24y得yx，抛物线C在点A处的切线PA的方程为yy1(xx1)，即yxy1x，又x4y1，所以yxy1.因为点

12、P在切线上，所以有22x1y1，同理有22x2y2.综合得，A，B的坐标满足方程22xy，所以直线AB的方程为2xy20.4. 解析 不妨设点P(x0，)(x01)，则点P到直线xy10的距离d.令u(x)x，则u(x)是单调递减函数，且u(x)>0.当x时，u(x)0，所以d>，故cmax.5(0，解析 因为直线l过原点，不妨设A在第一象限，左焦点为F，由对称性可知四边形AFBF为平行四边形，所以|AF|BF|AF|AF|2a4，所以a2，点M(0，b)到直线l的距离d且b<a，所以1b<2，所以椭圆的离心率e(0，62解析 直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代

13、入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知得>0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2.从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)()2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.73解析 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)>0，所以x1x2，x1x2.从而··x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(22k2)x1x2k(x1x2)113.当直线AB的斜率不存在时，

14、直线AB即为直线CD，此时，····213.88解析 (1)当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，都有SOPQ×4×48.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l：ykxm.由消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24.又由可得P，同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离d和|PQ|xPxQ|，可得SOPQ|PQ|·d|m|xPxQ|m|·|.将代入得，SOPQ|8|.当k2>时，SOPQ8·

15、;8>8；当0k2<时，SOPQ8·8.因为0k2<，所以0<14k21，2，所以SOPQ88，当且仅当k0时取等号，所以当k0时，SOPQ取得最小值8.综合(1)(2)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值8. 考点考向探究考点一轨迹问题、存在探究性问题考向一点的轨迹问题例1解：设M(x，y)是曲线C上任意一点，则D(x，0)，对应圆上的点为A(x，y0)由，得(0，y)(0，y0)，y0y.依题意知，x2y4，x2(y)24，即曲线C的标准方程为1.变式题x24y(x±4)解析 设M(x，y)，则kAM，kBM.直线BM

16、的斜率与直线AM的斜率的差为2，2，x24y(x±4)考向二存在性问题例2解：(1)设右焦点为(c，0)，则由点到直线的距离公式，得，c1.又b23，a2b2c24，故椭圆C的方程为1.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，假设使·1成立的直线l存在设直线l的方程为ykxm，由l与n垂直且相交于P点，|1，得1，即m2k21.·1，|1，·()·()2···10010，即x1x2y1y20.将ykxm代入椭圆C的方程，得(34k2)x28kmx(4m212)0，由此可得x1x2，x1x2.又

17、0x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2，将代入上式，得(1k2)(4m212)8k2m2m2(34k2)0，将m21k2代入，并化简得5(k21)0，无解，直线l不存在变式题解：假设存在这样的点R，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(xR，yR)四边形OPRQ是平行四边形，线段PQ的中点即为线段OR的中点，即x1x2xR，y1y2yR.点R在椭圆C上，(y1y2)21，即k(x1x2)2m21，化简得(12k2)(x1x2)28km(x1x2)8m220.由得(12k2)x24kmx2m220，由>0，得2k21>m2，x1x

18、2，代入式，得8m220，整理得4m212k2，代入式，得m0.又4m212k21，m或m，存在满足条件的m，其取值范围为(，)考点二圆锥曲线中的参数范围与最值问题考向一确定参数范围例3解：(1)椭圆C：1(a>b>0)，长半轴长为4，离心率为，解得a4，b2，椭圆C的标准方程为1.(2)易知当直线l的斜率不存在时，不满足题意设直线l：ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立消去y，得(34k2)x28kmx4m2480，则64k2m24(34k2)(4m248)0，16k212m2，且x1x2，x1x2.设MN的中点为F(x0，y0)，则x0，y0kx0m.|ME|NE|

19、，EFMN，kEFk1，即·k1，m(4k23)，代入可得16k212(4k23)2，16k48k230，解得<k<，存在直线l满足题意，且直线l的斜率的取值范围是<k<.变式题解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)(1)线段MN的中点A的横坐标为4，x1x28p，|MF|NF|(x1)(x2)x1x2p8.(2)当p2时，y24x，若直线MN的斜率不存在，则B(3，0)若直线MN的斜率存在，设A(3，t)(t0)，则y1y22t.点M，N在抛物线上，yy4(x1x2)，kMN，直线MN的方程为yt(x3)令y0，得点B的横坐标为3.将直线MN的方程与抛物线

20、方程y24x联立，可得y22ty2t2120，由>0，可得0<t2<12，3(3，3)点B的横坐标的取值范围是(3，3考向二求解最值问题例4解：(1)由已知得，c2，于是a2b24，且1，解得a28，b24，故椭圆的方程为1.(2)当直线AB的斜率不存在时，|AB|2，SAOB×2×22.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x2)(k)，与x22y28联立，得(2k21)x24(2k)kx2(2k)280，由>0，得k.又易得|AB|·，原点O到直线AB的距离d，SAOB·|AB|·d2·|1|.k

21、±，2k211，2)(2，)，11，0)(0，1)，SAOB(0，2综上所述，AOB面积的最大值为2.考点三圆锥曲线中的定值、定点问题考向一定点问题例5解：(1)由题意知，F(，0)设D(t，0)(t>0)，则FD的中点为(，0)由抛物线的定义知，3，解得t3p或t3(舍去)又易知3，解得p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)由(1)知，F(1，0)，设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD>0)因为|FA|FD|，所以|xD1|x01，由xD>0，得xDx02，则D(x02，0)，故直线AB的斜率kAB.由直线l1和直线AB平行，可设直线l1的方

22、程为yxb，代入抛物线方程，得y2y0，由题意知0，得b.设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0 (xx0)，由y4x0，整理可得y (x1)，故直线AE恒过点F(1，0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1，0)综上，直线AE过定点F(1，0)变式题解：设直线PQ的方程为xmyn，点P，Q的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)由得y24my4n0，由>0，得m2n>0，且y1y24m，y1y24n.APAQ，·0，(x11)(x21)(y12)(y22)0.又x1，x2，(y12)(y22)(y12)(y22)160

23、，(y12)(y22)0或(y12)(y22)160.当(y12)(y22)0时，则y1y22(y1y2)40，即4n8m40，n2m1，不满足>0恒成立，舍去；当(y12)(y22)160时，可得n2m5，满足>0恒成立，n2m5，直线PQ的方程为x5m(y2)，故直线PQ过定点，且定点坐标为(5，2)考向二定值问题例6解：(1)由题意知，2c2，2a4，所以a2，c，所以b2a2c21，所以椭圆的标准方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)当直线AB的斜率不存在时，则AOB为等腰直角三角形，不妨设直线OA：yx.将yx代入y21，解得x±，所以点O到直

24、线AB的距离d.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，代入y21，化简得(14k2)x28kmx4m240，则x1x2，x1x2.因为OAOB，所以x1x2y1y20，所以x1x2(kx1m)(kx2m)0，即(1k2)x1x2km(x1x2)m20，所以(1k2)m20，整理得5m24(1k2)，所以点O到直线AB的距离d.综上可知，点O到直线AB的距离为定值.变式题解：(1)设点D的坐标为(a，b)(b>0)，由已知得B(1，0)又y2x，所以切线l的斜率k2，故，且a2b21，解得a，b，于是点D的坐标为(，)(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由点D(

25、x0，y0)知，切线l的方程为x0xy0y1.由y0x2x0xy010，显然>0，则有x1x2，x1x21，所以x1x2y1y2x1x2(x1)(x1)x1x2xx(xx)1x1x2(x1x2)2(x1x2)22x1x211(1)21<0，由此可知，·<0，从而MON恒为钝角 高考易失分题15 范例解：(1)由题意有，1，解得a28，b24.所以C的方程为1.(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMk·xMb.于是直线OM的斜率kOM

26、，即kOM·k.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值高考预测解析 设P(m，n)，A(a，0)，B(a，0)，F1(c，0)，F2(c，0)由于线段OB的中垂线与椭圆C在第一象限的交点为P，所以有m.若k1·k2，则·，解得na，即P(，a)，代入椭圆方程，可得·1，即有a2b，则cb，则k3·k4·. 教师备用例题备选理由 例1为轨迹方程与存在性问题结合的题；例2、例3为距离最值问题；例4为直线过定点问题；例5为定值问题例1(配听课例2使用)已知动圆C过定点A(3，0)，且与圆B：(x3)2y264相切，圆心C的轨迹为曲线T

27、，设Q为曲线T上(不在x轴上)的动点，过点A作OQ(O为坐标原点)的平行线交曲线T于M，N两点(1)求曲线T的方程(2)是否存在常数，使·2恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)点A(3，0)在圆B的内部，两圆相内切，|BC|8|AC|，即|BC|AC|8>|AB|，圆心C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且长轴长2a8，即a4，且c3，b21697，曲线T的方程为1.(2)当直线MN的斜率不存在时，|，27，·|·|·cos 7，则.当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN：yk(x3)，则直线OQ：y

28、kx.由得(716k2)x296k2x144k21120，则x1x2，x1·x2，y1y2k2(x13)(x23)k2x1x23(x1x2)9，·(x13)(x23)y1y2.由得7x216k2x2112，则x2，2x2y2(1k2)x2.由·2，可解得.综上，存在常数，使·2恒成立例2(配听课例3使用)已知椭圆C：1(a>b>0)的焦距为2，长轴长是短轴长的2倍(1)求椭圆C的标准方程；(2)斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，其中A为椭圆的左顶点，若椭圆的上顶点P始终在以AB为直径的圆内，求实数k的取值范围解：(1)根据题意，得c，a2b

29、.又a2b2c2，4b2b23，解得a2，b1，椭圆C的标准方程为y21.(2)由(1)及题意知，左顶点A(2，0)，直线l的方程为yk(x2)，联立消去y，得(14k2)x216k2x(16k24)0，则(16k2)24(14k2)(16k24)>0.设点B的坐标为(x0，y0)，则x02，x0，y0.又椭圆的上顶点P在以AB为直径的圆内，APB为钝角，即·<0.P(0，1)，A(2，0)，B(，)，(2，1)，(，)，·<0，即20k24k3<0，解得k(，)例3(配听课例4使用)已知直线yx1与椭圆1(a>b>0)相交于A，B两点(1)若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；(2)若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点)，当椭圆的离心率e，时，求椭圆长轴长的最大值解：(1)e，2c2，a，c1，则b，椭圆的方程为1，将yx1代入，消去y，得5x26x30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|·×.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，·0，