常微分方程小结

1、常微分方程小结姓名：邱俊铭 学号：2010104506姓名：李林 学号：2010104404姓名：曾治云 学号: 2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx=h(x)g(y) ，其中函数h(x)在区间(a,b)上连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得: dy/g(y)=h(x)dx 两端积分得： G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常数且G(y)= Ùdy/g(y)，H(x)= Ùh(x)âx，所以G(y)=1/g(y)不为0，故G存在逆函数，从而得到：y= (H(x)+c).例 1. dy /dx=2xy解：

2、当y ¹0时，分离变量后得：dy/y =2xdx ,两边积分得：ln|y|=x2+c1 ，此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=Ce(x2),g(y)=0,则y=是方程的解，其中C为任意的常数。初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y值。例2.y(1+x2)dy=x(1+y2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+y2)dy=x/(1+x2),两边积分得其通解为：1+y2=C(1+x2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.。故所给的初值问题的解为y=.二、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).（1

3、）当f(x)=0时，方程为齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C,C为任意的常数。现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y=c(x)，对x求导，然后代入（1）中化简，两端积分，得：y=C+.例3.dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为：Y=exp(2 Ùxâx)(c+ Ùxexp(-2Ùxâx)âx)=-1/2+ce(x2),即-1/2+ce(x2)，其中c为任意的常数。三、Bernoulli方程,非线性方程转变为一阶线性方程dy/dx=a

4、(x)y+f(x)ya (2)当a=0和1时是上述讨论过的线性方程，当a ¹0和1时（2）方程是非线性方程，令z=y(1-a),两边除ya，令,由，由：dz/dx=(1-a)y(-a)dy/dx,得dz/dx=(1-a)a(x)z+(1-a)f(x).把z=y(1-a)代入可得通解为：y(1-a)=+C,其中C为任意的常数，显然y=0也为方程的解。例4.dy/dx=6y/x-xy2.解：当y ¹0时，令z=,原方程变为dz/dx=-6/xz+x,这是一个一阶线性微分方程，其通解为：z=1/x6(C+1/8x8),从而原方程的通解为x6/y-x8/8=C,其中C为任意的常数，

5、此外，显然y=0也是方程的解。恰当方程形式一、当dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy,M(x,y)dx+N(x,y)dy=0。（3）则是恰当方程。判断一个方程是否是恰当方程的充要条件是：dM/dy=dN /dx。则其通解为,或，其中C是任意的常数而且（,）为区域G内任意取定的一点。例5.dy/dx=-（6x+y+2）/（x+8y-3）; 解：将原方程改写为（6x+y+2）dx+（x+8y-3）dy=0.这里M(x,y)=6x+y+2，N(x,y)=x+8y-3，由于：dM/dy=1=dN /dx，所以这是一个恰当方程，取=0，=0，可计算出：U（x,y）=3x2+xy+2x+4y

6、2-3y故该方程的通解为3x2+xy+2x+4y2-3y=C，其中C为任意的常数。二、积分因子法：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，不是恰当方程，但乘上一个适当的非零函数U=U（x,y）后，使得U（x,y）M(x,y)dx+U（x,y）N(x,y)dy=0，(4),成为恰当方程。函数U（x,y）是（3）的积分因子，存在g=W(x,y),使dW(x,y)=U（x,y）M(x,y)dx+U（x,y）N(x,y)dy,W(x,y)是（4）的通解，也是（3）的通解。例6.2xylnydx+(x2+y2)dy=0. 解;M(x,y)=2xylny,N(x,y)=x2+y2,由于：E=dM/dy-d

7、N /dx=2xlny,所以他不是恰当方程。由于-E/M=-1/y与x无关，所以方程只与y的积分因子有关，U(y)n=1/y,因此方程;2xlnxdx+(x2/y+y)dy=0,为恰当方程。取，=0,=1,可计算出;U（x,y）=x2lny+1/3(1+y2)3/2-2/3.故该方程的通解为;x2lny+1/3(1+y2)3/2-2/3.=C,其中C为任意的常数。隐式方程一阶隐式方程，其一般式为：F（x,y,dy/dx）=0., (5) 即令p=dy/dx,，变成：F（x,y,p）=0，然后用分离变量法来求解。例7.y=(dy/dx)2-xdy/dx+x2/2; 解：令p=dy/dx,则原方程

8、变为;y=p2-xp+x2/2,两边关于x 求导，得p=2pdp/dx-p-xdp/dx+x,即（2p-x）dp/dx=(2p-x),若2p-x¹0，则dp/dx=1，从而p=x+C,其中C为任意的常数，因而方程的通解为y=x2+Cx+C2;若2p-x=0,原方程的解为;y=x2/4.初等积分法的一些应用一、 奇解一条曲线y=f(x)不属于曲线族y=g(x,c),但在y=f(x)上每一点都有曲线族y=g(x,c)中的某条曲线与他相切，我们称y=f(x)是y=g(x,c)的包络，y=f(x)为奇解后特解。y=g(x,c)是方程的通解。定理：设函数F（x,y,p）连续且对x,y,p连续可

9、微，则方程F（x,y,dy/dx）=0的奇解y= f(x)应满足关系式：F（x,y,p）=0，（x,y,p）=0，其中p=dy/dx，或满足从中消去p而得到的关系式：D(x,y)=0.例8.x(dy/dx)2-ydy/dx+1=0;解：令p=dy/dx，由方程知p¹0.因此可以解出：y=xp+1/p,两边对x求导得：P=p+pdp/dx-1/p2dp/dx,即(x-1/p2)dp/dx=0.若x-1/p2¹0，则dp/dx=0.从而p=C,其中C为任意常数，因而原方程的通解为:y=Cx+1/C;若x-1/p2=0，则容求原方程的通解为：y2=4x。积分曲线族y=Cx+1/C

10、的C的判别曲线满足方程：y-Cx+1/C=0,-x+1/C2=0.从中消去C得y2=4x，容证它是原方程的奇解。二、高阶微分方程高阶微分方程，其一般式为：F（x,y,dy/dx，º/）=0。思路为：可通过变量变换的方法把高阶降阶为一阶来求解。例9.4;解：令p=,则原方程变为：4p2=p,用pdx乘以两边得：2d(p)2=pdp,故4(p)2=p2+A1,其中A1为任意的常数。从而：2dp/dx=+-。考虑方程：2dp/dx=，分离变量法可得：P+=A2ex/2,A2为任意的常数。线性方程一、矩阵A(t)=（ (t)）是连续的（或可微的），如果其每一个元素 (t)(其中i,j=1,2, ºn)都是实变量t的连续函数（或可微的），在可微的情况下，dA(t)/dt=(d (t).例10.设A=，试计算并比较其导数的行列式和其行列式的导数。解：由dA(t)/dt=(d (t).易知dA(t)/dt=，因此其导数的行列式为48-2t.另一方面，可求出;de